高等流体力学-第一讲,场论与张量分析初步.pdf
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1、高等流体力学1引言工程流体力学=从实用角度,对工程中涉及的问题建立相 应的理论基础,并进行计算。评力学(运动学 以理想流体为主(动力学对于实际流体讨论了管 流阻力计算,是在理想流 体得出规律基础上进行 修正,并结合实验.高等流体力学=以理论分析为主,讨论实际流体运动规律。J运动学 t动力学以实际流体为主2010-9-212主要内容:第一章场论与张量分析初步第二章流体运动学 第三章流体力学基本方程组第四章粘性流动基础第五章 N avier-Stokes 方程的解第六章边界层理论第七章流体的旋涡运动 第八章湍流理论2010-9-213-第一章场论与张量分析初步第一节 场论简述第二节 张量初步第三节
2、 雅可比行列式2010-9-214第一节场论简述画I基本概念场的几何表示标量场的梯度向量的散度向量的旋度哈密顿算子和场论的基本运算公式2010-9-215一基本概念 1.场(field):设在空间中的某一区域内定义标量函数或矢量 函数,则称定义在此空间区域内的函数为场。标量场(scalar field):产)向量场(vector field):石(尸,胃)g=f(r,t)均匀场(homogeneous field):f=c 非均匀场(non-homogenous field):/(F)定常流场(steady field):f(f)非定常流场(unsteady field):f(r,/)2w I
3、-7一心 I V(1)阮量:是一维的量,它只须1个数量及单位来表 示,它独立于坐标系的选择。流体的温度,密度等均是标量。(2)向量依量;:不仅有数量的大小而且有指定的 方向,它必须由某一空间坐标系的3个坐标轴方向的 分量来表示,因此向量是三维的量。速度,加速度是向量.常用黑体字母x、u表示空间坐标位置向量和流 速向量。也用力、无类似表示。2010-9-217对于笛卡儿坐标,X的3个分量为X ,x2,位分力U用e2,表小。有时也常用i,J,1 度向量可以写为:x=xiei+x2ei+x3e3 u向量的加减:a-b=caa=c-b 二一X3o而三个坐标方向的单【表小。因此位直向重和速-A-A-=u
4、xi+uvj+u kV uq,I2010-9-218矢量的标量积(数量积)(点积)(内积):-二-功:当力F作用在质点上使之移动一无限小位移 一.ds,此力所做功定义为力在位移方向的投影乘以-、位移的大小./_ _cos(5,方)=封史a-b=cp=a ib cos(a,I0 x+ayby+azbz)a ba-b=(4 亍+ayj+azk (bxi+byj+bzk=axbx+abv+/么)U 标量2010-9-219(1)女口、后正交,贝Ll a _Lb a-b=0(2)女口5、5平行,贝Ll a-b a b(3)如,在行正交投影用5表示(4)分配律 a(b+c=a-b+a-cma-b=a-m
5、b ma b)2,2,2X J7 Nabx y z2010-9-2110矢量的矢量积(向量积)(叉乘)(外积):万 x B=aj+ayj+azk)x(bj+byj+bzk i j k=ax ay 巴 bx by bz2010-9-2112数量三重积:c 伍x b)_ _ _ 4 ay%a-(bxc=ax(bC=ab c bx by bz%S G5-Z?xc=-acxba 循环置换向量次序,结果不变.改变循环向量次序,符号改变.2010-9-2113数量三重积几何意义:作为平行六面体的体积。a-ybcc-(5 x)=0,是万,瓦E共面的充分条件2010-9-2114向量三重积:axb xcM X
6、 3 X 二)=(万.二)6(5 6 万(5x7?)x c=a-cb b-ca括号不能交换或移动2010-9-2115二、场的几何表示变化快1、sea I ar field:(1)用等值线(面)表示令:toTfVo)=fo一亿.)变化慢等值线(等位面)图(2)它的疏密反映了标量函数的变化情况2010-9-2116二、场的几何表示2、vector field:大小:标量.可以用上述等位线(等位面)的概念来几何表示。方向:采用矢量线来几何地表示。矢量线:线上每一点的切线方向与该点的矢量方向 重合。矢量线的描述是从欧拉法引出矢量线方程:设苏是矢量线的切向元素,则据矢量线的定义有axdr=0直角坐标:
7、dr=idx+jdy+kdza=iax+Jay+kaz则有:T j kdx dy dz=O八 ay 418所以有:(向量线方程)向量管:在场内取任一非向量的封闭曲线C,通过C上每一点 作矢(向)量线,则这些矢量曲线的区域为向量管。流线方程 ax Uy Uz迹线方程 会=或金=出%Uy Uz迹线的描述 是从欧拉法 引出三、标量场的梯度与梯度关联的是方 向导数方向导数:函数z=f(x,y)在一点P沿某一/方向的变化率在过P点所有可能的方向中存在一个方向导数变化率最大的 方向。梯度(gradient)就是这样的一个向量,它的方向即为方向导 数变化率最大的方向而其大小则为这个最大变化率的数值。记为gr
8、ad。沿梯度方 向的方向导数 达到最大值2010-9-2121直角坐标系中:d(/)义.旬=宗+了,+三k-idz);a+7-(是一个算子(operator),它具有向量与微分的双重性质,称为哈密顿算子(Hamilton operator)物理量沿任一方向(其单位向量为n0)的变化率为:nQ grade/)式中表示点乘2010-9-2122梯度意义的证明*流场中两相邻等势线如图,设6方向单位向量8。贝厄-sQ=cos(&s)=cos 0.=MMf cos 8函数。沿不方向的变化为:=cos6limMM1,。M.0(陷)0皿)MM、3M兽=limOS MMfOMMr/、dcp dcp 一一 7-
9、=cos(n.s)=-n s0=graacp-sdn dn另:酊与n同向时,随最大u ds沿梯度方 向的方向导数 达到最大值定理证明:a)gradcp 满足关系式:d(p=dr-gradcp证明:gradcp=-i+半+当无 ox oy oz dr=dxi+dyj+dzkZ。夕/。夕/。夕/d(p dx H-dy H-dzdx dy dz=grad(p-df2010-9-2124b)若任给一封闭曲线L,的单值函数,贝1a=gradcp,且。是矢径尸 屋d尸=0证明:伊 1万=grad(p-dr=1 d(p=0梯度的性质:标量场不均匀程度的量度;梯度方向和等位面的法线方向重合,指向函数值 增大的
10、方向。在任一方向的变形等于该方向的方向导数。梯度的方向是标量变化最快的方向。梯度的基本运算法则有:v(c)=cv。C 为常数)(四。2)=。1?。2一)=/2010-9-2126四、向量的散度(diver1、预备知识gence)a.向量通过曲面的通量(flux):Q=a nds=dss sb.Gauss定理:右氏町夕见 则:在S+V有一阶连续偏导数,肝加=JJJ(S Vba 3a 曾 Oq+竺)dvdx dy dz由封闭曲面s流出的通量可 以看成是体积V的膨胀量。所 以散度也就是流体的体积膨胀 量。L 散度是标量,而不是向量。目2.疝div a=lim 十一 Avf0 Avdax 啊 daz
11、_ _-+-+-=Vadx dy dz于是Gauss定理可以写作:a-nds=答+等)=BI(V )几 oy oz V2010-9-2128div/三0的场称为无源场。其性质:(1)无源矢量经过矢量管任一截面上的通量保持同一数量;(2)矢量管不能在场内发生或终止;(3)无源矢量经过同一张于已知周线L的所有曲面S il 量相同,即通量只依赖于周线L而与所张曲面S的形状无关。散度的基本运算法则为:v.(44)=v.4v-4V(四)=+2010-9-2129例1:任一不可压流场,2(x,y,z),在流场中一点M取微元体,则密速(密度速度)变化量Ga Ga y Qci _-dxdydz+-dxdydz
12、+-dxdydz p=(V-a)dxdydz pdx dy dz点源:V a0 Source点汇:Vq 3:=-=dx dx1 1.x-,-2x=-2/2,2,2 r 勺 x+y+z5)div(a+6)=diva+divb2010-9-21396)div(fia)(/)diva+grad。a证明:根据柯青法则div(c/ja)=V(位)=V(45)+V(或)=0V a+ac V。=(/)diva+a-grad苏联数学家柯青的运算法则:当除了一个矢量之外,其他的矢量都是常数时,应该这 样来变换表达式,以使得所有常矢量都位于醇子之前,而 变量则位于它之后。2010-9-21407)div(a xb
13、)=b-rota-a rotb证明:V-(xft)=V-(acxi)+V-(axic)=ac (x B)+瓦,(V x 5)/x、=a-rotb+b-rotaZ-Y _ _ _ _顺变为正=b-rota a rotb逆变为负201 0-9-21 418)rota+3)=rota+rotb9)divgradcp=N Vcp=N2cp、cp10)divrota=x 万=0爰混合乘积中有两个矢量相同,必然为02010-9-214211)rot(a x B)=仿.V&-0.V)B+adivb-bdiva ffi:rot(万xB)=Vx(5xB)=Vx(5c xB)+Vx(万xR)=%(v.B)-(4.
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