历年考研数学数一至数四真题及解析.pdf
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1、1996年全国硕士研究生入学统一考试 理工数学一试题详解及评析填空题设 lim *+2。-8,则 a _is Ix-a)【答】In 2.3axx-aba=e,于是=8n =ln 2(2)设,平面经过原点及点(6,-3,2),且与平面41-+22=8垂直,则此平面方程为【答】2x+2y-3z=0【详解】原点与点(6,3,2)连线的方向向量为s=(6,-3,2);平面4x y+2z=8的法向量为n=4,-1,2),根据题意,所求平面的法向量为i j ksxn=6 3 2=2/+2 j 3k.4-12故所求平面方程为2(x 0)+2(y 0)3(z 0)=0,即 2x+2y-3z=0.(3)微分方程
2、y 2y+2y=ex的通解为_.【答】y=Cex cos x+C2ex sin x+ex【详解】对应齐次方程的特征方程为分24+2=0,解得特征根为 4,2二1,【详解】因为limX8x+2ax-aXco=limx-a 3a由J a=l不是特征根,可设原方程的特解为=4e代入原方程解得A=1,故所求通解为y=Cex cos x+C2ex sin x+ex(4)函数m=In(九+五三”)在A(1,0,1)点处沿A点指向的方向导数为.【答】2【详解】因为du Imdu I&du Idy=0-2沿AB方向的单位向量为2 _2 故沿而方向的方向导数为1(5)设A是4x 3矩阵,且A的秩r(A)=2,而
3、3=0-10 22 0,则r(Ab)=0 3【答】2.1 0 2【详解】因为|用=0 2 0=100,-10 3说明矩阵5可逆,故秩r(A8)=秩r(A)=2,二、选择题(1)已知a+y)d::丁办为某函数的全微分,则。等于(x+y)(A)-1.(B)0.(C)l.(D)2.【答】应选(D).【详解】(x+a y)dx:”?y为某函数的全微分的充要条件是(-V+.V)-d y+Sx1(x+J ay(x+y)2J即(q _2)x _qy=_2%=0.当且仅当a=2时上式恒成立,故正确选项为(D).(2)设有二阶连续导数,且(0)=0/吗邛?=1,则 r l(A)0)是/(力的极大值.(B)”0)
4、是“X)的极小值.CO(0,/(0)是曲线y=f(x)的拐点.(D)/不是“X)的极值,(0,0)也不是曲线=”的拐点【答】应选(B).【详解】由题设lim4=1根据极限的性质知,存在x=0的某邻域,|.r|x在此邻域内有 W。.即/(-V)0.又根据泰勒公式,f(x)=/+F(O)x+qx 2其中在0与X之间,从而“X)=/(0)+匕”0)可见/(0)是/(X)的极小值,故正确选项为(B)(3)设“0(=1,2,),且收敛,常数/二,则级数(1)”|n t a n|a2n=i k 2 J=i k n)(A)绝对收敛.(B)条件收敛.(C)发散.(D)敛散性与4有关.【答】应选(A).【详解】
5、由于(-2=n t a n ,出”,nn而lim几t a n=4,所以当充分大时,A%n t a n a2n 02小)(1)尸=2/I(0).lim-_!*0,可见应有K=3故正确选项为可).a00A(5)四阶行列式00。2b3b2a300的值等于打00%(A)axa2x3x bb2b3b4.(B)a1a2a3a4+bQ2b3b4.二 2 lim-!7Ty*二。)x 0(C)(。2 _ 姑2)(34-姑4)(D)(a2a3-b2b3)(%一人也)【答】应选(D)【详解】0按第一行展开,a,0 00 a2 b20 4 a3&o。40=a a2么00a244a3004a30000b2b2一他aa4
6、a2a2(a2a3 贴3)(q 4-姑4).故正确选项为(D).三、(1)求心形线r=+cos。)的全长,其中10是常数.【详解】因为r(。)=-asin 0,ds=J/(6)+r2(。)初=la cos-d0利用对称性知,所求心形线的全长s=2 2acosd0=Sa sin|T=Sa J o 2 2 0(2)设%=10,斗+1=)存(=1,2,),试证数列的极限存在,并求此极限.【详解】由月=10,x2=J 6+1=4知,.v,x.设对某个正整数大有五 xk+l则%=j6+x*+%=%.故由归纳法知,对一切正整数%都有%茗z,即数列%为单调减少数列.又显然有x,0(=1,2,),即%,有下界
7、,根据单调有界数列必有极限知,数列七的极限存在.it!lima;=,对x“+=J 6+xn 两边取极限,得“=j6+”,从而 ci a 6=0解得a=3或。=2(舍去,因为%0)故所求极限值为。=3.四、(1)计算曲面积分。(2元+2*)/2+2%6仅其中$为有向曲面1=冗2+2(0(%1),S其法向量4 s轴正向的夹角为锐角.【详解1】用高斯公式,以5表示法向量指向z轴负向的有向平面z=l(x2+),2l),。为S 1在x 0 y平面上的投影区域,则J J(2x+z)dydz+zdxdy=挣(2%+z)dydz+zdxdy-jj(2x+z)dydz+zdxdy s S+S S=-J U(2+
8、-J j-dxdyCD【详解2】z于是7呵)町:-(-)性3万=-F 712_ 71一一5.用矢量投影法,因为=2x,z;=2yjj(2x+z)dydz+zdxdy=J j(2x+z)(-z:)+zxdy s S=J J(4x2 2xz+zdxdys=J J-4/-2xx2+j2+x2+)/卜/dyD=J:(7(-4r2 cos2 3-2r3 cos 6+r2)_ 71【详解3 直接投影法,曲面S在yOz平面上投影Dyz对应两个曲面:”是%=J z y2,0 Wz W1,其方向指向前侧,因此积分取正号,见x=J z-y2,0Vz W1,其方向指向后侧,因此积分取负号,再记与表示S在工。y平面上
9、的投影区域,则J j(2x+z dydz+zdxdy=J J(2&上+z/ydz+J J-+zdydz+jj(f+y2 ixdyDyz Dyz Dxy=-4jj z-y2dydz+jj(x2+y2 yixdy%=-4(时;石了火+呵,-rdr_ 式一.(2)设变换“=x 2y.可把方程6W+dj_-慧=0化简为=0,求常数。v=x+ay dx dxdy dy dudv、*珈&dz&dz 二 dz dzdx du dv dy du dv矍_受 2匹 取dx1 du2 dudv dv2 d2z 0 d2z/、d2z d2zdxdy du2 7 dudv dv2d2z A d2z A d2z 2 z
10、-7=4-4a-+优一彳.dy2 du2 dudv dv2将上述结果代入原方程,经整理后得(10+57)Z+(6+a-a2 v 7dudv v=0依题意知a应满足6+a-a2=0,且 10+5a w 0,解之得a=3.五、求级数 n=2,1 的和.8 1【详解】令=,贝IJn=2-18 n=2 -1力宁炉-1 1个炉+12-1 2xin+x,xn 1。炉 1 22M 几 2xtf n 2因为t=_ln(l x),于是有=i x i i i5(A)=-2ln|-r)+2+4V+27ln_AlAl 0,曲线y=/(x)上点(x,/(x)处切线在Y轴上得截距等于g j;/求/(X)的一般表达式.【详
11、截】曲线y=/(x)上点(x j(x)处切线方程为r-./(A-)=/(A-)(X-A),令x=0得截距y=f(x)-xf x)由题意有即 3(x)=0;积分得 xf x)=Cv因此 x)=Gln x+Q(其中G、g为任意常数).七、设 x)在0上具有二阶导数,且满足条件x)|Va,(x)|vb其中、b都是非负常数,c是(0)内任意一点,证明IP-2【详解】对/(x)在x=c处用泰勒公式展开,得“x)=/(c)+f(c)(x-c)+(x-c)2(*)其冲 S=c+6(x-c),0 6l.在(*)式中令=0,则有O)=c)+/k)(O c)+gO c,OC1,在(*)式中令x=l,则有y(l)=
12、/(c)+/(c)(l-c)+(l-c)2,021,上述两式相减得于是又因当c e(0,1)时,有(1-c+/M 1,故 (c)|2a+3八、设4=E-。其中E是阶单位矩阵,彳是维非列向昂,是目的转患证叨:(1)A2=A的充要条件是“4=1;(2)当?4=1时,4是不可逆矩阵.【详解】(1)A2=(E-毙了)(E-2打了)=E-2*7+&/=_(2一9打WA2=AE-(2-)r=-*(-1)=0 因为 J wO,所以打wO故的充要条件为j=i;(2)方法一:当 4=1 时,由4=44。有 一打4=4 4=0,因为J wO,故Ax=0有非零解,因此|A|=0,说明A不可逆.方法二:当?自=1,由
13、A2=Ao A(A)=0,即E A的每一列均为Ax=0的解,因为E 4=打?。0,说明Ax=0有非零解,故秩(A)i-4)(A-9),-3 3 2-3所求特征值为 4=,4=4,=9.(2)由特征值可知,/(%,12,%3)=1表示椭球柱面.十、填空题(1)设工厂A和工厂3的产品率分别为1%和2%,现从由A和B的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件、发现是次品,则该次品属A产品的概率是_.3【答】7【详解】设事件A=抽取的产品为工厂A生产的,6=抽取的产品为工厂8生产的,C=抽取的是次品,则尸(A)=0.6,尸伊)=0.4,尸(CI A)=0.0 1,P(CI B)=0.0 2,由
14、逆概率公式知 P(A)-P(C A)尸(aic).2 7 P(c)P(A)P(CI A)+P(B)P(CIB)0.6x 0.0 10.6x 0.0 1+0.4x 0.0 237设乙是两个相互独立且均服从正态分布N的随机变量,则随机变量归-司的数学期望E(归司)=【详解】因为是两个相互独立且均服从正态分布故Z=4也服从正态分布,且 E(Z)=EJ-E=O,D(Z)=D4+D=;+;=1,即Z N(0,l).是H一、设斗是两个相互独工n.服从I,(J 一分布的两个随机变量,已知二的分布律为=i=g,i=1,2,3,乂谩 X=ma x g),y=min(i)写出二维随机变量(x,y)的分布律;123
15、123(2)求随机变量X的数学期望E(X).【详解】(1)由X=min依77).的定义知,P X 尸历=i=I,尸 X=2,Y=2=Ph=2=2=Ph=2.p =2=P X=3,Y=3=P值=3,=3=Pt=3.p5=3=p X=2,丫=1二尸归=2+尸归=2,7=1=尸 X=3,y=2=P J=2,=3+P J=3,=2:7 2p x=3,y=i=i=-;I J 9 9故所求的分布律为2-.9 2-9(2)X的边缘分布为1231J _ 92929201929300j_ 9故X的数学期望为X123pj_9395913 5?E(X)=-x l+-x 2+-x 3=.v 7 9 9 9 91996
16、年全国硕士研究生入学统一考试 理工数学二试题详解及评析一、填空题2l则IL(1)设 y=x+e 2【答】I详解 1 y=x+e22,3 +e 2.2所以y=-.-x=o 3(2)J 卜+a/1 x2 jt Z x=_.【答】2.【详解】(3)微分方程y-+2y+5y=0的通解为【答】y=ex(C,cos2x+C2 sin 2x).(详解】特征方程+24+5=0的解为4=一1 2i,所以通解为y=(G cos 2x+C2 sin 2x)(4)limx sin In|1+|-sin In|1+|=_.x 8 x)v x)【答】2.【详解】方法一:令工=t,则由洛必达法则知X原式=limDsin l
17、n(l+3f)-sin In(1+1)=lim co;=limffO=2t3 is In(1+3?)-cos ln(l+r)-v 7 l+3r 7 1+r.3 1 11+3,1+z方法二:直.接利用三角函数和差化积公式.原式=1+2口 4i+i 1+ilim 2x sin-cos 土f 2 2X-8 2Xf 8 X+l(5)由曲线y=x+,x=2及y=2所围图形的面积3=x【答】In 2-L2详解 S=J f x+j-2 dx=(-x2+nx-2xj =n2-二、选择题(1)设当Xf 0时,/一(。九2+Z?X+1)是比2高阶的无穷小,则(A)a=,b=1.2(C)a=,Z?=12(B)a=,
18、b=(D)a=l,b=1【答】应选(A)【详解】方法一:由于x f0时,=1+X H-%2+。(%22 1则由X7()x f 0 入2=0必有解得1-/?=0,-6?=02a=1.2方法二:因,-(+云+1)e-2a.x-blim-=lim-D X1 10 2x又 lim 2x=0,lim(ex-2ax-b=-bXf 0 Xf 0 )必有b=,从而原式=lin/-2-b=lim e-2a=i-24=0.x-o 2x x f o 2所以。=.2(2)设函数在区间(_及3)内有定义,若当工(一3)时,恒有卜/,则x=0必是/(%)(A)间断点.(B)连续而不可导的点(C)可导的点,且/=0(D)可
19、导的点,/W0【答】应选(C).【详解】山定义./(.V)-,/(0)/(-V)/(.V)lim-lim-lim x=0,x-0 x x f 0%r f0山题设必有 f(O)=O因此/(o)=o(3)设/(x)处处可导,则(A)当 lim/(x)=-go,必有 lim f(x)=-cc,rn n rn o /(B)当 lim/(x)=-oo,必有 lim=-8,(C)(D)当 lim f(x)=+8,必有 lim f(x)=+oo,x-+oo、x+x 、7当 lim f(x)=+oo,必有 lim f(x)=4-oo,X-+0 0 7 bX 7【答】应选(D).【详解】方法一:利用举反例排除不
20、正确选项.令/(x)=X,则 1蛆/(X)=8,但/(X)=1,可见(A)、(C)均不正确.因而只有(D)是正确选项.方法二:若 lim f(%)=+8,则存在M 0及0 0,当%时,f(x)M于是当时,有/(Xm)=/(4)(X-4)M(x-%)从而有/(x)/(x0)+M(%-%).+00(%+oo)(4)在区间(-co,+oo)内,方程一cosx=0(A)无实根.(B)有且仅有 个实根(C)有且仅有两个实根(D)有无穷多个实根【答】应选(C)详解令/(九)+卜,COS X,由于一%)=/(九),故为偶函数,因此只需考虑/(X)=0在(0,+8)内的实根情况.当x NO时,/(X)=|x
21、p+|耶-cosx,1,3 f(x)=x 4+x 2+sin xv 7 4 2“见,当x 40,马时,/(x)O,/(x)在10,9;内单调增加,且/=-1,/m1,因此x)=0在o,:|上有唯一实根;当寸,x)0,故在(0,+8)上x)仅存在唯一实根根据x)关于y轴对称的性质,=0在(-8,+8)上有且仅有两个实根.(5)设x),g(x)在区间可上连续,且&(%)%(加为常数),由曲线y=g(x),y=f(x),x=a及x=b所围成平面图形绕直线y=机旋转而成的旋转体积为(A)J:7i2m一+g(切/(x)一 g(切dx,(B)f 71 2m-f(x)-g(x)f g dx,租-x)+g(x
22、)/(x)-g(x)dx,(D)f/篦-【答】应选(B)【详解】因为V=j dx-dx=2m-/(x)-g(x)/(x)-g(x)jx所以正:确选项应为(B)三、计算j;J l-e2dx.【详解】方法 原式=exdxJ*-lf in 2 rT./.1112 pin 2L+V32V3T-方法二:人-X M,I/-cost.令 e=sin t,贝U dx=-dt,sin?原式=方法三:E募山T7TJ sin tdt6=-ln(cscz+cot r)|J令=钉则dx1+sin x【详解】方法一:方法二1-sin x2COS tdx t a n x-F Ccosx2X(71+t a n、21+t a
23、n 2-+c1+t a n 2x=f f(u2 du(3)设 2,其中式)具有二阶导数,且K)W0,”=仆2)【详阶】因为所以dy dtdx2 dtydx)dx/(产)dt1 一 y(4)求函数/(x)=0在x=0点处带拉格朗日型余项的阶泰勒展开式.【详解】/(x)在在x=。点处带拉格朗日型余项的n阶泰勒展开式为:了)=。)+0卜+。/。)/+.+:/20)/+1/(“)(%)/其中0。1,可见,关键是求出了(X)在在X=0点的左阶导数y(t(0),A=0,l,2,-,/!+l由于占T/何(x)=?):5(=12,+1)(1+x)所以n+y(A)=l-2A-+2+.+(-l)-2A-+(-iy
24、11-(001)(1+。町(5)求微分方程y+y=/的通解.【详解】对应的齐次方程的特征方程为:22+2=0解得;1=0,2=1故齐次方程的通解为y=C,+C2e-x设非齐次方程的特解为:x(狈2+以+。),代入原方程,得1,1 ca=,b=-l,c=2,3因此,原方程得通解为1y 二 一 3X,-+2x+G+x(6)设有-正椭圆柱体,其底面得长、短分别为2q,24用过此柱体底面得短轴与底面成a角的平面截此柱体,得一楔形体(如图),求此楔形体的体积V。【详解】方法一:底面椭圆的方程为:2 2r+3=1,以垂直于y轴的平行平面截此楔形体所得的截面为直角三角形,其一直角边为 a b小f,令直角边长
25、为-亲 t a n%故截面面积为2s(y)吟t a n cr楔形体积为后V=2.2a2 b t a n ady=-t a n a方法二:2 2底面椭圆的方程为二+二=1,以垂百于X轴平行平面截此楔出体所得的截面为矩杉,a b其一边长为2y=2b.1-,令一边长为x t a n a,故截面面积 V aS(x)=2bxyjl-1 t a n a楔形体的体积四、计算不定积分Ja r ct a n x x2(l+x2)dx【详解】方法一:a r ct a n x.r a r ct a n x.r a r ct a n x,-V7=2 dx-Y-dx x2(l+x2)J X2 J 1+X2a r ct
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