圆的旋转问题(一).doc

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圆的旋转问题（一）
1、一个圆的周长等于一个正方形的边长，将此圆绕着正方形外周滚动一周时，圆转了几周？
解题思路：圆在多边形外边的转动不同于圆在一条直线上的转动，计算其旋转的周数时还要考虑圆从一条边转到另一条边自身转动的角度。
解：圆在正方形外周滚动的状态可以下图来表示

图1 图2 图3
根据“一个圆的周长等于一个正方形的边长”可知，圆A从图1滚动到图2的位置上，完成了在正方形的一条边的滚动，圆旋转了一周，要完成4条边的滚动则要旋转4周。从图2滚动到图3的位置上时，圆自身旋转了90度角。考虑到正方形有4个角，所以圆共需自转90×4＝360（度），即自转一周。

所以：此圆绕着正方形外周滚动一周时，圆转了4＋1＝5（周）。

2、如果一个圆的周长等于一个正三角形的边长，将此圆绕着三角形外周滚动一周，圆自转了几周？
解题思路：圆绕着正三角形外周滚动与圆绕正方形外周滚动一周的相似，计算其旋转的周数时还要考虑圆从一条边转动到另一条边自身转动的角度。
解：圆在三角形外周滚动的状态可以下图来表示

图1 图2 图3
根据“一个圆的周长等于一个正方形的边长”可知，圆A从图1滚动到图2的位置上，完成了在正三角形的一条边的滚动，圆旋转了一周，要完成3条边的滚动则要旋转3周。从图2滚动到图3的位置上时，圆自身旋转了180－60＝120（度）。考虑到正三角形有3个角，所以圆共需自转120×3＝360（度），即自转一周。
所以：此圆绕着正三角形外周滚动一周时，圆转了3＋1＝4（周）。

综合以上两题，我们可以发现当一个圆的周长等于一个正方形或者正三角形的边长时，这个圆在这个正多边形的外周滚动一周，圆旋转的周数都等于边的条数加1。这个结论我们还可以应用与解决圆在其它的正多边形外周滚动的问题，即一个圆的周长等于一个正n边形的边长时，这个圆在这个正多边形的外周滚动一周，圆旋转的周数等于n＋1。

3、甲、乙两枚大小相同的硬币，现将硬币甲固定，让硬币乙沿硬币甲的周围滚动，当硬币乙滚动一周，回到原来的位置，硬币乙旋转了几圈？

解题思路：此题如果不仔细分析的话很容易会将其同我们用滚动法沿着直尺测量圆的周长等同起来，认为乙也只是转动了一周。此题中的滚动，不单包含了乙围绕甲的转动，也包含了乙自身的转动。我们可以通过以下两种方法来得出答案。
解：方法1 硬币乙绕硬币甲的周围进行滚动，包括了两种运动形式。一方面硬币乙沿着由硬币甲的圆周所“拉直”的线段做旋转运动，因为两个硬币大小相同，所以硬币乙要旋转1圈；另一方面这条“拉直”的线段又要围成一个圆周，因而使得硬币乙上的各点也要围绕其中心旋转1圈，所以硬币乙一共要旋转2圈。
方法2、如图1，假设硬币甲、乙的圆心分别是O1、O2，把硬币乙上的圆周分为4个等份，等分点依次是B1、B2、B3、B4。开始时硬币乙上的B1点和硬币甲相接触，线段O1B1O2处于竖直位置。硬币乙贴住硬币甲滚动，如图2，从B1点滚动到B2点。这时硬币乙所滚动过的弧长等于圆周长的四分之一，半径O2B1和初始位置相比转过了180°，即硬币乙旋转了圈。根据对称性，可以得到硬币乙绕硬币甲旋转一周，硬币乙旋转了×4=2（圈）。

图1 图2

4、一个圆在正五角形外侧A处开始与正五角形的边相切滚动，如果BC的长度等于圆周长，那么当此圆滚回原出发点A处时，它转了几圈？

解题思路：本题要区分清楚圆在正五角形外侧滚动是，遇到不同的角时圆所转动的角度是不同的。当圆处从点A所在的边转动到点B所在的边上时，圆不需要自转，且从点B到点C港号转了1圈；当通过∠C转到另一条边时，圆必须要自传144度后才能继续滚动。在正五角形中，像∠C这样的角共有5个，所以圆共需自转144×5＝720度。
解：当此圆滚回原出发点A处时，它转的圈数是1×10＋144×5÷360＝12圈。
答：略。

5、一个小圆在一个大圆内不停地滚动，大圆的半径是小圆的直径。小圆滚动一周回到原来的位置时，小圆自己旋转了几周？

解题思路：如下图，圆和这条直线相切于A点，这个圆从A点开始沿着直线滚动一周后再和这条直线相切于A点，这时圆心所经过路径长度为线段OO1的长度，圆周所滚过的路径长度为线段AA的长度，这两个长度是一样的。因为“圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的轨迹”，圆上的点前进多少，圆心也会前进多少。因此，不管圆怎样滚动，圆心所经过轨迹的长度一定会等于圆周所滚动过的长度。

图
解：设小圆的半径为r，因为大圆的半径是小圆的直径，所以小圆圆心到大圆圆心的距离也为r。所以这个小圆滚动一周回到原来的位置时，圆心所经过轨迹的长度刚好是2πr，即一个小圆的周长。所以这个小圆旋转了1周。

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