四川大学版高数第一册部分习题答案.pdf
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1、高数第一册第一章习题1.1x W 2/、1 1 1 51.(4)-2-2 x+2 ,x x+2 ,x-x+2 2 2 2(5)21x。01而2-1 1 1 1,x 一,X _或 X-4 4 43.(-8,-l)U(T,+8)(2)x|x w l,x e R(TD9 x2 A 0=-3W x 4 3(4)或 Xv i(5)(-8,3)(6)7rx w knw k(k e z)2x 4x2 2,1(7)-Win-1 4x2 0 n x 0n xIn x0 n x 11-1,2x2l=x 0(10)/(x)=/.0和0Vx/2 xex n 1 WxW 27.(1)奇函数(2)偶函数(3)偶函数(4)
2、偶函数(5)非奇非偶(6)/(r)=W+x)2+#(1%=/(%)奇函数(7)/(-x)=In 1+=-In-=-f(x)偶函数)1 X 1+X(8)/(-x)=-sinx-cosx w/(x)非奇非偶函数(9)/(-%)=-sin%cosx非奇非偶 13.(1)/(x)=/(2V)=22x=4v,(/(x)=2xxeR/、1 x 1(2)/(/(%)=1=(x0,l)1-%1-Xx+1=,则 x=tT,(3)f(t)=Q-1),-3(1)+2=J-5/+6./(x)=Y-5%+6或:/(x+l)=(x+1尸-5(%+1)+614.(l)y=x2*(0 x 0.(2)Ve0,解不等式,2+1-
3、0=,-1 尸=7y/n+Yn 2Jn 4e(2)歹=-J1-f 定义域0,1反函数 x二一 J1 一 y 2(3)j=,x-l=,x=l+=i函数y=liA,定义域1 w 0 x-1 y y y x(4)x+1=1g y,x=1g y-1,反函数y=1g -1,定义域 x 0.1 x(5)反函数y=-,定义域(xwl)1+x x(_ 00X 1)(6)反函数y=j 4(1 x|log2 x(16x0,解不等式吧-0 nsin nn L n s(3)Vc 0,解不等式|0.999-110-1-11八-lg 10 当=0.0001 时,n 1g=410 4(4)0,解不等式台一:2+3 2+4
4、1 乙日-;-;-=-0N e N*,V”N,有卜一 a|oo于是a xn a N,有卜“-q|x 1 I1,小1000 fj4.(1)hm=1000 lim叁-=0n8+n-oC 12Hm=Um j 上=*(1_尸)/(1_3-8_Q-bn+x-a,1lim=lim(l-)=1n co n-8 元十(4).I2+32+.+(2n I)2lim=lim-3 n=lim11CO(4黯 一 1)43n3(5)lim=limn f g n 8+l12 a(-2)(-/+3(6)%”1=一+23 52%22 233 5 7-1 1-1-72 22 231 3 52h-1H-22-l+2”t=I-H-F
5、22 2322%-2 3 2i2 2=1+(1+F+722i1)=1+(1+-+12 221+记)=11+2-1-=3-2-2 21-2lim(2x;noc_ X-i)=3(7)lim=limnf8nf81-3222-4323-57(n 2)n(力-1)(H+1)n+1 16.(1)01一丁 n11r H-7 H n(+l)1故 1 i m-+11n2(什D 2(2a2(If(IP2 n=lim-=n-8 In 21111n+1(2y”+i个3(2)0 n!3.3.3.33.31-2-3 4 (1)-w9 3 02 n(3)设a=1+b,b 0,贝IJO J=nann2(1+6)”-01+助+
6、2+(1/22(4)111 11+1+-1+1nn2 nnn(n-1)1=1+-n-1则0-7(1)%na+-r n1111 3H-=一3 210,(n+I)-+11%+I21221+n11+一+1-21H-(n l)w=1+(1)12+i又:0为增函数又二ln(l+-)+ln(l+)111fH4n)+2 2 41 1+=1-02cosx-COS XCOS X-2 sin=lim-x-0,2 2X+X.x X-sin-22 X2cosx-cos x2 or:lim-=hm30 COS X 3sin x-2xsin x22x=limx-0,2 2.X+X.x X-2 sin-sin-=1血-Xf
7、 X+x x-X-2 2-cos x+2 sin x2+4x2 cos x22 4X X42 Xi=2 x=4122-(-1+0+0)=-212(3)limxtOln(l+x)lim ln(l+%)=In lim(1+X)=1%or:ln(l+(4)lim x ln(l+x)=lim ln(l+x)x=1X-8ax-1(5)lim-Xf 0%X-8(设a-1=y.x=log.(y+1)In a用(3)的结论)=lim )-0 11-loga(j+l)y1.=lim-=ma)to 1 ln(y+1)y In a12.(l)Vw g N,故=2加,得:氏一=2 2m1+.+-3 4m-12(1+3
8、2mm+1 m+12m+12m+32mH-4m-1m+1-2m+2=工取3 故发散22(2)法一:单调有界数列有极限判定xj单增,且x1 1 1 1 1 1 i 用1+(1-)+(-)+(-)=2-2有上界。2 2 3 n 1 n n法二:柯西准则Vn,p e N,有1Z+p11(+1)21(刃+2)21+7S+P)K-1.+n(n+1)(“+1)(“+2)11 1(n+p-l)(n+p)n n+p1 0N=,当N时,8X/p e N,有z+p-X”0,3S0,Vx:当 0X Q 5时,有 f(X)-b 0,90,V%:当 0a x 3时,有,f(x)b0,mb0,X/x:当 0X a 3时,
9、有 f(x)-b 0,30,Vx:当 0 x-a3时,有f(x)o,3o,Vx:当 0 x-aM(6)0,30,X/x:当 0时,有 f(x)0,3d0,Vx:当 x X 时,有 f(x)-b 0,330,/%:当了-入时,有 f(x)-b 0,2 X-4=x-2 x+25 x-2 3 x+2 5x 2 -d min 1,5,O.Vx:0 x-2 8,2 X.2-4 0,(7)Ve 0,x23 a:+1 32x+l 22x2+x工一 212(2x+l)x-4-/+21 2cx+4 2 x-2 2X X_ 22%7。?.d=4(x-3)(J1+%+2)2(4+2)(%-4)(x-4)(Jl+2%
10、+3)=limxt3_ 1yjl+x+2 4z i /tn-,m-2,znx(%1)(%+%+(9)lim-:-;-(X _)(/-(10)lim(6/+iiX+6)=6x-0(11)lim(x+xn+xrl+1)n-2X=竺或用等价无穷小转化或罗比达法则 n)+1=43)1)+,-3n(n+1)1+2+.+n=-212%a。+lim%x8b。a+.+口mXb7 b+3+.十 二2 mX X=(m=时)b。+力 x%(13)=limx-cc b/、+bh218.m-nXw-n+1X0(m 时)+组mX%+,+*+x x+Xm-nA-2sin ax b a a二 lim-二a sin bx b
11、bsin x(l-cosx)(2)=hm-X COS X.2 sin2 1sin 1 2 11=limXf 02 4 cos x 2X2 sin2(3)lim-x-*o(32 4 sin x12(4)%=7i t,t 0sin mx lim-=limxtk sin nx sin(m mt)lim空四=竺(珠奇偶相同)sin nt n19xtO+O x2 Xsin(n7r-nt)=isin mt m.x-lim-=-(nrn 奇偶 不|司)sin nt n lim sm=limx-0+0lim1 Jxsin%sin%等价无穷小x2(Vl+x+-x)2-=0/.x=2xo(a/1+X-Jl-x)高
12、阶无穷小1面至二叱 sin x=lim(-1)=0/.tgx-sin x=o(sin%)高阶无穷小x.0 sin x(4)limx-04x2+6x3-x52X=lim(4+6%-=4 w o 4/+一%=0(/)同阶无穷小.3 020原式=lim x+1-Xf 8 1+12x.-ax-b=lim(l-a)x-(1+Z?)=0 a=l,b=-1Xco21lim/(x)=lim(tz-+2-+3bx+5)=lim(3/7x+a+5)X+1 XT00当 a=-5,b=0时,f(x)为无穷小量,当a为任意数,bwO时,f(x)为无穷大量习题1.35.0ZW=sin xlim-=1,lim/(x)=li
13、m|x0+0 y x0-0 xt0+0sin(-x)-1=1-xlim,4(x)=lim =1,lim f2x)=lim-=1x 0+0 x0+0%x00 x 00%6.lim ex e,lim a+x-a+,e a+1,a e .x1 x-7.(1)lim/(%)=lim/(%)=8第二类 Xf 1 x-2sin x.以(2)/()=-,1,第二类(X 4-1)(%-1)(3)lim/(%)=1但是 f(0)不存在,可去间断点。lim f(x)=cc(k=1,2 xO x-攵江(4)lim/(%)二%第二类。x-0(5)lim/(x)=1,lim/(%)=-l,x=1为第类。(6)lim f
14、(x)=co(A;=O,l.)第一类。乃+2Y 1(7)f(%)=lim-=Jim f(x)=8,第二类xco 2 1%x0X+一n(8)lim f(x)=1,lim/(x)=12,第一类。%-3-0 x-3+0(9)f(x)=必 Jim/、()=-1 J(0)无意义,可去 ox(x+1)7lim/(x)=0,/无意义,可去。lim/、()=0,第二类,无穷间断点。X-1 x-l第二类)10(2)limx-16cos x-cos x2=lim.r16,2 2 X+X x-X-2 sin-sin-=-2 limx 16,X+x2 sin-sin或用罗比达法则 22 2 4x-X x X2 X22
15、 X22242 2X+X x-X 2-X22ln(l+x)-(3)lim-=ln(l+x)v=1X-0 Y(5)lim-(设aT=y)x-0 X=lim-1-=In。或者使用罗比达法则。-log!_0 yi(7)lim(l+g2%),gx=e Xf 0_ sin xn x m原式=lim-(-)xx-0 xn sin x0(m)=1(=m)co(02sin2 2121ln(l H)a I(2)lim-=limln(l+-)77=ex-0%xf a12、利用洛必达法则求极限(1)limXTx3+x2-5x+3 x3-4x2+5x-2x3+x2-5x+3 3x2+2x-5也甲-彳石-3=啊3,_8
16、x+5=叫6x+26x-88-2=-4(2)limXf 0(3)lim x-l(4)limx-0(5)limx-0(6)limX+8(7)limx-+0(8)limX-0(9).sin 5xlimx-0 xsin 5x=lim 5cos 5%=5xXf 0limXf 1In xx-1In%.1VTT=lim-1limx0tgax sin bx2tgax.a sec ax.ar=lim r=lim t 2sin bx x-0 b cos bx,v0 b cos bx cos axablimx70t gX-X x-sin xtgx-xsec2 x-1她73嬴7x-sin x2勤嬴丁2limX-+8
17、nXnXax elimX+8n nx.=limn-=0n ax a elimXf+0In sin 2xIn sin xIn sin 2x.-:=limIn sin x 1+()cos 2x1+cos 2x-12COS X=2-1=1X7+8COS X a-+7T 乙 X lim(一)之 3 二 limxN x兀一XXCtg 一 2=lim 2sinXT穴7 X2-=22(10)11m(1-x)-lim|In(|-r)limz7.lim(i%).=e =e =1一0法一:im。)=limi+(x)=exf 0 xf0(ii)Hm(那 7T x02lim(2x-7r)lnfgxlim(g)=lim
18、iTg=eT71 冗x-0 x-02 2/.In t2x ctgx sec2 xlim(2%-兀)ln tgx=Hm-=lim ri万八 万八1 冗 C 1x 0 x-0-x-0-2 2 lx-n 2(2%乃 了=limn-x-022(2%-%)2-sin 2x 8(2x 万)=lim-:n-2 cos 2xx-0二0lim(Jgx)2F=e=1 x-02(12)lim(A”x-0+0 Xlim(与in、x0+0%-Inx nm-eTO+O cscxlimx-o+o cscxct gxsinx lim-t gxx-0+0 Xo 1e-1(13)lim(),-lyIn y)y tlim()Ti1
19、 歹TIn y-y y t 1-In y y.yny-y+l=lim(I(y l)lnyy In y In y+1触 ylny+y.吟 Fy2(14)Um x(e;-1)VCO ex 1 lim%(*-1)=lim =limyf 8 yf 8 yooX14.证明:(1)V 0,VXj,%2&解不等式:|/(%1)-)卜 2 cos 1 2-sin(2)3=L0,Db0J 项取 3=。(2n+-d?n7i-%-X112 冗 冗 _ G 2 _J_ (xj 一/(x2)|=sin(2/?+)7T-sin 2=1 =,()习题2.1(/(4+Ax)-/(4)14+Ax-2 Ax 11.y=lim-二
20、 lim-=lim-/-二一x-Ax x-o Ax Ax-0 Ax(v4+Ax+2)41 1f(Xn+Ax)-f(Xn)/+%n 1 1(2)y;,二 lim 八-)八 二 lim-匕=-lim-二;20 Xo AxfO Ax if 0%0(%0+%)Xof(X,.+Ax)-f(xn)(3)/(x)=lim-八上二lim 2%+%+3=2%+3Ax-0 4%A.r-0心/,门 r/(1+A1)/r 1 (1+A%)1(4)f(1-0)=lim-=hm-=-1Ax-0-0 A%Axf 0-0 八%/.71 n,r/(1+Ax)-/(I)-Ax(l+Ax)/(1+0)=lim-=hm-=-1Ax0
21、+0 x Ax0+0 A%/(2-0)=hm xfo-o Ax八2+)=飘。/(2+Ax)2)Ax二1limAx-0/(3+Ax)-/(3)1Ax2.(1)lim Aj=lim/(0+Ax)-f(0)=lim(Ax)2 sin xf0 Ax-0 AxtO1Axo.-.连续lim=Ax sin=0可导。Ax Ax(2)lim Aj=lim Axsin=Oo lim=lim sin,不可导xf 0+0 Ax-0+0/y Axf 0 八工 Ax0.丫(3)lim Ay=lim sin Ax=lim sin Ax=0.Ax-0+0 xf 0+0 Ax0+0limAx f0-0=limAx-0-0sin
22、 Ax=-lim1 AxfO+0sin Ax=0/.连续limAx-0+0Ay=limAx-0+0sin Ax-=1.limAx-o-二 limAx_sinAx _ 1.不可导Ax1 /|、HJ、J%3.(1)y=i=3/Li=2,则方程:y_2=3(x 1).法线方程:y-2=-1(x-l)7.(单数)(没有)14.(单数)(没有)16.(单数)1 y 1 1 y 1 in x-(l)ln y=-Inx,=-lnx+,y=-(1-In x)=-.y.cos x(3)In y=cos x ln(sin x),=-sin x ln(sin x)+cos x-y sin x(5)In y=ln(x
23、+1)+31n(x+3)-5 ln(x+5),=-1-1-2 y2x+lx+3x+5y xy(7)y Inx=xln InxH=In y+-,y=-%y/-xy”x2 xy In x19.(单数)my=+l)y=2/八 2 抄 用(/+i)y=6%2y+2/y*V+1j1rli 2x3 y 八、2x3 y-?,2x3 y把/=丁上代入:2歹(一一)2+(歹2+l)y”=6/y+2/r_y+1 y+1 y+1cos(x+y)(3)/=-,1 一 cos(x+y)j=-sin(x+y)(l+y)(1+y)+cos(x+y)y”=-_y(l+y,2)+cos(x+y)y20.(单数)y=-eX V
24、x ITI 5),1、“7=e,y=e,.y=(1)ejr 2 7T(72 1)7T(3)y=sin 2x,y1=2 sin(I-2x),y=22 sin(-F 2x).y,)=2nl sin(-1-2x)2 2 26.(单数)(没有)7.(单数)(1)力=uvdw+uwdv+uvwdud(u1 2+v2)1 I二-T%-yx-y1+c(3)/(%)二%p,在(y,x)上,满足x-y=pcp x-y)y c xpyp-(x-y)xp-y pxp-(x-y)力=-f2(u2+v2y,.3 sin 2w 3 sin2 ln(3x+1)1(l)tfy=2 sm cos u-sin 2u*dln(3x
25、+1)=-dx=-dx3x+1 3x+1(3)没有力=2 sin u cos udu=sin 2dln(3x+1)=sin 2u-dx=-sin2 ln(3x+Y)dx3%+1 3x4-1(9)设 f(x)=sin x,x(.-,Ax=-6 180 re。.兀、兀(兀、sin 29=sinI-cos(-)6 6 180设/(%)=/3/+c,若/(%)=0.在(0,1)内,有实根X2,则/(X)=/(x2)=0。/(%)在(X,X?)内,满足洛尔定理条件。故在(X,X2)内,至少存在一个点使得f(幻二0,但f(X)=3x2-6x=0.只有根0和2都不属于(X,X2)内,矛盾。(1)f(c):三
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