第八章晶体的能带结构-最适合初学者看的能带理论.pdf

第八章晶体的能带结构、r 4 _刖B物理学前言之一材料的性质大规模集成电路 半导体激光器 超导人工微结构从STM得到的硅晶体 表面的原子结构图8.1晶体的能带一.电子共有化晶体具有入量分子、原子或离子有规则排列的点阵结构。电子受到周期性势场的作用。按量子力学须解定态薛定格方程。2解定态薛定格方程（略），可以得出两点重要结论：L电子的能量是分立的能级；2.电子的运动有隧道效应。原子的外层电子（高能级），势垒穿透概率 较大，电子可以在整个晶体中运动，称为 共有化电子。原子的内层电子与原子核结合较紧，一般 不是共有化电子。3能带(energy band)量子力学计算表明，晶体中若有N个 原子，由于各原子间的相互作用，对应于 原来孤立原子的每一个能级，在晶体中变 成了 N条靠得很近的能级，称为能带。4能级能带能带的宽度记作AE,数量级为AE-eVo若AM 023,则能带中两能级的间距约10-23eV o 一般规律：_L越是外层电子，能带越宽，AE越大。2.点阵间距越小，能带越宽，AE越大。3.两个能带有可能重叠。5E0 离子间距能带重叠示意图6三.能带中电子的排布晶体中的一个电子只能处在某个能带中的 某一能级上。排布原则：1L服从泡里不相容原理（费米子）2.服从能量最小原理设孤立原子的一个能级E/,它最多能容 纳2（2/+1）个电子。这一能级分裂成由N条能级组成的能带后,能带最多能容纳2NQ/+1）个电子。72N(2/+1)例如，Is、2 s能带，最多容纳2N个电子。2p、3 P能带，最多容纳6N个电子。电子排布时，应从最低的能级排起。有关能带被占据情况的几个名词:1.满带（排满电子）2.价带（能带中一部分能级排满电子）亦称导带3.空带（未排电子）一亦称导带4.禁带（不能排电子）88.2（补充）布洛赫定理工空间一.布洛赫定理一个在周期场中运动的电子的波函数应 具有哪些基本特点？在量子力学建立以后，布洛赫（F.Bloch）和布里渊（Brillouin）等人就致力于研究 周期场中电子的运动问题。他们的工作为 晶体中电子的能带理论奠定了基础。布洛赫定理指出了在周期场中运动的电子 波函数的特点。9在一维情形下，周期场中运动的电子能量E 和波函数A(X)必须满足定态薛定谭方程方21 1-+匕(x)=E(4)匕(x)(1)2m dxk表示电子状态的角波数一周期性的势能函数，它满足V(x)=V(x+n a)a-晶格常数n一一任意整数10布洛赫定理：满足(1)式的定态波函数必定具有如下的特殊形式%(x)=/N(x)(2)式中以(x)也是以为周期的周期函数，即 w,(jc)=uAx+ndy*K K具有(2)式形式的波函数称为布洛赫波函数,或布洛赫函数。注*:关于布洛赫定理的证明，有兴趣的读者 可以查阅固体物理学黄昆原著韩汝琦改编(1988)P15411布洛赫定理说明了一个在周期场中运动的电子 波函数为：一个自由电子波函数 J0与一个具有 晶体结构周期性的函数W（x）的乘积。它是按照晶格的周期调幅的行波。这在物理上反映了晶体中的电子既有共有化的 倾向，又有受到周期地排列的离子的束缚的特点。只有在 JX）等于常数时，在周期场中运动的 电子的波函数才完全变为自由电子的波函数。因此，布洛赫函数是比自由电子波函数 更接近实际情况的波函数。12.周期性边界条件实际的晶体体积总是有限的。因此必须 考虑边界条件。在固体问题中，为了既考虑 到晶体势场的周期性，又考虑到晶体是有限 的，我们经常合理地采用周期性边界条件:设一维晶体的原子数为N,它的线度为L=Na,则布洛赫波函数欠（X）应满足如下条件匕（x）=Jx+Na）（3）此式称为周期性边界条件。采用周期性边界条件以后，具有N个晶格点的 晶体就相当于首尾衔接起来的圆环：周期性边界条件对波函数中的波数是有影响的。由周期性边界条件可以推出:布洛赫波函数的 波数A只能取一些特定的分立值。证明如下：由周期性边界条件 匕(X)=匕(X+N*(3)按照布洛赫定理：左边为=elkxuk(x)右边为 i/(x+Na)=elk(x+Na)uAx+Na)1 rv rvi kNa i kx,、=e。匕(*)i kNa/、=e 忆(*)所以 小Na匕-AkNa=24(=0,l,2,)即周期性边界条件使k只能取分立值：271 2ttk=n-=n-=0,土1,土2,)LNa152/r（=0,1,土2门）k=n-=n Na L人是代表电子状态的角波数，是代表电子状态的量子数。对于三维情形，电子状态由一组量子数（%、y、%）来代表。它对应一组状态角波数（段、号、）。一个k对应电子的一个状态。16三.4仝间我们以&、勺、&为三个直角坐标轴，建立 一个假想的空间。这个空间称为波矢空间、k空间，或动量空间*。在成空间中，电子的每个状态可以用一个状态点来表示，这个点的坐标是勺=x(%=0,1,2,)L27r弋=-ny(%=0,l,2,)27rkz=-nz(4=0,l,2,)注：由于德布洛意关系T，即尸，所以k空间也称为动量空间。2/r=0,l,2-)L 一上式告诉我们，沿女空间的每个坐标轴方向,电子的相邻两个状态点之间的距离都是？O 因此/空间中每个状态点所占的体积为 宁。k A J图3表示二维空间每个点所占的面积是子kv+2万 O-2 cO O O图3二维4空间 小意图18 8.3克朗尼格朋奈模型 能带中的能级数目能带理论是单电子近似理论。它把每个电子的 运动看成是独立地在一个等效势场中的运动。布洛赫定理指出，一个在周期场中运动的电子，其波函数一定是布洛赫函数。周期性边界条件的 引入，说明了电子的状态是分立的。现在再来说明电子的能量有什么特点？一.克朗尼格-朋奈模型下面我们通过一个最简单的一维周期场 克朗尼格-朋奈(Kroning-Penney)模型来说明 晶体中电子的能量特点。19克朗尼格-朋奈模型是把图1的周期场简化为 图4所示的周期性方势阱。假设电子是在这样的 周期势场中运动。图4克朗尼格-朋奈模型在0VXV4 一个周期的区域中，电子的势能为(0 x c)U。c x a)20按照布洛赫定理，波函数应有以下形式A（x）=exA（x）式中 u.（X）=u.（x+na）K K将波函数内)代入定态薛定谓方程 2 2m r n+丁石-U(x)ik=0 d x h即可得到(X)满足的方程2 d u,du,2m i、2ik-+E-U(x)-k)a=0d x dx _ h J21利用波函数应满足的有限、单值、连续等物理(自然)条件，进行一些必要的推导和简化，最后可以得出下式(maU sin(/7a-+cos(/r)=cos(Ara)(4)I%)J3 a式中 方=苴叵方而=生 是电子波的角波数*。2(4)式就是电子的能量E应满足的方程，也是电子 能量E与角波数k之间的关系式。注*:有兴趣的读者可参阅固体物理基础 蔡伯熏编(1990)P268o22(maU sin(万a)-+cos(/3)=cos(Ara)(4)(%)f3 a(4)式的左边是能量E的一个较复杂的函数，记作/()；右边是角波数九的函数。由于 cos ka 1的石值都不满足方程。下图5为给出了一定的、(4数值后的艇)：23f(E)图5 烟函数图由图看出，在允许取的E值（暂且称为能级）之间,有一些不允许取的E值（暂且称为能隙）。下面的图6为七九曲线的某种表达图式。243 71 2 71 71 71 2 71 3 71 k图6Ek曲线的表达图式25图中 为“许可的能量”，称为能带*。两个相邻能带之 间的能量区域称 为禁带。晶体中电子的能量 只能取能带中的数 值，而不能取禁带 中的数值。图67 6,54321E九曲线的表达图式26(maU sin(/?a-+cos(cr)=cos(Ara)(4)l 方)/3 aE左曲线与有关、与4。乘积有关。乘积4。反映了势垒的强弱。计算表明：M力的数值越大所得到的能带越窄。由于原子的内层电子受到原子核的束缚较大，与外层电子相比，它们的势垒强度较大。所以，内层电子的能带较窄。外层电子的能带较宽。27从石左曲线还可以 看出：左值越大，相应的能带越宽。2/r 2tt.k=n-=n-Na L(=0,l,2,)由于晶体点阵常数。越小，相应于4值越大。因此，晶体点阵常数 越小，能带的宽度就越大。In 7i 八 勿 2乃 37 I)a a a a a图6 E4曲线的表达图式7 6,54321 E E E央E耳有的能带甚至可能出现重叠的现象。这些都与 8.1节“概述”中介绍的结论是一致的。-28.能带中的能级数晶体中电子的能量不能取禁带中的数值，只能取能带中的数值。由图5可以看出：第一能带九的取值范围为-巴口巴 a a第二能带九的取值范围为-次n-J 巴=a a a a第三能带九的取值范围为-也=-四a a a a2 TT每个能带所对应的k的取值范围都是一*0注*:我们把以原点为中心的第一能带所处的左值 范围称为第一布里渊区;第二、第三能带所处的 人值范围称为第二、第三布里渊区，并以此类推。292 TT每个能带所对应的4的取值范围都是一。a而在空间每个状态点所占有的长度为Y,因此，每一能带中所包含的(状态数)能射数为171 171 171 171-+-=-+-=N a L a Na所以，晶体中电子的能带中有N个能级。电子在晶体中按能级是如何排布的呢？电子是费密子，它的排布原则有以下两条：(1)服从泡里不相容原理(2)服从能量最小原理30对于孤立原子的一个能级后就按照泡里不相容原理,最多能容纳2(2/+1)个电子。在形成固体后，这一能级分裂成由N条能级组成 的能带了，它最多能容纳的电子数为2N(2/+1)个。例如，对孤立原子的IS、2s能级，在形成固体后相应 地成为两个能带。它们最多能容纳的电子数为2N个。对孤立原子的2P、3P能级，在形成固体后也相应地 成为两个能带。它们最多能容纳的电子数为6N个。电子排布时还得按照能量最小原理 从最低的能级排起。31孤立原子的内层电子能级一般都是填满的，在形成固体时，其相应的能带也填满了电子。孤立原子的最外层电子能级可能填满了电子也 可能未填满了电子。若原来填满电子的，在形成固体时，其相应的能带也填满了电子。若原来未填满电子的，在形成固体时，其相应的能带也未填满电子。若孤立原子中较高的电子能级上没有电子，在形成固体时，其相应的能带上也没有电子。32排满电子的能带称为满带；排了电子但未排满的称为未满带（或导带）；未排电子的称为空带；（有时也称为导带）；两个能带之间的禁带是不能排电子的。33 8.4导体和绝缘体(conductor.insulator)晶体按导电性能的高低可以分为绝缘体它们的导电性能不同，是因为它们的能带结构不同。34导体35导体 在外电场的作用下，大量共有化电子很 易获得能量，集体定向流动形成电流。E从能级图上来看，是因为其共有化电子 很易从低能级跃迁到高能级上去。36绝缘体在外电场的作用下，共有化电子很难接 受外电场的能量，所以形不成电流。从能级图上来看，是因为满带与空带之间 有一个较宽的禁带（AEg约36 eV）,共有化电子很难从低能级（满带）跃迁到 高能级（空带）上去。半导体的能带结构,满带与空带之间也是禁带,但是禁带很窄（AEg约0.12丫）o37绝缘体与半导体的击穿当外电场非常强时，它们的共有化电子还是 能越过禁带跃迁到上面的空带中的。绝缘体I导体半导体38