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基于预测的邮轮定价策略研究

摘要

本文针对邮轮的预订人数、预订价格等进行了预测和求解，并分析了邮轮整个运营周期的动态定价策略。
针对问题1，我们利用指数平滑法建立预测模型，求出最近一个未知周次的预订人数。再利用加法增量法计算得出每周相对于前4个航次的平均增加的预订人数，从而得出后面航次未知的预订人数。接着对预订的人数建立灰色预测模型。最后，利用已知的前4个航次的数据以及本航次本舱位的前面周数的数据，通过对不同航次之间的数据的加权处理，建立回归预测模型，利用MATLAB求解，从而求得未知的预订人数。综合四种预测方法，对本次预测结果进行评估，最终评价所建立模型的合理性。最终完善的各航次每周实际预订人数完全累积表见表8。
针对问题2，首先，我们对不同等级舱进行每航次每周价格预定，在同等级舱的实际数据表下，对同一周不同航次预定价格预测采用一次指数平滑法。然后，基于问题一结果分析，采用先进增量法，不仅考虑到已启航航次的数据，而且考虑到未启航次的数据。最后，利用已知的前4个航次的数据以及本航次本舱位的前面周数的数据，通过对不同航次之间的数据的加权处理，建立回归预测模型，从而确定每个航次的每个舱位的未知的预订平均价格。最终完善的每次航行预订舱位价格表见表13。
针对问题3，假定每种航舱每周预定价格在价格区间内服从均匀分布，由顾客购买概率与预订的平均价格的关系可以确定每个航次每个周期的需求函数表达式。在求解的过程中，首先基于模型1得到实际预定人数的预测，然后根据模型1的求解方法得到各航次各周意愿预定人数，从而解得每一等级邮舱的每一航次各周的平均价格。最终完善的每航次各舱位每周预订平均价格和意愿预订人数表见表14-表19。
针对问题4，由于前四次航行的各周平均预定价格以及对应人数已知，考虑每航次收益与需求量和平均预定价格相关，由模型3我们得到每航次各周需求量与平均预定价格的函数关系式；然后，考虑到同一航次相邻两周内价格浮动比不超过20%，以及需求量不超过总容量等约束条件，求解最大预期收益转化为非线性规划问题，利用MATLAB求解。最终求得第8航次的的最大预期收益为1492030。
针对问题5，根据附表Sheet1和Sheet5，分别可以得到每次航行实际预定总人数和每次航行最终升舱人数；然后，考虑提高游客升舱意愿，依据升舱加价后的价格不高于高等舱原价格、总人数不变、加价后头等舱、二等舱、三等舱价格相对大小不变等约束条件，建立收益升舱目标函数——线性规划模型，然后利用LINGO求解得到最终升舱人数与价格（见表20）。
最后，对所建立的模型进行了稳健性和数据误差的分析。

关键词：指数平滑法；灰色预测；回归预测模型；MATLAB；拟合；线性规划

一、问题重述

近年来乘坐邮轮旅游的人越来越多，邮轮公司的发展也非常迅速。如何通过合理的定价吸引更多的旅游者，从而为邮轮公司创造更多的收益，这也是众多邮轮公司需要探讨和解决的问题。
邮轮采用提前预订的方式进行售票，邮轮出发前0周至14周为有效预定周期，邮轮公司为了获得每次航行的预期售票收益，希望通过历史数据预测每次航行0周至14周的预定舱位人数、预订舱位的价格，为保证价格的平稳性，需要限定同一航次相邻两周之间价格浮动比，意愿预定人数（填写信息表未交款的人数）转化为实际预定人数（填写信息表并交款的人数）与定价方案密切相关。
已知某邮轮公司拥有一艘1200个舱位的邮轮，舱位分为三种，250个头等舱位，450个二等舱位，500个三等舱位。该邮轮每周往返一次，同一航次相邻两周之间价格浮动比不超过20%。现给出10次航行的实际预订总人数、各航次每周实际预订人数非完全累积表、每次航行预订舱位价格表、各舱位每航次每周预订平均价格表及意愿预订人数表、每次航行升舱后最终舱位人数分配表（详见附件中表sheet1- sheet5），邀请你们为公司设计定价方案，需解决以下问题：
1.预测每次航行各周预订舱位的人数，完善各航次每周实际预订人数非完全累积表sheet2。（至少采用三种预测方法进行预测，并分析结果。）
2.预测每次航行各周预订舱位的价格，完善每次航行预订舱位价格表sheet3。
3.依据附件中表sheet4给出的每周预订价格区间以及每周意愿预订人数，预测出公司每周给出的预订平均价格。
4.依据附件中表sheet1-sheet4，建立邮轮每次航行的最大预期售票收益模型，并计算第8次航行的预期售票收益。
5.在头等、二等舱位未满的情况下，游客登船后，可进行升舱（即原订二等舱游客可通过适当的加价升到头等舱，三等舱游客也可通过适当的加价升到头等舱、二等舱）。请建立游客升舱意愿模型，为公司制定升舱方案使其预期售票收益最大。

二、模型假设

（1）假设每种舱位每周预定价格在价格区间内服从均匀分布。
（2）假设对于指数平滑法的试验次数足够大。
（3）假设每个航次之间的时间间隔足够均匀的。
（4）在升舱意愿模型中，假设实现从低等舱位到高等舱位的升舱在既定条件下增加收益，且是在上船以后制定的。所以各个舱位的人数，公司目前所获得的利益已经知道了。

三、概念定义和符号约定

3.1 问题1的符号约定

指数平滑法中表示第周内，第周次航行号舱的预测预订人数；

表示周内第次航行号舱的实际预订人数

指数平滑法的平滑系数

表示前次航行所得同一舱位同一周的实际预订人数

回归预测模型表示第周第周次航行号舱的预测预订人数

3.2 问题2的符号约定

邮轮第航次之前第周时的舱位的实际的预定价格

邮轮第航次之前第周时的舱位的预测的预定价格

邮轮第航次之前第周时的舱位预定价格相对于上周的增量

3.3 问题3的符号约定

平均的预订价格的累积概率分布

第周的需求函数

第周的意愿预定人数

预订价格区间

3.4 问题4的符号约定

同一航次相邻两周之间价格浮动比

第号舱的容量

预测出的最佳的预订定价

3.5 问题5的符号约定

头等舱、二等舱、三等舱的第0周的预订价格

升舱后最终头等舱、二等舱、三等舱的实际人数
，
二等舱升为头等舱的人数，二等舱升头等舱的加价
，
三等舱升为二等舱的人数，三等舱升二等舱的加价
，
三等舱升为头等舱的人数为，三等舱升头等舱的加价

3.6 几个重要概念的定义
纵向：对于附件中数据的，纵向即为在同一航次的同一舱位上关于不同预订周数的变化关系。
横向：对于附件中数据的，横向即为在同一预订周上关于不同航次的同一舱位的变化关系。
转化率：意愿预定人数（填写信息表未交款的人数）转化为实际预定人数（填写信息表并交款的人数）的比例。

四、问题1的解决方案

4.1 问题的分析
首先，根据题目附件提供的数据，我们在纵向上，即对于同一航次的同一舱位的不同周次，利用指数平滑法建立预测模型，运用Excel的统计功能进行求解，再求出最近一个未知周次的预订人数。
其次，利用前4个航次的预订人数数据计算每周增加的预订人数，然后计算得出每周相对于前4个航次的平均增加的预订人数，从而得出后面航次未知的预订人数。
然后，在横向上，即对于不同的航次的同一周的不同舱位实际的预订的人数建立灰色预测模型。从而可以利用不同航次的同一周次的历史预订人数确定后面未知的预订人数。
最后，利用已知的前4个航次的数据以及本航次本舱位的前面周数的数据，通过对不同航次之间的数据的加权处理，建立回归预测模型，利用MATLAB[4]求解，从而确定每个航次的每个舱位的未知的预订人数。
综合四种预测方法，对本次预测结果进行评估，最终评价所建立模型的合理性。

4.2 模型的建立
4.2.1指数平滑法建立模型
分析每个航次同一舱位的不同周次的数据，每个航次所对应的数据会根据对应的航次有所改变，因此对于最近一周未知的预订人数可以使用指数平滑法建立预测模型，能使得所得数据误差最小。
指数平滑法简单稳定，而且通常能获得较高的预测精度。其特点是预测时所需的资料少，计算方便。根据指数平滑法的原理，有以下方程[1]：
（1）
表示第周内，第周次航行号舱的预测预订人数；
表示周内第次航行号舱的实际预订人数；
为平滑系数，又称加权因子，取值范围为，在本题中，
的取值对预测曲线的光滑程度有一定的影响。的值越小，预测曲线的光滑程度越大，稳定性就越好；然而，的值越大，预测值对噪声和最近的变化就越敏感。在实际应用中，值是根据时间序列的变化特性来选取的。若时间序列的波动不大，比较平稳，则应取小一些，如0.1-0.3；若时间序列具有迅速且明显的变动倾向，则应取大一些，如 0.6-0.9。实质上，是一个经验数据，通过多个值进行试算比较而定，哪个值引起的预测误差小，就采用哪个。在本题中，经过多次试验，为最佳

4.2.2加法增量法建立模型[1]
先对前4次的预定人数分析，计算前4个航次不同舱位的每周的增加的预订人数，然后求出前4个航次的每周的平均的预订人数，例如头等舱的：
表1 头等舱周预定人数

航次

1
2
3
4

周数
头等舱预订人数
周增量
头等舱预订人数
周增量
头等舱预订人数
周增量
头等舱预订人数
周增量
平均增量
14
0
0
1
1
0
0
0
0
0
13
1
1
2
1
3
3
0
0
1.5
12
3
2
4
2
6
3
3
3
3.75
11
9
6
8
4
10
4
5
2
5.25
10
12
3
13
5
16
6
9
4
8.75
9
17
5
20
7
23
7
18
9
14.25
8
31
14
39
19
37
14
33
15
24.75
7
54
23
61
22
59
22
53
20
38.5
6
83
29
85
24
88
29
81
28
56.5
5
106
23
102
17
111
23
103
22
64.75
4
132
26
136
34
136
25
141
38
85
3
160
28
170
34
173
37
184
43
109.25
2
168
8
178
8
201
28
205
21
113.75
1
170
2
184
6
210
9
210
5
108.5
0
171
1
184
0
213
3
212
2
107.5
然后求得前4个航次距离起航前总的各个总的增量：
周次
总的增量
5
110.75
4
89.5
3
58.75
2
23.25
1
7
0
1.5
从而得到头等舱第0周的第6、7、8、9、10个航次的预订人数为：
191.5
200
191.75
198.5
193.75

4.2.3 灰色预测模型的建立
在纵向上的指数平滑法建立的预测模型进一步的求解后面的未知周次的预订人数时，由于指数平滑法对于长期的预测同时是基于预测的数据预测所得出的数据误差较大，所以在横向上，即对于不同的航次的同一周的不同舱位实际的预订的人数建立灰色预测模型。
灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度。并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物的趋势。灰色预测的数据是通过生成数据的模型所得到的预测值的逆处理结果。灰色预测是以灰色模型为基础的，在诸多的灰色模型，以灰色系统中单序列一阶线性微分方程模型模型[2]最为常见。
设原始数据列
表示前次航行所得同一舱位同一周的实际预订人数，累加生成序列为其中的，模型的白化微分方程为： （2）
式（2）中，为待辨识参数，亦称发展系数；为待辨识内生变量，亦称灰作用量。设待辨识向量，按最小二乘法求得式中，其中：

得到灰色预测的离散时间响应函数为：

为所得的累加的预测值，预测值为：

将所得的结论转化为MATLAB的程序[2] [4]，输入对应的时间，得出相应的预定人数的结果。

4.2.4 回归预测模型的建立
分析对于前2个方法都只存在某个方向上的预测，这样使得预测的结果可能会存在较大的误差，在综合考虑前面4个航次的预订人数的基础上，进一步的考虑前4次的和本次的预订人数，建立回归预测模型。
回归分析预测法，是在分析市场现象自变量和因变量之间相关关系的基础上，建立变量之间的回归方程，并将回归方程作为预测模型，根据自变量在预测期的数量变化来预测因变量关系大多表现为相关关系。
预测模型的自变量为周次，因变量为每个航次的同一舱位的对应的预定人数。表示第周第周次航行号舱的预测预订人数；从而该预测模型中，实际使用的因变量为对于第次航行的第周的号舱的预订人数为：

同时将附件中所给数据的每次航行的实际预订总人数作为已知的数据。
将计算的结果结合时间利用MATLAB[4]建立回归分析方程，即为回归分析预测模型。

4.3 模型的求解
4.3.1指数平滑法求解
1）头等舱预测表：

表2 头等舱人数预测表

2）二等舱预测表:
表3 二等舱人数预测表

3）三等舱预测表
表4 三等舱人数预测表

4.3.2 加法增量法求解
1）头等舱预测:

表5 头等舱各周预定人数

2）二等舱预测:
表6二等舱各周预定人数

3）三等舱预测:
表7 三等舱各周预定人数

4.3.3 灰色预测模型的求解
利用MATLAB求解的代码见附录1，利用代码求解的部分预测图如下所示：
第7航次头等舱的灰色预测图：

图1第7航次头等舱的灰色预测图

第五周各航次头等舱的预测图：

图2 第5周各航次预定人数
4.3.4 回归预测模型的求解
利用MATLAB求解的代码见附录2，综合利用前面的3种方法以及回顾预测模型。
1）头等舱预测图：○各航次实际预订人数
——各航次预测预定人数

图3 各航次头等舱实际预定人数和预测预定人数

2）二等舱预测图：

图4 各航次二等舱实际预定人数和预测预定人数
○各航次实际预订人数
——各航次预测预定人数
3）三等舱预测图：
○各航次实际预订人数
——各航次预测预定人数

图5 各航次三等舱实际预定人数和预测预定人数

可以得出各航次每周实际预订人数的完全累积表：
（注：深色部分为预测出的数据。）
表8 各航次每周实际预订人数的完全累积表

4.4 预测结果分析
对于方法一的指数平滑法，从4.3.1的结果可以看出，头等舱不同航次的同一周的实际预订人数的波动较小，所以预测得到的值误差较小，而对于二等舱和三等舱的实际预订人数波动较大，所以使得这两组预测的数据绝对误差都比较大。
对于方法二的加法增量法，综合考虑了前4个航次的实际预订人数，求出了平均的增加人数，从而在每个航次前面已知的预定人数上添加平均增量，但是由于后期的人数增长并没有完全和前期的相同，使得后期总的预测情况整体误差都比较大。
对于方法三的灰色预测模型[2]，考虑到横向上实际的时间界面并不明显，得到的数据波动较大，就灰色系统本身而言并没有很好的体现，所以最终预测的误差较大。
对于方法四的回归预测模型，我们不仅考虑到了前4个航次的实际情况，同时也考虑到了当前航次的实际情况以及在附件所给数据中每次航行实际预订的总人数表，从得出的预测图中可以明显看出得到的结果误差大大的减小了，然后最终得到的结果数据分布也比较符合实际的情况。

五、问题2的解决方案

5.1 问题的分析
根据题目问题要求，分析Sheet3数据特征：不同等级舱位预定价格相差很大，各舱位各周之间预定价格变动大。而预测误差最大来源就是数据之间变动大，趋势不稳定。基于此特征，采用以下方法预测：
首先，我们对不同等级舱进行每航次每周价格预定，在同等级舱的实际数据表下，对同一周不同航次预定价格预测采用一次指数平滑法。
然后，基于问题一结果分析，采用先进增量法，不仅考虑到已启航航次的数据，而且考虑到未启航次的数据。
最后，利用已知的前4个航次的数据以及本航次本舱位的前面周数的数据，通过对不同航次之间的数据的加权处理，建立回归预测模型，从而确定每个航次的每个舱位的未知的预订平均价格。

5.2 模型的建立
5.2.1指数平滑法建立预测模型
指数平滑法求解预订的平均价格的与用指数平滑法求解预定人数的所建立的模型基本相同，具体可见4.2.1部分。

5.2.2先进增量法建立预测模型[1]
不仅考虑前面已知航次的预订人数数据，而且同时考虑了后面未知预订人数的航次的数据。也就是说，对未来需求的预测是基于数据矩阵中所有可用的数据得到。
先对sheet3中的每个航次的每个舱位每周相对于上周的的价格增量求出来，接着计算得出：

其中

.
.
.

最终由即可求出未知的预测价格。

5.3.3回归预测模型
此处回归预测的模型与4.2.4所建立的模型基本相同。

5.3 模型的求解
5.3.1一次指数平滑法模型求解
1）头等舱每航次每周预定价格预测表如下所示
表9 头等舱每航次每周预定价格预测表

2）二等舱每航次每周预定价格预测如下所示：
表10 二等舱每航次每周预定价格预测表

3）三等舱每航次每周预定价格预测
表11 三等舱每航次每周预定价格预测表

5.3.2 先进增量模型求解结果
表12 各等舱各航次第0周预定价格预测表

5.3.3 回归预测模型的求解
1）头等舱各航次各周预定价格预测

图6 头等舱各航次各周预定价格预测
2）二等舱各航次各周预定价格预测

图7 二等舱各航次各周预定价格预测
3）三等舱各航次各周预定价格预测

图8 三等舱各航次各周预定价格预测

.4.1最终预测结果
表13 各航次预定舱位价格表

续表13 各航次预定舱位价格表

六、问题3的解决方案

6.1 问题的分析
在定价的过程中，实际需求是影响定价的最重要的因素，另一方面实际需求可以通过顾客意愿预定人数和顾客购买概率加以刻画。
本问中，我们利用题目条件，假定每种航舱每周预定价格在价格区间内服从均匀分布，所以顾客购买概率与预订的平均价格的关系易得，从而获得每个航次每个周期的需求函数表达式。
在求解的过程中，首先基于模型1得到实际预定人数的预测，然后根据模型1的求解方法得到各航次各周意愿预定人数，从而解得每一等级邮舱的每一航次各周的平均价格。

6.2 模型的建立
先考虑头等舱舱位，邮轮头等舱的总的位置个，销售周期为周，为平均的预订价格的累积概率分布。在每周，企业提供价格。只有平均预订价格低于当前的价格时顾客才会购买。因此，顾客购买舱位的概率为。所以，为第周的需求函数，其中为第周的意愿预定人数，价格为决策变量。现在目标是在有限的销售周期内为不同航次的不同周确定最优价格[1]。
预订价格服从区间为上的均匀分布，第周上的需求函数为：

也就是说，每个周期的需求函数是线性的，即

其中截距，斜率
在销售开始时，根据市场调查、需求预测和历史数据，公司可以为各周的需求函数估计参数，并为不同航次确定第14周的价格。然后顾客依据确定的价格，做出购买决策，同时公司做出接受或者拒绝决策。在下一周期，该周的需求和价格信息被观测到，各周需求函数的参数便依据下面的约束规则更新[1]。

其他舱位的定价策略和头等舱的相同。

6.3 模型的求解
利用Excel的统计功能对已建立的模型进行求解，求得的Sheet4的结果如下：
表14 头等舱每航次每周预定平均价格

表15 头等舱每航次每周意愿预定人数

表16 二等舱每航次每周预定平均价格

表17二等舱每航次每周意愿预定人数

表18 三等舱每航次每周预定平均价格

表19 三等舱每航次每周意愿预定人数

七、问题4的解决方案

7.1 问题的分析
分析附表Sheet4，由于前四次航行的各周平均预定价格以及对应人数已知，所以其收益是确定的；因此，问题为对未启航每航次收益最大化。
考虑每航次收益与需求量和平均预定价格相关，由模型3我们得到每航次各周需求量与平均预定价格的函数关系式；然后，根据题目要求，同一航次相邻两周内价格浮动比不超过20%，同时，需求量不超过总容量等约束条件，我们可以利用非线性规划，利用MATLAB求得其解。

7.2 模型的建立
每周产生新的需求函数，且为不同航次的不同舱位的每周确定最优价格。基本的定价模型为[1]：

其中，其中第一个约束条件中的，同一航次相邻两周之间价格浮动比不超过20%。第二个约束条件是存量约束，即每个舱位的容量。头等舱，二等舱，三等舱。
在每周开始之前，虽然可以确定各航次所有周的最优价格，但在实际中，只有当前周的价格被应用。因为当该周的数据被观测到后，各周期的需求函数被重新估计，未来周的价格将被重新确定[3]。

7.3 模型的求解
利用MATLAB[4]求解第8航次的预定价格与实际预订人数之间的拟合关系以及求解最优定价的代码见附录三，关系图如下：

图9 第8航次的预定价格与实际预订人数之间的拟合关系图
分别为头等舱，二等舱，三等舱的最大总收益
先考虑，由于我们注意到定价和实际预定人数之间存在某种函数关系，我们把航次8已知的定价和实际预定人数提取出来，以实际预定人数作为自变量，定价作为因变量，进行曲线拟合，发现和之间存在如下依赖关系：

于是得到
对此函数求最大值，得到最优定价为 ，最大收益为57128。在满足相邻两次的价格浮动比不超过20%的基础上，经过最优定价处理后，得到头等舱的最大总收益为

同理可得：
所以最终第8个航次总收益最大为

八、问题5的解决方案

8.1 问题的分析
由于在头等、二等舱未满的情况下，游客登船后，可进行升舱；因此，我们需要考虑的是二、三等舱的升舱人数变化情况以及升舱加价大小；从而使得邮轮在原定基础上进一步提高收益。
根据附表sheet1和sheet5，分别可以得到每次航行实际预定总人数和每次航行最终升舱人数；然后，考虑提高游客升舱意愿，依据升舱加价后的价格不高于高等舱原价格、总人数不变、加价后头等舱、二等舱、三等舱价格相对大小不变等约束条件，对目标函数，即最终收益建立线性规划模型，然后利用lingo 求解。

8.2 模型的建立
各个舱位的容量，其中，各个舱位的第0周的预订价格分别为，升舱后最终各个舱位人数为，二等舱升为头等舱的人数为，二等舱升头等舱的加价为，三等舱升为二等舱的人数为，三等舱升二等舱的加价为，三等舱升为头等舱的人数为，三等舱升头等舱的加价为
应该满足以下约束条件：

其中上船时，是一个已知的，只需要在上述约定条件中确定的最大值。
结合Sheet5中的每次航行升舱后最终舱位人数，借助LINGO求解上述线性规划问题。
8.3 模型的求解
转化约束条件如下：

其中
航次
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

1610
1650
1680
1690
1660
1700
1620
1640
1680
1750

1150
1220
1160
1230
1210
1180
1160
1200
1190
1160

826
832
849
829
889
834
845
891
851
854

171
184
213
212
201
196
218
185
163
192

382
401
442
448
412
402
449
398
385
421

485
492
495
491
500
499
493
499
494
495

利用LINGO求解得（源程序见附录4）
表20 升舱人数与价格表
航次

1
79
147
0
460
324
784
2
0
49
66
430
288
818
3
37
45
0
520
311
831
4
38
40
0
460
401
861
5
49
87
0
450
321
771
6
54
102
0
520
346
866
7
32
33
0
460
315
775
8
65
117
0
440
309
749
9
87
152
0
490
33809
829
10
58
87
0
590
306
896

九、模型的分析与评价

9.1 问题1所建立的模型
对于方法一的指数平滑法，从4.3.1的结果可以看出，头等舱不同航次的同一周的实际预订人数的波动较小，所以预测得到的值误差较小，而对于二等舱和三等舱的实际预订人数波动较大，所以使得这两组预测的数据绝对误差都比较大。对于方法二的加法增量法，综合考虑了前4个航次的实际预订人数，求出了平均的增加人数，从而在每个航次前面已知的预定人数上添加平均增量，但是由于后期的人数增长并没有完全和前期的相同，使得后期总的预测情况整体误差都比较大。对于方法三的灰色预测模型，考虑到横向上实际的时间界面并不明显，得到的数据波动较大，就灰色系统本身而言并没有很好的体现，所以最终预测的误差较大。对于方法四的回归预测模型，我们不仅考虑到了前4个航次的实际情况，同时也考虑到了当前航次的实际情况以及在附件所给数据中每次航行实际预订的总人数表，从得出的预测图中可以明显看出得到的结果误差大大的减小了，然后最终得到的结果数据分布也比较符合实际的情况。

9.2 问题2所建立的模型
因为不同等级舱位预定价格相差较大，各舱位各周之间预定价格变动大。而预测误差最大来源就是数据之间变动大，趋势不稳定。与问题1中相同的是指数平滑法带来的误差也较大。但本题中使用了改进后的加法增量法以及问题1中误差很小的回归预测模型，则极大的降低了误差。

9.3 问题3所建立的模型
对于问题3所建立的模型，我们可以用已知的数据进行验证。对于已知的各航次各周的定价情况，利用问题3所建模型中实际预定人数、意愿预定人数、区间最大最小值和平均预定价格之间的关系，得出已知价格对应的意愿预定人数，发现与给定的标准表格中的数据几乎完全一致，模型的正确性得以验证。

9.4 问题4所建立的模型
首先不同的舱位的情况是互不相关的，需分别对头等舱，二等舱，三等舱定价，并且全局最优值即最大总收益等于三者的最大收益之和，三种舱位可以用同一种处理方法来求得最优定价。假设考虑头等舱，我们从给定的第8个航次的平均预定价格和实际预定人数的数据出发，两者之间进行曲线拟合，建立二次函数关系，从而将目标函数变换为1元3次方程，然后不难利用非线性规划对其求解了。

9.5 问题5所建立的模型
在计算出这些数据后，我们得到二等舱升为头等舱的人数，三等舱升为二等舱的人数，三等舱升为头等舱的人数，二等舱升头等舱的加价，三等舱升二等舱的加价，三等舱升头等舱的加价都大约浮动在某一个区间。
这些数据仅仅是靠预定人数的多少考虑的企业的利益，因为数据中没能给出各个的意愿信息，仅仅能推出各个舱位的人群心中的保留价格，不能够准确地推算出各个阶段人的意愿。还有各个阶段人升舱的比例。
在应用该模型进行预算公司利益最大化时忽略了旅客想从二等舱升为头等舱的概率，想从三等舱升为二等舱的概率以及想从三等舱升为头等舱的概率，这些数据需要做一个市场调查，或者实际运行后给出加价与升舱人数的数据，我们才能给出较为准确的模型，来进行预测。

参考文献
[1] 孙晓东. 邮轮收益管理：需求预测与收益优化[D].上海：上海交通大学，2011.
[2] 左书华，韩贵生.基于MATLAB的GM(1,1)灰色预测模型以及在地面沉降中的应用[EB/OL].，2015.5.
[3] 孙晓东，冯学钢.邮轮公司如何定价：基于北美市场的实证分析[J]. 旅游学刊，2013，第28卷：111-118.
[4] 易昆南.基于数学建模的数学实验[M].北京：中国铁道出版社，2014:53-81.
[5] 暴奉贤，陈宏立，周兆麟.经济预测与决策方法[M].广州：暨南大学出版社，2013:49-128.
[6] 姜启源，谢金星，叶俊.数学模型[M].北京：高等教育出版社，2011:325-330.
[7] 卓金武.MATLAB在数学建模中的应用[M].北京：北京航空航天出版社，2011:30-34.

附录1 灰色预测模型MATLAB求解代码
function gm(x0)
n = length(x0);
x1 = zeros(1,n);
x1(1) = x0(1);
for i = 2 : n
x1(i) = x1(i-1) - x0(i);
end
for i = 2: n
y(i-1) = x0(i);
end
y = y';
for i = 1 : n-1
c(i) = -0.5 * (x1(i) + x1(i +1 ));
end
B = [c' ones(n-1,1)];
au = inv(B' * B) * B' * y;
for i = 1: n+1
ago(i) = (x0(1) - au(2) / (1)) * exp(-au(1) * (i-1)) + au(2) / au(1);
end
yc(1) = ago(1);
for i = 1 : n-1
yc(i+1) = ago(i+1) - ago(i);
end
for i = 2 : n
error(i) = yc(i) - x0(i);
yc(i+1) = ago(i+1) - ago(i);
end
c = std(error) / std(x0);
p = 0;
for i = 2 : n
if(abs(error(i)-mean(error)) < 0.6745 * std(x0))
p = p + 1;
end
end
p = p / (n-1);
w1 = min(abs(error));
w2 = max(abs(error));
for i = 1 : n
w(i) = (w1 + 0.5 * w2) ./(abs(error(i)) + 0.5 * w2);
end
w = sum(w) / (n-1);
t1 = 1 : n;
t2 = 1 : n+1;
plot(t1, x0, '+', t2, yc)
axis([1 9 130 300])
end
附录2 回归预测模型MATLAB求解代码
clear
x = [1 4 8 11 13 23 36 52 83 192];
%
n = length(x);
t = 1 : n - 1;
t = [t 15];
tot = 1 : 15;
p = polyfit(t, x, 3);
y = polyval(p, tot);
plot(t, x, 'b+');
hold on;
plot(tot, y, 'bo');
hold on;
x = [0.25 1.5 4 8 12.5 19.5 35 56.75 84.25 105.5 136.25 171.75 188 193.5 195 ];
x = x';
res = tot;
for i = tot
res(i) = x(i) * 0.3 + y(i) * 0.7;
end
plot(tot, res, 'ro');
hold on;
附录3 求解第8航次的预定价格与实际预订人数拟合关系以及最优定价的MATLAB代码
clear;
x = [0 0 2 4 4 12 17 21 22 24 27];
y = [1530 1610 1680 1690 1780 1850 1970 1930 1970 1840 1870];
p = polyfit(x, y, 2);
py = polyval(p, x);
plot(x, y, '+', x, py);
f = @(x)-p(1) * x^3 - p(2) * x^2 - p(3) * x^1;
[xx, yy] = fminbnd(f, 0, 1000);
polyval(p, xx)%最优定价
-yy%最优定价下时间为一周的最大收益
附录4 LINGO代码
航次1：
model:
max=m1*h1+m2*h2+m3*h3;
250-171-h1-h3>0;
450-382+h1-h2>0;
m1+1150-1610<0;
m2+826-1150<0;
m3+826-1610<0;
m3+826-1150>0;
航次2：
model:
max=m1*h1+m2*h2+m3*h3;
250-184-h1-h3>0;
450-401+h1-h2>0;
m1+1220-1650<0;
m2+832-1120<0;
m3+832-1650<0;
m3+849-1120>0;

Variable Value Reduced Cost
M1 460.0000 0.000000
H1 79.00000 0.000000
M2 324.0000 0.000000
H2 147.0000 0.000000
M3 784.0000 0.000000
H3 0.000000 0.000000

Variable Value Reduced Cost
M1 430.0000 0.000000
H1 0.000000 100.0000
M2 28