学位论文-—关于函数一致性的讨论.doc

本科毕业论文

题目： 关于函数一致性的讨论

学院： 数学与计算机科学学院

班级： 数学与应用数学2007级5班

姓名： 董斐斐

指导教师： 李秀兰 职 称： 教授

完成日期： 2011 年 5 月 18 日

关于函数一致性的讨论

摘 要: 一致连续与一致收敛是数学分析中的重要概念,它们各自都有一些重要的定理及结论,本文首先通过对函数的一致连续及其相关定理的研究,还对函数列的一致收敛及二元函数一致收敛的概念的研究,导出了函数列与二元函数之间的统一关系,最后通过前文所述的一致连续与一致收敛的概念及其相关性质,得出函数列的一致连续与一致收敛的关系,函数列的一致性与连续性,以及函数列的连续性与一致收敛性的相关定理.

关键字: 一致连续；一致收敛；一元函数；二元函数；函数列

目 录

1 一致连续及其相关问题 1
1.1 函数的连续与一致连续的概念 1
1.2 一元函数一致连续的性质 1
1.3 一元函数一致连续的推广（二元函数的一致连续） 2
1.4 函数列一致连续性的概念 6
2一致收敛及相关问题 6
2.1 函数列一致收敛的概念 6
2.2 二元函数一致收敛的概念 6
2.3 一致收敛的函数列的性质 7
2.4 一致收敛的二元函数的性质 8
2.5 一致收敛性的统一 9
3 一致连续与一致收敛的相关性 9
3.1 一致连续和一致收敛的关系 9
3.2 函数列的一致性和连续性定理 10
3.3 函数列的连续与一致收敛 11
参考文献 12

一致性是一个很重要的概念,在数学分析以及其他学科中常常用到,而且函数的一致连续性和一致收敛性又有着密切的关系.
1 一致连续及其相关问题
1.1 函数的连续与一致连续的概念
定义1 函数在区间上有定义,称函数在区间上连续是指,对 ,使得当且时,有
定义2 设函数在区间上定义,称函数在区间 上一致连续是指,对
使得对区间上的任意两点,且时有
.
注1 比较函数在区间上的连续性与一致连续性的定义知,连续性的不仅与有关而且与有关,即对于不同的,一般说来是不同的,这表明只要函数在区间上的每一点都连续,函数就在这一区间上连续。而一致连续的仅与有关,与无关,即对于不同的,是相同的,这表明函数在区间上的一致连续性性,不仅要求函数在这一区间上的每一个点处连续,而且要求函数在这一区间上的连续是处处一致的.
注2 由连续与一致连续的概念,我们可知,在区间上一致连续性函数一定是连续的,反之则不成立.
注3 一致连续的实质,就是当这个区间的任意两个彼此充分靠近的点上的值之差可以任意小.
若把区间换成数集,也可定义函数一致连续性,如下,
定义 设函数在数集上有定义,称函数在数集上一致连续是指,对使得当且时,有.
1.2 一元函数一致连续的性质
定理1(康托定理) 若函数在区间上连续,则它在这个区间上也一致连续.
注4 上述定理对开区间不成立,例如在(0,1)的每一点都连续,但在该区间不一致连续.
定理2 函数在区间上一致连续的充要条件是在区间上满足的任意数列必有
.
例如 函数在区间(0,1)上是连续的且有界,但在此区间上并非一致连续.事实上,当0时,由基本初等函数在其定义的区间上连续知,是连续的.同时,由于,因而它也是有界的,现考虑(0,1)上的两个数列则当时,不论取得多么小,只要充分大,总可以使

但所以在(0,1)上并非一致连续.
定理3 设函数在区间上连续,且存在,则函数在上一致连续.
定理4 设在有限区间上连续,则在上一致连续的充要条件是存在且有限.
定理5 函数在区间上有有界的导函数,则函数在区间上一致连续.
定理6 函数在区间上一致连续的充要条件是,对及总存在正整数,使得当恒有.
1.3 一元函数一致连续的推广（二元函数的一致连续）
定理 函数在有界闭区域连续,则在上一致连续.
证明 用反证法.设在上连续而不一致连续,对任意小的
总有相应的
使得 ；
又为有界闭区域,由致密性定理,存在收敛子列
设,
再在中取出与下标相同的子列,因

故 又在连续,有

这与矛盾,故在上一致连续.
定理 函数在区域上一致连续的充要条件是对恒有
证明 [充分性] 用反证法.若不然,在上不一致连续,则对任意小的
都相应的,
使得
,
而这与题设矛盾.
[必要性] 在上一致连续,即对当且时,恒有
任取则对上述当时,
恒有从而有.即

定理 函数在上连续且存在,则在上一致连续.
证明 存在,由柯西准则对满足的点
总有又在有界闭区域上连续,
从而一致连续,故对上述当时恒有:

取当时
或同属于或同满足
从而总有.故在上一致连续.
注5 该定理的逆命题未必成立.即在上一致连续,也未必存在.
例如, 在上一致连续,但不存在.
定理 函数在有界开区域上一致连续的充要条件是在上连续且存在.（这里,记为的边界,为的闭包.）
证明 [充分性] 作辅助函数：

则在有界闭域连续,从而在一致连续.而在内=,故在上一致连续.
[必要性] 在有界开区域上一致连续,即
对,恒有

于是对当时,
有从而有,由柯西准则存在.
定理 函数在凸区域内有有界偏导函数,则在一致连续.
证明 设取
对
(1) 若、之一属于,比如则

(2) 若、都不属于就将与的连线等分,记分点依次为(其中)并记因为为凸区域,故这些分点都属于,且当足够大时能使点也属于.于是

综上所述,取,
总有 由一致连续定义,在上一致连续.
定理 函数在区域满足：都有 ,
则在上一致连续.
证明
有

由一致连续定义知在上一致连续.
1.4 函数列一致连续性的概念
对于函数列的一致连续性要比函数的一致性复杂,其定义如下：
定义3 设函数列在数集上有定义,若对任意给定的总使得当,且时,对一切的,都有,则称函数列在数集上一致连续.
对于函数列的非一致连续可叙述为：设函数列在数集上有定义,若存在某正数对于任意的,总存在,且时,存在正整数,使得,则称函数列在数集上非一致连续.
2一致收敛及相关问题
2.1 函数列一致收敛的概念
定义4 设函数列与函数均在数集上有定义,若对任意总存在某正整数,使得当时,对一切都有则称函数列在上一致收敛于.
2.2 二元函数一致收敛的概念
定义5 设二元函数定义在上,若存在函数使得当时,对于任意都有
则称二元函数当时,在上一致收敛于,记作

定义 设函数在区域上有定义,点集在上一致,当且仅当,对,对只要则有

特殊地,若为曲线1：则在曲线1上一致收敛,即是在上一致.
更特殊地,若为线段1:,则在上一致,即通常所谓对参量在上一致收敛.
定义 在上一致,当且仅当,对对,
只要则有
2.3 一致收敛的函数列的性质
定理7(连续性) 若函数列在区间上一致收敛,且每一项都连续,则其极限函数在上也连续.
证明 设为上任一点.由于,于是由所学定理知亦存在,且
,
因此在上连续,由于的任意性可知在上连续.
定理8(可积性) 若函数列在上一致连续,且每一项都连续,则
.
证明 设为函数列在上的极限函数.由定理7,在上连续,从而与在上都可积.
因为在上一致收敛于,故对任给正数,存在 ,当时,对一切,都有.再根据定积分的性质,当时有

这就证明了等式.
这个定理指出:在一致收敛的条件下,极限运算与积分运算的顺序可以交换.
定理9(可微性) 设为定义在上的函数列,若为的收敛点,函数列的每一项在上有连续的导数,且在上一致收敛,则
.
2.4 一致收敛的二元函数的性质
定理10（连续性）设函数关于在上连续,且时, 在X上一致收敛于则在上连续.
定理11（可积性）设函数关于在上连续, 且时, 在上一致收敛于则在任一含于的闭区间上可积,且有

该定理指出：在一致收敛的条件下,中两个独立变量与在分别求积分和极限时,其运算顺序可以交换.
定理12（可微性）设函数定义在上,若当时为的收敛点,关于x在X上有连续的偏导数,当时在X上一致收敛,则当时的极限函数有连续的导函数,且

该定理指出：在一致收敛的条件下,中两个独立变量与在分别求导数和极限时,其运算顺序可以交换.
2.5 一致收敛性的统一
准则 设二元函数定义在上,使成立的充要条件是对任何序列 ,每一个函数序列在上一致收敛到
对于函数列,利用上述准则即可将连续型的问题与离散型的问题相互转化,从而将定义5用到离散型的二元函数上就是函数列的一致收敛性的定义.
设二元函数定义在,若存在函数,，使得当时,对于任意都有
则称当时在上一致收敛到.
3 一致连续与一致收敛的相关性
3.1 一致连续和一致收敛的关系
前文已经有了函数与函数列的一致连续以及一致收敛的定义,我们可以得出
命题1 若函数列在数集上一致收敛于,且在上一致连续,则极限函数在上一致连续.
这个命题给出了函数列与极限函数的一致连续、一致收敛之间的关系.证明如下
证明 因为函数列在上一致收敛于,所以对,存在正整数,
使得当,对一切,有,对有
和.
取定,我们考察在上也是一致连续的,对上述,
使得当,且时,对一切有.
于是只要时,当,有

成立,故在上一致连续.
例如 函数列在上一致收敛于,对任意自然数与均在上连续.
命题2 若函数列在数集上一致连续,则极限函数在上一致连续.
这个命题给出了函数列一致连续的一个判别方法.若函数列在数集上逐点收敛于,而函数在上不一致连续,则函数列在数集上是非一致连续的.例如函数列在就是如此.
3.2 函数列的一致性和连续性定理
命题3 若函数列在区间上一致收敛于,且每一项都在上连续,则极限函数在区间上连续.
注6 若各项为连续函数的函数列在区间上其极限函数不连续.则此函数列在区间上不一致收敛.例如：的各项在都连续,但极限函数
,
在时不连续,从而推得在不一致连续.
注7若函数列在区间上收敛于,且连续,则存在正整数,当时,函数列皆连续?这是不成立的.因为处处不连续,但处处连续,且有知函数列为一致收敛.
上述命题3将条件适当的改变可以得到新的命题,在区间上成立的同时在数集上也成立.因此有如下命题
命题4 若函数列在数集上一致收敛于,且每一项都在数集上连续,则极限函数在数集上连续.
当然,我们也可以把函数列在上一致收敛于的条件适当的减弱,又得到下面的命题
命题5 若函数列在数集上内闭一致收敛于,且每一项都在数集上连续,则极限函数在数集上连续.
3.3 函数列的连续与一致收敛
Dini定理 设函数列在区间上收敛于连续函数,对都有或成立,且每个在上连续,则函数列在区间上一致收敛.
如果将上述定理定义在数集上又可以得到下面的命题
命题6 设函数列在数集上收敛于连续函数,存在自然数,当都有或成立,且每个在数集上续,则函数列在数集上内闭一致收敛于.

参考文献：
[1] 沈 昌，邵品琮 .数学分析纵横谈[M].北京：北京大学出版社，1991:157-189.
[2] 陈继修，於崇华，金路.数学分析[M].北京：高等教育出版社，1999:359-371.
[3] 杨翠.二元极限函数的一致收敛性[J].曲阜师范学报，2006:1004-4329.
[4] 翟明清.二元函数的一致连续性[J].滁州学院学报，2004：98-99.
[5] 彭厚福.一致连续与一致收敛[J].荆州师专学报，1993:15-22.
[6] 郑德印.一致连续与一致收敛的概念的统一[J].南都学坛，1993：98-99.
[7] 余桂东.一致连续性的条件[J].安庆师范学院学报，2002：第10卷第4期.
[8] 马雪亚.关于函数列的一致连续性的研究[J].昌吉学院学报，2006：93-95.
[9] 李锋杰，刘丙辰，李发宝，高存臣.关于函数的一致连续问题[J].烟台师范学院学报，2001：305-309.
[10] Anthony R.Lovaglia & Gerald C.Preston,Foundations of Algebra and Analysis,10,New Youk,(1966).
[11] Herbert B.Enderton,Elements of Set Theory,3,New York,(1977).

The Discusstion about The Consitency of Function

Abstruct：Uniform continuity and uniform convergence is important concepts in mathematical analysis, they have a number of important theorems and conclusions of this paper is uniformly continuous on function and related theorems each, but also the uniform convergence of function series and the binary function. The concept of uniform convergence and the sequence of functions derived by the unified relationship between the binary function, and finally by the same previously described the concept of continuity and uniform convergence and related properties, come to the same sequence of functions continuous and uniform convergence relations, functions out of the consistency and continuity, and continuity of sequence of functions associated with the uniform convergence theorem.

Key Word: uniform continuity,uniform convergence, functions of one variable, bivariate function,sequence of function,necessary and sufficient condition

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