华南理工大学高数同步作业册(含答案).pdf
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1、作业11、填空题:1)y=a rc si n(%-3)的定义域为 2,4;2)1,=a rc t a n 一+/一 x 的定义域为(-8,0)U(0,3;x-3)设/(X)=+1,=e*,则/夕()=e2x+1;4)y=si n 2 x 的周期为 n ti,w Z;5)j=1+ln(x+2)的反函数为 ex 1-2。2、设对任意实数 x,y,均有|/(x)+/(-)|=|x+|且/(0)=0,证明:=xy。证明:取X=y 则有=N=/2(x)=%2。|/(x)+/(y)|=k+两边平方得f2(x)+2f(x)f(y)+/2(y)=一+2孙+v2f(x)f(y)=xy3、判定下列函数的奇偶性1)
2、/(x)=log a(x+-lx2+a2)-1解:因为/(-x)=bg(-x+ylx 2+a 2)-1=log-,-I 7 /2 2x+y x+a=1-1 o gu(x+J%2+q 2)=_/(%)所以此函数为奇函数。X+7V X 02)/3=(x 7T Q X 7r解:当一时,O c-x W/r,/(-x=-x-7r=-/(x);当 时,一万4-10,f(-x)-x+7C-/(x);所以此函数为奇函数。4、设/(x)为定义在(-4,/)内的奇函数,若了(%)在(0,/)内单调增加,证明:/(%)在(-/,0)内也点调增加。证明:对于任给的,%2 G(-/,0),且%2,我们有0 -%2 -1
3、,因为/(x)在(0,/)内单调增加,所以/(/)。又因为/(X)为定义在(-4,/)内的奇函数,所以-/(z)/(/),即/(%)在(-,0)内也点调增加。5、设/(x)的定义域为0,4,求函数/(%+“)+/(%。)(a 0)的定义域。解:/(%+a)的定义域为-a,4-a,/(x-a)的定义域为a,4+a 当a 4-a时,即a 2时,/(a-+a)+/(x-a)(a0)的定义域为军集;当 4-a 时,即 a 0)的定义域为a,4-a 6、设/(%)=0 卜|=1,g(x)=e求/g(%),g./,(x)o|一1 Hifl解:/g(x)=1o 1-1x 0g/(x)=1 b作业21、观察下
4、列数列卜1的变化趋势,写出它们的极限:n 1 lim-=2)”T8 n+2 11 n 7i lim 一cos-=3)is 3 02、用数列极限定义证明证明:V&取1N=当,N时,恒有|+1-Vw-o 0,无妨设 10.99_9-1=1-10-1=10个i 1 o.99.9 _ i 0,因为 f8 ,所以存在N。,当 N时,恒有Un-a s此时恒有k|-|l k-4 ,由于-8 ,一定存在N ,当,N时,恒有k-1=卜,卜 此时恒有卜.几-。|=k,lk,|0,lim M=A xr c ir因为 ,所以存在 I?时,恒有I,-H,当2时,恒有k-A取 N=ma x N,N 2 当N 时上 一|二
5、 L 嗫/+/卜 L./+限/上一(-4)=|.v-2+4|=|x-(-2)|x+2取6=e,当卜一(一 2)IS时,恒有x-4 z、-(-4)x+2 X-4 lim-=-4所以2尤+2lim l x2+4x+5-x l=22)位证明:De。1vx+4 x+5-V-2+4x+5+x+2无妨设%。,则有I 1 1+4x4-5-x-2=-r g 时,恒rrlim xlx2+4x+5 x I=2所以一位)2 x+5,y 2,研究/在方=2处的左极限、右极限及当*f 2时的极限。lim/(x)=9解:1)XV,0,当 x v2 时|/(x)-91=2%+5 一 可=2k-2|取 2,当2-3Vx2时,
6、恒有|/(x)-9|=|2x+5-9|=2|x-1 0,当 2 时|/(x)-9|=|5x-1-9|=5k-2|3,取 5,当2Vx 2+3时,恒有|/(x)-91=卜x 一 1 一,=5k-2|0lim f(x)=A因为2 9,所以存在6 0,当X G1时,|/(X)-A 0,当X _G?|/(x)-a G 时,恒市|/(x)-a。和”。,当时,恒有卜”。下面给予证明。lim f(x)=A取=0.001,因为一 8,所以一定存在G 0,当H G时,恒有|/(x)-a =0.0011 f(x)=(f(x)A)+A|f(x)-A+A 由上面两式可知,1/(X)|+I 4 I令M=+M 则有I/(
7、x)|G命题结论得证。5、如果f”。时,函数/(X)的极限存在。证明:/(X)的极限是唯一的。证明:既要证明:如果数,B是函数/(.)当.打A-B假设Z。5。无妨设/3,取 2。因为lim/(x)=A,所以存在正数当0%7。不时有/(X)-A 8-2圆/(X)=3乂闪为i,,因此存在正:数,当0 卜一工。卜/时有/b。2 1,I I X CO S-取$=,当因 0(由单位圆中的弧长 正弦线,可知N=si n 2+N时,恒有I I所以%=sin 2+1(G Z.)当.8 时为无穷小2、根据无穷大的定义证明:】=e当X-+CO时为无穷大。证明:对于任给的”0e=e x 2 x取G=M,当1)G时,
8、恒有卜所以y=屋山心一+8时为无穷大。a rct a n xy-,3、利用无穷小的性质,说明 1+X 当X-8时为无穷小。lim-0,I a rc t a n x|0,因为一,所以存在S,0,当0 卜-M+恒行 2Hlim g(x)=A =丁乂因为一“,对于 2,一定存件?0,当邛一,卜训,恒有g(x)4 n g(x)/J n g(x)取5=min 2,”,当 0,一%。|/(x)|-|g(x)|M+=Mlim(g(x)-/(%)=oo所以、TX。./(%).lim-12)f。/(%)+g(x)/(%),-g(%)1+iii-:to:因为/(.)+g)g(n,所以只需大,由无穷大与无穷小的关系
9、ii m m=。证明 2%/(%)+gG)类似1)中证明,可得/(*)+g(x)为 I 时的无穷f+0时,此函数是否为无穷大?为什么?X-%时,2+g(x)为无穷小,又因为1 i mg(x)=A八。,利用极限的性质,g(x)是局部有界的,因此一g(x)也是局部有界的。根据无穷小与有界量的积还是无穷小,所以-g(x)lim-0j/(x)+g(x)。再利用极限与无穷小的关系有/(X)lim=1。/(%)+g(x)5、函数=a s在区间(0,+)是否有界?力正:常数”,使得对于任给的都有卜”闾,而我们只要取证明:1)csx在区间(0,+8)无界.如果函数)=隹区间(+”)上有界则存在2)当 f+8时
10、,y=x.cos x不是无穷大。X=2(也+1)则有 xcosd=2(m +1加 M这是,个矛盾,所以函数N=、.CO S 在区间(。,+8)上无界。lim xcos x=8如果也,即对于任意的正数”,都存在X 0 f 当 x X 时都有x s i xM而当我们取X=2(x+)7T+X2时,则有=。M这是一个矛盾,所以“一+8时,y=xcosx不是无穷大。作业5I、求 h m(L3一),%4(%+2)解:原式=lim3-xX1 x 3-=3121+x 2x-1-32、求 lim-/-也%+1-4刈 山(2x-10)(73x+1+4)2(-3x+1+4)8解:原式二 lim-)i-一(=lim
11、得-一(=-x5(3x-15)(V2x-1+3)乂-53H 2x-1+3)9 3、求 lim X+4x+5 x 2解:原式=lim/-=lima 例+4%+5+%+2 2 24 51+-+1+4、求 lim1+-+2.3nn+1)解:原式=lim fl-+-+-=lim f 1-=1 281 2 2 3 n n+)n+)卡.,15、求 lim x si n 一 xQ x解:因为lim x2=0,si n 0 x 7 012)当 X f X。时,有无可能/(x)g(x)-0?解:有可能,例 lim =00,lim X2=0,但lim x=0X T。X T。作业61、填空1)limsi n 2 x
12、si n 5x252)t a n 3xlim-一 X33)lim(1+2x)r=e2 x-o _2、求下列极限1)lim 1-1-1-。I x si n x x t a n x)、(2 +3、2)lim I-I2n+1 J解:原式=lim f 1+-,4 2n+1 J、V1-cos 2x3)lim-N2 sM 2 x si n x 厂解:原式=lim-=-lim-=-5/2。X O-X 3、用极限存在准则证明:lim=071 12 h I 1 1 n I证明:因为0二=上上.上,lim-=0,由夹逼准则,有lim今=0 o n n n n n n4、求极限 lim 一+-+-+n+2 n+及a
13、Jn n n n解:内为x-;-+-+-n x-n-+n 乃 n+乃+27 n+n n+ttn2 1 n2 1lim-=lim-=1,lim-=lim-=1,2“n-+n 冗 7i”-8 一+%”i8 7i1+1+2n n.、一、4,.(n n n由夹退准则l im|+.+-I=1+n n+2/n+n)5、证明:数列J7,2+VT,12+J2+V?,的极限存在,并求出其极限。证明:用单调,有界准则证明极限存在。设此数列为则有”=52+0,显然由=VT 2,如果a”2,则。+1=+a”2+2=2,由数学归纳法,有卜+a”=42=a,,此数列是单调增的,所以此数列极限存在,我们设lim a”=a,
14、则由=.2+a.可得a=J2+a,解得 a=2。作业71、求下列极限、t a n x-si n x1)lim-一,、.3x si n x八f e 1、t a n x(l-cos%)7 1解:原式=lim-=lim-=x-0 si n x 2。x,2x(ex-l)ln(1+x)1J 1解:原式=lim-=x 2、VI+x-13)lim-:-;-丫-。(es,n*-l)t a n x解:原式=lim-x 0.si n x t a n x=limx I4)limX T 0a rc si n,-4 JIn(1-x)解:原式=lim-=lim1-=12-x、a rct a n(x-1)5)lim-+-V
15、 2解:原式 lim-=lim-=(x+2)(%-1)i x+2 32、当-0时,确定下列无穷小关于的阶数1)t a n x(sin x+x 2)t a n x(sin x+x 2)si n x+x2 .(,、,解:lim-=lim-=1,所以,当 o 时,t a n x(si n x+x)关、X 2 v-o x于X的阶数为2 o2)a/1+x3-13 L 3 _ _解:lim-=,所以,当x fO时,/1+%3_关-%的阶数为3。x 3.ct ct(X3、证明:若=o(a),=o(),且 lim 存在,则 lim-=lim 一。B +A Pa a)+匕匚由 r r P B.Ul:叫:lim-
16、=lim-=H m夕+4 1+la a a t由 2 I=O(2),=o(),我们有 lim L=0,lim L=0,且 lim 存在,所以 a B Pa+a I alim-=lim。4+4 B作业81、求下列函数的间断点,并指出其类型J 2x-3%+2解:y=d),有两个间断点x=1,工=2,其中,x=1是可去 x-3x+2(x-1)(%-2)X 2-间断点,当=1时,令y=-2,则y=-在=1处连续;=2是无穷间断x-3x+2点。3-x 1解:X=1时此函数的跳跃间断点。13)y=1-e解:此函数有两个间断点x=0,%=1。x=0是无穷间断点;因为lim-=-=0,lim-=-=1,所以
17、x=1 是EK跃间断点。1 _ e+x“l e-81-e 1 ex 2、讨论函数/(工)=lim上匚的连续性,若有间断点,判别其类型。-1+Xfi mi解:/(x)=o k|=1,x=I,x=-1是此函数的间断点,它们都是跳跃间断点.r1卜卜12)lim lx2+x-J/_ x)ex x 0解:当 W0时,函数都是连续的,所以我们主要考虑x=0处的连续性。lim/(X)=/(0)o lim/(x)=lim f(x)=/(0)xfO xfO*xtOlim(x+b)=lim e=ax-O+x-0b=a当a=b=1时,此函数处处连续。4、证明:若函数/(%)在点x 0处连续且/(%。)。0,则存在工
18、。的某一个邻域U(x。),当x e U 国)时,/(x)w 0 o证明:因为函数/(%)在点工。处连续且0,所以lim/(%)=0由极限的局部保号性,存在存在“。的某一个邻域。(。),当x e。(%)时,/(x)w 0。5、求下列极限、si n x-si n a1)lim-a x-ax+a x-a x-a2 cos-si n-si n-解:原式=lim-=lim cos-=cos axi x a x f0 2 x a23)lim(1+3 t a n x)i解:原式=lim(1+3 t a n 2%)3 由 z x=e x-0、V1+t a n x-V1+si n x4)lim-/-x-0.2x
19、a/1+si n x-xx c o sx s i nx(Jl+t a nx+Jl+s i nx)26、设:/(%)是定义在a,上的单调增函数,e(a,b),lim/(x)存在。证明:f(x)在点X。连续。证明:设lim/(%)=A,如果幺 f(x0)X T%取=/-/(%o),因为 lim/(x)=A,所以存在b 0,使得-。,o+b e(a,b),X T X。当0 卜一|5 时有|/(x)=A-/(Xo)A-A+/(x0)/(x)2A-f(x0)/(xo)/(x)2 J-/(x0)当o-b x%0时,有/Go)f(x),这与/(x)是定义在a,b上的单调增函数矛盾;如果/0,使得%-5,%+
20、6 e(a,6),X f xv当0卜一1|b 时有|/(x)=f(xQ)-AA+A-/(x0)/(x)/(%)/(x),这与/(x)是定义在a,6上的单调增函数矛盾。所以 lim/(x)=,/(x0)即/(%)在点 连续。f*07、证明:方程x=si n X+b(0,b 0)至少有一个止根,并且不超过a+b。证明:在闭区间0 j+6上考虑函数/()=、-外山x-b,显然/(x)在0,a+b上连续;f(0)=0如果/(a+6)=0,a+6就是满足要求的根;如果/(a+)0,由零点定理,至少存在一点J c(0,a+6)使得/怎)=0,J就是满足要求的根。8、设函数/(x)对于闭区间a,”上任意两点
21、x,y恒有|/(x)-/(y)|乙,-),其中为正常数,且/(a)/(b)0,因为 时,|/(%)-/(%o)|L,x-x0|,我们只要取5=min-a,b-x0,一j,当时一定有|/3-/(0)|0,因为 x e a,b时,-W z|x-t z|,我们只要取S=min 1 b-a,卜当a V尤a+b时一定有|/(%)-/()|所以在a处右连续,同理可证/(%)在b处左连续,所以/(%)在,可上连续,又因为。)/(6)0,A11 0,当x G时有,|/(x)|0,对任给的x wa,G有|/(x)|Af,o 取河=ma x M x,M 2,对任给的 e a,+co)有|/()|M所以是区间a,+
22、g)上的有界函数。作业91、填空题1)/(0)=0 旦广(0)=-1,则lim-1;1。%-2)设 lim-=一,则/=;最-。/(%+左 Ax)/(x)/()3I q 0s X X 0-4)过定点(3,0)且与曲线y=x 2相切的直线方程为y=0或y-36=12(%-6);5)/(x)=5|ln x|+21n x,则(1)=7,/;(1)=-3。2、按导数的定义求函数/)=在点、=3出的导数。解:/(3)=limA-,3+h=lim-,=-=limAV3V3+h 2+3、设函数/(x)=(%-a)e(x),其中8(x)在=a处连续,求尸(a)。&73/、f(a+h)-f(a)h(p(a+A)
23、,、解:f(a)=lim-=lim-=lim(pa+h)h 0 h 0 人 h 0因为9(x)在x=a处连续,所以上式=(lim(a+力)=0(a)。4、设/在x=0处连续,Jllim乙至=1,求曲线J,=/(、,)在点(0./(O)处的切线 i 3x方程。解:因为/(%)在 X=0 处连续,lim/(2x)=/(lim 2x)=/(0),又因为xtO xtOlim/(2x)=lim-x 3x=0,所以/(0)=0。,-。3xr 八)-/()/(2R 3/(2.t)3 1,/(0)=li m-=11 m-=-11 m-=一,只十 x=n h x f。2x 2 i3x 2 23曲线y=/(%)在
24、点(o,7(O)处的切线方程为歹=-A-2r 25、为使函数/(%)=、”x解:1)由在=X。处连续有lim/(x)=ax +b=lim/(%)=x:=)=%+6X fX。2)由/(X)在X=%0处可导有lim/(%o+%)-/Go)li mA-O-ah-二ahhGo+)2%6 h./Go+人)-/Go)lim-hT Q-hli mA-0H m(/常=2x hf(T h所以 a=2x0,b=-x6、证明函数/(%)=+X-1-J-x0在=o处连续,但不可导。xx 0 .v-0+J Y X-01x2J=lim-=0=lim/(x)=f(0)J X f 0,2 x r 0所以lim/(x)=/(0
25、),即/(x)在=0处连续;.VT 0J1+h 1又因为 lim-)=lim-=lim.-=oo,所以/(%)在工=02o+h 2。+h a-o+Vh(V1+A+1)处不可导。作业101、填空题1)若函数/(X)=X(%-D(x-2)(X-3)-,则尸(0)=(-1)n!;2)设曲线y=d+6与 =法2+。都通过点(一 1,0),且在点(-1,0)处有公切线,贝!Ja=-1,b=-1,c=13)若)为可导函数,N/(%+3)=/,则/(x+3)=5,/(%)=5(x 3)44)设-Wk),则/;5)曲线j-=2 si n x+x2在横坐标x=0处的切线方程为y=2x,法线方程为y=-02、求下
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