第八章晶体的能带结构-最适合初学者看的能带理论.pdf
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1、第八章晶体的能带结构、r 4 _刖B物理学前言之一材料的性质大规模集成电路 半导体激光器 超导人工微结构从STM得到的硅晶体 表面的原子结构图8.1晶体的能带一.电子共有化晶体具有入量分子、原子或离子有规则排列的点阵结构。电子受到周期性势场的作用。按量子力学须解定态薛定格方程。2解定态薛定格方程(略),可以得出两点重要结论:L电子的能量是分立的能级;2.电子的运动有隧道效应。原子的外层电子(高能级),势垒穿透概率 较大,电子可以在整个晶体中运动,称为 共有化电子。原子的内层电子与原子核结合较紧,一般 不是共有化电子。3能带(energy band)量子力学计算表明,晶体中若有N个 原子,由于各
2、原子间的相互作用,对应于 原来孤立原子的每一个能级,在晶体中变 成了 N条靠得很近的能级,称为能带。4能级能带能带的宽度记作AE,数量级为AE-eVo若AM 023,则能带中两能级的间距约10-23eV o 一般规律:_L越是外层电子,能带越宽,AE越大。2.点阵间距越小,能带越宽,AE越大。3.两个能带有可能重叠。5E0 离子间距能带重叠示意图6三.能带中电子的排布晶体中的一个电子只能处在某个能带中的 某一能级上。排布原则:1L服从泡里不相容原理(费米子)2.服从能量最小原理设孤立原子的一个能级E/,它最多能容 纳2(2/+1)个电子。这一能级分裂成由N条能级组成的能带后,能带最多能容纳2N
3、Q/+1)个电子。72N(2/+1)例如,Is、2 s能带,最多容纳2N个电子。2p、3 P能带,最多容纳6N个电子。电子排布时,应从最低的能级排起。有关能带被占据情况的几个名词:1.满带(排满电子)2.价带(能带中一部分能级排满电子)亦称导带3.空带(未排电子)一亦称导带4.禁带(不能排电子)88.2(补充)布洛赫定理工空间一.布洛赫定理一个在周期场中运动的电子的波函数应 具有哪些基本特点?在量子力学建立以后,布洛赫(F.Bloch)和布里渊(Brillouin)等人就致力于研究 周期场中电子的运动问题。他们的工作为 晶体中电子的能带理论奠定了基础。布洛赫定理指出了在周期场中运动的电子 波函
4、数的特点。9在一维情形下,周期场中运动的电子能量E 和波函数A(X)必须满足定态薛定谭方程方21 1-+匕(x)=E(4)匕(x)(1)2m dxk表示电子状态的角波数一周期性的势能函数,它满足V(x)=V(x+n a)a-晶格常数n一一任意整数10布洛赫定理:满足(1)式的定态波函数必定具有如下的特殊形式%(x)=/N(x)(2)式中以(x)也是以为周期的周期函数,即 w,(jc)=uAx+ndy*K K具有(2)式形式的波函数称为布洛赫波函数,或布洛赫函数。注*:关于布洛赫定理的证明,有兴趣的读者 可以查阅固体物理学黄昆原著韩汝琦改编(1988)P15411布洛赫定理说明了一个在周期场中运
5、动的电子 波函数为:一个自由电子波函数 J0与一个具有 晶体结构周期性的函数W(x)的乘积。它是按照晶格的周期调幅的行波。这在物理上反映了晶体中的电子既有共有化的 倾向,又有受到周期地排列的离子的束缚的特点。只有在 JX)等于常数时,在周期场中运动的 电子的波函数才完全变为自由电子的波函数。因此,布洛赫函数是比自由电子波函数 更接近实际情况的波函数。12.周期性边界条件实际的晶体体积总是有限的。因此必须 考虑边界条件。在固体问题中,为了既考虑 到晶体势场的周期性,又考虑到晶体是有限 的,我们经常合理地采用周期性边界条件:设一维晶体的原子数为N,它的线度为L=Na,则布洛赫波函数欠(X)应满足如
6、下条件匕(x)=Jx+Na)(3)此式称为周期性边界条件。采用周期性边界条件以后,具有N个晶格点的 晶体就相当于首尾衔接起来的圆环:周期性边界条件对波函数中的波数是有影响的。由周期性边界条件可以推出:布洛赫波函数的 波数A只能取一些特定的分立值。证明如下:由周期性边界条件 匕(X)=匕(X+N*(3)按照布洛赫定理:左边为=elkxuk(x)右边为 i/(x+Na)=elk(x+Na)uAx+Na)1 rv rvi kNa i kx,、=e。匕(*)i kNa/、=e 忆(*)所以 小Na匕-AkNa=24(=0,l,2,)即周期性边界条件使k只能取分立值:271 2ttk=n-=n-=0,土
7、1,土2,)LNa152/r(=0,1,土2门)k=n-=n Na L人是代表电子状态的角波数,是代表电子状态的量子数。对于三维情形,电子状态由一组量子数(%、y、%)来代表。它对应一组状态角波数(段、号、)。一个k对应电子的一个状态。16三.4仝间我们以&、勺、&为三个直角坐标轴,建立 一个假想的空间。这个空间称为波矢空间、k空间,或动量空间*。在成空间中,电子的每个状态可以用一个状态点来表示,这个点的坐标是勺=x(%=0,1,2,)L27r弋=-ny(%=0,l,2,)27rkz=-nz(4=0,l,2,)注:由于德布洛意关系T,即尸,所以k空间也称为动量空间。2/r=0,l,2-)L 一
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