《近世代数基础》课后习题答案与解析.pdf
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1、第一章基本概念 1.集 合1.BczA9但8不是/的真子集,这个情况什么时候才 能出现?解 由题设以及真子集的定义得,工的每一个元都属 于因此/u3.于是由BuA AuB 得力=艮所以上述情况在N=B时才能出现.2.假定 Nu3 Nns=?xue=?廨 i)由于/u3,所以N的每一个元都属于B,即N的每一个元都是N和B的共同元,因而由交集的定义得但显然有xn B(A 所以 xn b=x(H)由并集的定义,/UB的每一元素都属于/和3之一.但Nu&所以/U石的每一元素都属于/(J 5uB另一方面BuNUH所以NUR=B.2.映 射1.A=1,2,,100 找一个XxJ到月的映射.解用3 5)表示
2、Nx/的任意元素,这里。和b都 属于*.按照定义做一个满足要求的映射即可,例如 a就是这样的一个,因为替Nx4的任何元素(Q,6)规定 了一个唯一的象。,而。4读者应该自己再找几个4 x/到/的映射.2.在你为习题1所找到的映射之下,是不是力的每一 个元都是Ax A的一个元的象?黑 在上面给出的映射会之下,N的每一个元素都是 XxX的一个元的象,因为4 6)中的。可以是W的任一 元素.-你自己找到的映射的情况如何?有没有出现力的元素不 都是象的情况?假如没右,找一个这样的映射.3.代数运算1-n=所有不等于零的偶数.我一个集合r,使得 普通除法是/xN到0的代数运算.是不是找得到一个以上 的这
3、样的D?解 一个不等于零的偶数除一个不等于零的偶数所得结 果总是一个不等于零的有理数.所以取D=所有不等于零的有理数 普通除去就是一个A x A到。的代数运算.可以找得到一个以上的满足要求的读者可以自己找 几个.2./=(8,6,规定Z的两个不同的代数运算.解(i)我们用运算表来绐出上的一个代数运算:oabcaaaQbaaacaaa按照这个表,通过。,对于力的任何两个元素都可以得出一 个唯一确定的结果。来,而。仍属于/所以。是4的一个 代数运算.这个代数运算也一可以用以下方式来加以描述O.(r,y)-=soy 对一切式,y A(ii)同理o:5,V)-x=xoy 对一切”,也是工的一个代数运算
4、.读者可用列表的方法来给出这个代 数运算.读者还应自己给出几个Z的代数运算.4,结合律1.工二!所有不等于零的实数.。是普通除法:3ao6=T这个代数运算适合不适合结合律?解这个代数运算。不适合结合律.例如,当2=4b=c=2时4 2(ao6)oc=(4o2)o2=万。2=三=17 2 4ao So。)=4o(2o2)=1所以当。,6和C取上述值时2o(ao6)0c 金 a。a+2b=aob适合不适合结合律?解读者可以用解上一题的方法来证明,所给代数运算 不适合结合律.6,3.4 二c 由表babbbQ b给出的代数运算适合不适合结合律?4斛 所给代数运算。适合结合律.为了得出这个结论,需要对
5、元素。,b,。的27(=33)种排列(元素允许重复 出现)加以验证.但是利用元素&的特性,可以把验证简 化,仔细考察运算表,我们发现以下规律,对集合N的任意 元素”来说,都有aox=xoa=x由此得出,对于有。出现的排列,结合律都成立.这一点读 者可以自己验证.还剩下。不出现的排列.这样的排列共有 8(=2,)种.我们在这里验证4种,其余4种读者可以自 己验证.(bob)od=cob=a bo(bob)boc=a 所以(bob)06=bo(bob)(bob)oc coc-bbo(5oc)-boa=b所以(bob)cc=bo(boc)(boc)ob=aob=b 60(co6)=boa=b所以 S
6、oc)=bo(cob)(60c)oc aoc=cbo(coc)=bob=c所以(bcc)oc=60(coc)5.交换律1.X=所有实数.。是普通减法.5aob=a-b这个代数运算适合不适合交换律?解容易验证,当。=1,b=2时-aob 小 bcia所以这个代数运算不适合交换律.2.A=a9 by c,d.由表 1a bedaabedbb d a ccc a b ddd c a b所给的代数运算适合不适合交换律?解要回答这个问题,只须考察一下运算表,看一看关 于主对角线对称的位置上,有没有不相同的元素.6,分配律假定G),是/的两个代数运算,并且适合结合律,O,心适合两个分配律.证明(5 06(
7、)(。1。6,0(外。/)(。20%)=(。2 03)(。13必2)b】)(G1 b2)(32Ol)(2G2)HQlOSiObz)+a2o=(口 J)(2z)O(b I e&2)二(Gt(oaOi)(ax 62)1&*对一切k6/是一个A与A间的一一映射.首先,给了任一工W-4,即任一大于。的实数“,1*是 一个实数,即1g工6牙,并且值是唯一确定的,所以是一 个/到工的映射.一-一其次,对于任一夕67,即任一实数i1g X=IglO=所以6是一个工到N的满射.最后,若是以,工2丘4 并且工14工1,那么1区叫声同工2,所以是一个X到N的单射.这样,是一个X与N间的映射2.A=所有三0的实数A
8、=所有实数,0 V X 若0三工 si n x|x W/G 2 z x-0 0 x x 1x-都是,4到h的满射._3.假定是/与N间的一个*映射,Q是5的一个 元.9T力(Q)Z1=?6-1(。)口=?若g是x的一个变换,这两个问题的回答又该是什 么?解当是工与N间的一个映射时,6(。):=a 09一 未必有意义.若0是/的一个-变换,那么70(a”=a(a)=a读者可以做一做以下补充习题.o的整数!证明g*m x+1 对一切*ex是x与力间的一个-映射.(ii)A=所有二0的实数8N=所有三。的实数 利用(:)题找一个工与二间的一-映射.8.同 态1.N=所有实数”N吧代数运算是普通乘法.
9、以下映射是不是人到工的一个子集N的同态满射?a)x*x b)x-*2 x c)x 工”d)人一一工解 Q)取方=所有工。的实数,则Nu/,而G “一 x Q A是X到N的一个同态满射.因为$对任一爱黎”,11是一 个唯一确匡的三。的实数,所以6是x到N的一个 映射;若是无eX那么元而(无)=1历=无所以91是/到%的一个满射,对任意*,y e a,01 sy)=lx I=|*|、=1(攵)(、)所以6】是N到N的一个同态满射.6)当“取遍一切实数值时,2”也取遍一切实数值.读者容易证明2:x-*2x=P2(x)是/到/的一个满射,但不是到工 的一个同态满射.因为;取Z的数2和3,那么%(2)=
10、4/(3)=69 2(23)=02(6)=12 长(2)少2(3)C)取N=所有2。的实数,那么工UX 读者可 以自己证明 3:工一工2=力3(*)*A是/到N的一个同态满射.d1 当,取遍一切实数值时,-*也取遍一切实数 值,容易证明 4:一 一一=cp4(%)夕 e/是N到/的一个满射,但不是一个同态满射 _ 2.-假定z和N型于代数运算。和G来说态,而N和 二对于”,数运算三和己来说同态.证明,上和对于代数运 算。和二说同态.解 由题设存在N到奇的一个同态满射 _”ar=1D】(a)a e a 6 4并且对于的任意两个元素。和b来说 1(acb)=ao6=i(a)o (6)同样存在N到N
11、的一个同态满射 ,?-8 ._ 一02:。一口 二 02(。)aCN,aG/并且对于R的任意两个元素)和8来说-3P z(aob)-a a b=P 2(a)o z(6)如下定义 中:a 2匚01(。)口 0GN 那么G是,到N的一个同态满射.因为:2 匚 i 口 二 9 之匚小 1(a)0 j(.6)J=叭皿_(WRm(B):=0(Q(b)而小是/到二1的一个同态满射.9.同构、自同构1./=。,方,。代数运算。由下表给定.a b找出所有/的变换,对于代数运算Q来说,这些变 换是否都是力的自同构?解/共有6(=3 1)个变换,即 3 z 02 2 3 1b b6*c6-。6 4 。一 6 6
12、a o一。05:。一。b 一 b c-*a)=人1+ky=(x)+8(y)所以3是N的一个自同构.读者可以试证,X只有以下对于加法来说的自同构x 一版 左是耍0的有理数3.N=所有有理数二_4的代数运算是普通加法.A=(所有/0的有理数,R的色数运算是普通乘法.证 明,对于给的代数运算来说,工与N间没有同构映射存在(先决定。在一5、同构映射下的象.)12解 设是会与N间对于所给代数运算的一个 同构映 射,而中(o)=下.那么由于中是同构映射,有9(0)=0 8+0)=/(og(o)=2 但同构映射是单射,所以得主=;于是有 _ _ 2 _ _ _a a a a 1=0但至gN,所以下壬o,因而
13、记一i=o,即W=1 这样0(0)=1(1)由于9是满射,N的元-1必是工的某一元。的象,(a)=-1由是得9(2q)=(a+a)=(。)由(。)=(-1)2=1 于是由小是单射,得2 a=0,即。=0,而(。)=-1,与(1)矛盾.这说明,在“与N间对所给代数运算来说不 存在同构对应.读者可以用以下方法得出本题的另一证明,设(a)=2.考虑(一1+)10.等价关系与集合的分类1./工所有实数 Z的元间的关系以及N是不 是等价关系?解 不是等价关系.这个关系不满足反射律:。不成立.13一也不是等价关系,它不满足对称律,例如,322,但2二3不成立,2.有人说:假如一,个关系7?适合对称律和推移
14、律,那 么它也适合反射律.他的推论方法是因为无适合对称律R b 6 A Q因为7?适合推移律R R b,b R a=。无。这个推论方法有什么错误?解这个推论方法的错误在于,对于“等价关系”定义 的陈述没有准确地理解.a R b=b R a的意思是:由a&b可得6五。,假如对于某一元素口,找 不到任何元素6,使得。氏6成立,那么就得不出bKQ,因而也就得不出。衣。.例如工令X是整数集,如下定义工 的元间的关系衣:a R b 当且仅当口 6 0.长显然满足对称律和推移律,但五不满足反射律,因为0 7?0不成立.3-仿照例3规定整数间的关系 Q三人(5)证明你所规定的是一个等价关系,并且找 出模-5
15、的 剩余 类。解可以完全仿照例3来做.第二章群论1.群的定义1全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群?解 不是,因为普通减法不适合结合律.例如3(2-1)=3 1=2(3 2)1=1-1=03 (2 1)丰(3-2一 12.举一个有两个元的群的例.解令G=。,。,G的乘法由下表给出e e a首先,容易睑证,这个代数运算满足结合律(1)(xy)z=x(y)X9 y9 z Q G因为,由于co=ae=a,若是元素e在(1)中出现,那么(1)成立.(参考第一章,4,习题3)若是e不 在(1)中出现,那么有a a)a=e a=a a(aa)=ae=o而(1)仍成立.、,15其次,G有左单位元,就是
16、e,e有无逆元,就是e,。有左逆元,就是。.所以G是一个群.读者可以考虑一下,以上总算表是如何作出的.3.证明,我们也可以用条件I,I以及下面的条件 V,来做群的定义=N,G里至少存在一个右逆元。7,能让ae-a 对于G的任何元口都成立;V,对于G的每一个元在G里至少存在一个右逆元。一1,能让aa 1=e解 这个题的证法完全平行于本节中关于可 以 用条件 I,I,W,V来做群定义的证明,但读者一定要自己写一 下.2.单位元、逆元、消去律1-若群G的每一个元都适合方程/=%那么G 是交 换群.解令。和6是G的任意两个元.由题设(ab)(ah)=(q6)2=e另一方面(a6)(6a)=abz a=
17、aea=g2=e 于是有(ab)(qb)=(a5)(6a).利用消去律,得 ab=ba 所以G是交换群.162.茬一个常限薇瓦雷莓满元而个数一定是他 数.解 令G是一个有限fMFG有元a而。的阶外2.考察。一,我们有an(a 1)n=2的假设矛盾.这样,我们就有一对不同的阶大于2 的元。和。一)设G还有元b,b*a,b 并且6的阶大于2那么5-的阶也大于2,并且6-1K我们也有67 否JMe=:b aa 1=0-1消去得3=q7,与假设矛盾.同样可证67*0-1.这 样,除。和。一】外,又有一对不同的阶大于2的元b和b-,由于G是有限群,而G的阶大于2的元总是成对出现,所以G里这种元的个数一定
18、是偶数.3.假定G是一个阶是偶数的有限群.在G里阶等于2 的元的个数一定是奇数.解 由习题2知,G里阶大于2的元的个数是偶数.但 G只有一个阶是1的元,就是单位元于是由于G的阶是 偶数,得G里阶等于2的元的个数是奇数.4一个有限群的每一个元的阶都有限.解 令G是一个有限群而Q是G的任一元素,那么af a2,a3,号.卜不能都不相等.因此存在正整数钉使侦=。宁.用Q-,乘两边,得“(1)apr=e这样,存在正整数一九 使(1)成立.因此也存在最小的 正整数次,使 f=e,这就是说,元。的阶是加 4.群的同态假定在两个群G和否的一个同态映射之下,。一工。与 Z的阶是不是一定相同?解 不一定.例如,
19、令G是本章 1中例2所给出的群 而疗是该节中例1所给出的群.那么读者容易证明 d 正是G的任意元是G到百的一个同态映射.但G的每一个元门壬0都是无限 阶的,而g的阶是1 5.变换群1.假定才是集合N的一个非变换.工会不会有 个左逆元了一】使得r-y=e?解 可能有.例如令X=所有正整数,则T.1-1,72-1 1显然是X的一个非-变换.而且的变换t 1:n-n 4-1 门 W N就能使L、二.182 假定,4是所有实数作成的集合。证明,所有N的可 以写成H-aN+b。和6是有理数,。手。形式的变换作成一个变换群.这个群遑不是一个交换群?解 令G是由一切上述变换作成的集合.考察G的任何 两个元素
20、 t x X*(?a;H-6。和 6 是有理数,q#0A:x-*cx 4-d C和d是彳;理数,。手0那么 tZ.n-=(a、r+b)4=c(0工+6)+d二(c(z)x+(cb+d)这里c a和c b+d都是有理数,并且。手U 所以仍属于G结合律对一般变换都成立,所以对上述变换也成立.单位变换E-J7 工属于G.容易验证,在G中有逆,即LJ 工:*+(-。)因此G作成一-b变族群.但G不是一个交换群.令丁1:x-+1h:1一2工那么nj;二一(左丁1)2=(汇+1)丁2=28+219(xr2)T=(2r)T1=2工+1T lT 2 丁 2r I3.假定S是一个集合X的所有变换作成的集合.我们
21、 暂时仍用符号 t.a-=丁(a)来说明一个变换寸.证明,我们可以用 r1r2S a-xrz(a)l=rlr2(a)来规定一个S的乘法,这个乘法也适合结合律并且对于这个 乘法来说,还是S的单位元.解 令口和 Q 是S的任意两个元而。是N的任意一个 元.那么七。)和一匚仁(。)1部是人的唯一确定的元.因 此如上规定的QL仍是S的一个唯一确定的元而我们得到了 一个S的乘法.令Q也是S的一个任意元,那么(丁 1 2)*3 J(a)=T r r2 丁 3(aZ=丁1 2 3(43)3 1匚丁 1(r2r3)J(口)=丁1 CT 2r3(。)口=丁1 7W 匚丁 3(。)ZI 所以(TJr2)r3-T,
22、(r,r3)而乘法适合结合科J令丁是S的任意元.由于对一切。0X,都有&(。)=。,所以er(a)=cTr(a)J=r(a)r(a)=匚(a)J=r(a)即et=t=t Kn 仍是S的单位元.4.证明,一个变换群的单位元一定是恒等变换.解设G是由某一集合/的变换组成的一个变换群,而 是值的单位元.任取G的一个元丁和X的一个元a.由 于20万=%有 aer=(ae)r=ar由于丁是N的一个-变换,所以Q=。而是2的恒等变换.5.证明,实数域上一切有逆的X 矩阵对于矩阵乘 法来说,作成一个群。这个题的解法很容易,这里从略.6.置换群1.找出所有S3的不能和GM)交换的元.解 S 3有6个元:7 3
23、 17 3 32 1 2 2其中的Hi3、712 3=71 2 3、17,k312/231/3、3九I 223显然可以和G)交换.通过计算,易见其它三个元不能和GM)交换.2.把Ss的所有元写成不相连的循环置换的乘积.解(;猾 A(6)=(23)C 渭)=(1 2,鸟猾)=C 3),;)=(12 3)G 1 2)=1 3 2)213.证明2(i)两个不相连的循环置换可以交换,(ii)GiQ 六)一二(X&f 3).解(I)看s”的两个不相连的循环置换。和了.我们 考察乘积。使数字1,2,,打如何变动.有三种情况.(。)数字2.在。中出现,并且。把f变成f 这时 由于。和丁不相连,不在丁中出现,
24、因而使,不变,所 以。丁仍把i变成;.(6)数字爻在丁中出现,并且七把笈变成2.这时 不在。中出现,因而仃使k不变,所以。二仍把丘变成2(C)数字馆不在O和T中出现.这时。下使m不动.如上考察 g佬数字1,2,,制如何变动,显然得 到同样的结果.因此。下=丁。.(ii)由于心口)3=(1),所以?2-27)-J=(ih 淳-i i*)4.证明一个k-循环置换的阶是k.解.一个上一循环工呈换忍=(f 1 AEQ 的一次方,二次 方,上次方分别把i 1变成f ig,,3.同理九大把Q 变成,2,,把以变成 K 因此号=1).由上面的分析,若是/左,那么了T(1).这就证明了,万的阶是全.5 证明S
25、”的每一个元都可以写成(12),(13),,(1?z)这一 1个2-循环置换中的若干个的乘积.解由了每一个置换都可以写成不相连的循环置换的乘 积,所以只须证明,一个循环皆换可以写成若干个(1t形 的置换的乘积.设4是一个石一循环苴换.我们分两个情形 22加以讨论.(a)上在打中出现,这时可以写成 1 3 h)容易验算(1 1-2,-1)=(1 I)(1,2)(1)(6)1不在n中携现,这时=二(iz ik)=(1 i 11 2,*)(1 i i)=(1 H)(1 G)-(1 ik)(1 7.循环群1.证明,一个循环群一定是交换群.解 设循环群G=(。).那么G的任何两个元都可以写 成和,n是整
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