20全等三角形中的角平分线-学生版.doc

第十讲

全等三角形中的角平分线

中考要求

板块
考试要求
A级要求
B级要求
C级要求
全等三角形的性质及判定
会识别全等三角形
掌握全等三角形的概念、判定和性质，会用全等三角形的性质和判定解决简单问题
会运用全等三角形的性质和判定解决有关问题

知识点睛

全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．
寻找对应边和对应角，常用到以下方法：
(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．
(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．
(3)有公共边的，公共边常是对应边．
(4)有公共角的，公共角常是对应角．
(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．
(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．
要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．
全等三角形的判定方法：
(1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．
(2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．
(3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．
(4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
(5) 斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．
奥数赛点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．

例题精讲

与角平分线相关的问题
角平分线的两个性质：
⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等；
⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
它们具有互逆性．
角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式：
1． 由角平分线上的一点向角的两边作垂线，
2． 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形，
3． ，这种对称的图形应用得也较为普遍，

【例1】 如图，已知的周长是，，分别平分和，于，且，求的面积．
A
D
O
C
B

【例2】 在中，为边上的点，已知，，求证：．

【例3】 如图所示：，，、相交于点．求证：平分．

【例4】 已知中，，、分别是及平分线．求证：．

【例5】 (2006年北京中考题)已知中，，、分别平分和，、交于点，试判断、、的数量关系，并加以证明．

【例6】 如图，在中，，、分别平分、，且与的交点为．求证：．

【例7】 如图，已知是上的一点，又，．求证：．

【例8】 (北京中考题)如图所示，是和的平分线，，．求证：．

【例9】 (“希望杯”竞赛试题)长方形ABCD中，AB=4，BC=7，∠BAD的角平分线交BC于点E，EF⊥ED交AB于F，则EF=__________．

【例10】 如图所示，已知中，平分，、分别在、上．，．求证：∥

【巩固】如图，在中，交于点，点是中点，交的延长线于点，交 于点，若，求证：为的角平分线．

【例11】 如图所示，AD是的角平分线，DE、DF分别是的高，，则等于________．

【例12】 如图，已知△ABC中，AD平分∠BAC，AB=6，AC=3，∠BAC=120°．求AD的长．

【例13】 (北京市西城区2006年抽样测试八年级(上)附加题，黄冈市数学竞赛试题)如图所示，在中，是的外角平分线，是上异于点的任意一点，试比较与的大小，并说明理由．

【巩固】在中，，是的平分线．是上任意一点．求证：．

【例14】 如图，在中，，的平分线交与．求证：．

【巩固】如图，中，，，平分交于点．求证：．

【巩固】已知等腰，，的平分线交于，则．

【例15】 如图所示，在中，是的平分线，是的中点，且交的延长线于，，求证．

【例16】 如图所示，在中，，为的中点，是的平分线，若且交的延长线于，求证．

【巩固】如图所示，是中的外角平分线，于，是的中点，求证 且．

【巩固】如图所示，在中，平分，，于，求证．

【例17】 如图，中，，、分别为两底角的外角平分线，于，于．求证：．

【巩固】已知：和分别是的和的外角平分线，，，求证：⑴ ；⑵ ．

【例18】 在中，、分别是三角形的外角、的角平分线，，垂足分别是、．求证：，

【巩固】在中，、分别是三角形的内角、的角平分线，，垂足分别是、．求证：，

【例19】 在中，、分别为、边上的高，，求证：．

【巩固】(北京市中考模拟题)如图，在四边形中，平分，过作，并且，则等于多少？

【例20】 如图，，平分，平分，点在上．
① 探讨线段、和之间的等量关系．
② 探讨线段与之间的位置关系．

【例21】 如图所示，在中，，于D，的角平分线交AD与F，交AB于E，FG平行于BC交AB于G． AE=4，AB=14，则BG=______．

【巩固】如图所示，在Rt三角形ABC中，于H，AG平分，交CH于D，交BC于G，在BC上取BE=CG，连接ED，证明：是直角三角形．

【例22】 如图所示，，是的中点，，，求证．

【巩固】⑴(理工附中06～07学年下学期期中考试)在中，，延长到，与 的角平分线相交于点，与的角平分线交于，…，依次类推与的角平分线交于，求大小．

⑵(初二第届希望杯试)如右上图，是的角平分线，是角的平分线，与 交于，若，，求的度数．

【例23】 如图，在中，，、分别是、的平分线，，．求证：．

【例24】 在直角三角形中，，的平分线交于．自作交于，交于．自作于，求证：．

家庭作业

【习题1】在中，，的平分线交于，过作，为垂足，求证：．

【习题2】如图，在中，，的平分线交与．求证：．

【习题3】(04年山东中考题)是的角平分线，交的延长线于，交于．求证：．

【习题4】如图所示，AD平行于BC，，，AD=4，BC=2，那么AB=________．

【习题5】中，为中点，交的平分线于点，于 于．求证：．

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