高等流体力学－第一讲,场论与张量分析初步.pdf

高等流体力学1引言工程流体力学=从实用角度，对工程中涉及的问题建立相 应的理论基础，并进行计算。评力学(运动学 以理想流体为主(动力学对于实际流体讨论了管 流阻力计算，是在理想流 体得出规律基础上进行 修正,并结合实验.高等流体力学=以理论分析为主，讨论实际流体运动规律。J运动学 t动力学以实际流体为主2010-9-212主要内容:第一章场论与张量分析初步第二章流体运动学 第三章流体力学基本方程组第四章粘性流动基础第五章 N avier-Stokes 方程的解第六章边界层理论第七章流体的旋涡运动 第八章湍流理论2010-9-213-第一章场论与张量分析初步第一节 场论简述第二节 张量初步第三节 雅可比行列式2010-9-214第一节场论简述画I基本概念场的几何表示标量场的梯度向量的散度向量的旋度哈密顿算子和场论的基本运算公式2010-9-215一基本概念 1.场(field)：设在空间中的某一区域内定义标量函数或矢量 函数，则称定义在此空间区域内的函数为场。标量场(scalar field)：产)向量场(vector field)：石(尸，胃)g=f(r,t)均匀场(homogeneous field)：f=c 非均匀场(non-homogenous field)：/(F)定常流场(steady field)：f(f)非定常流场(unsteady field)：f(r,/)2w I-7一心 I V(1)阮量：是一维的量，它只须1个数量及单位来表 示，它独立于坐标系的选择。流体的温度，密度等均是标量。(2)向量依量;：不仅有数量的大小而且有指定的 方向，它必须由某一空间坐标系的3个坐标轴方向的 分量来表示，因此向量是三维的量。速度，加速度是向量.常用黑体字母x、u表示空间坐标位置向量和流 速向量。也用力、无类似表示。2010-9-217对于笛卡儿坐标，X的3个分量为X ,x2,位分力U用e2,表小。有时也常用i,J,1 度向量可以写为：x=xiei+x2ei+x3e3 u向量的加减:a-b=caa=c-b 二一X3o而三个坐标方向的单【表小。因此位直向重和速-A-A-=uxi+uvj+u kV uq,I2010-9-218矢量的标量积（数量积）（点积）（内积）：-二-功:当力F作用在质点上使之移动一无限小位移 一.ds,此力所做功定义为力在位移方向的投影乘以-、位移的大小./_ _cos（5,方）=封史a-b=cp=a ib cos(a,I0 x+ayby+azbz)a ba-b=(4 亍+ayj+azk (bxi+byj+bzk=axbx+abv+/么)U 标量2010-9-219（1）女口、后正交,贝Ll a _Lb a-b=0（2）女口5、5平行，贝Ll a-b a b（3）如,在行正交投影用5表示（4）分配律 a（b+c=a-b+a-cma-b=a-mb ma b)2,2,2X J7 Nabx y z2010-9-2110矢量的矢量积（向量积）（叉乘）（外积）:万 x B=aj+ayj+azk)x(bj+byj+bzk i j k=ax ay 巴 bx by bz2010-9-2112数量三重积:c 伍x b)_ _ _ 4 ay%a-(bxc=ax(bC=ab c bx by bz%S G5-Z?xc=-acxba 循环置换向量次序,结果不变.改变循环向量次序,符号改变.2010-9-2113数量三重积几何意义:作为平行六面体的体积。a-ybcc-（5 x）=0,是万，瓦E共面的充分条件2010-9-2114向量三重积:axb xcM X 3 X 二）=（万.二）6（5 6 万（5x7?）x c=a-cb b-ca括号不能交换或移动2010-9-2115二、场的几何表示变化快1、sea I ar field：(1)用等值线(面)表示令：toTfVo)=fo一亿.)变化慢等值线(等位面)图(2)它的疏密反映了标量函数的变化情况2010-9-2116二、场的几何表示2、vector field：大小：标量.可以用上述等位线（等位面）的概念来几何表示。方向：采用矢量线来几何地表示。矢量线：线上每一点的切线方向与该点的矢量方向 重合。矢量线的描述是从欧拉法引出矢量线方程：设苏是矢量线的切向元素，则据矢量线的定义有axdr=0直角坐标：dr=idx+jdy+kdza=iax+Jay+kaz则有：T j kdx dy dz=O八 ay 418所以有：（向量线方程）向量管：在场内取任一非向量的封闭曲线C,通过C上每一点 作矢（向）量线，则这些矢量曲线的区域为向量管。流线方程 ax Uy Uz迹线方程 会=或金=出%Uy Uz迹线的描述 是从欧拉法 引出三、标量场的梯度与梯度关联的是方 向导数方向导数：函数z=f(x,y)在一点P沿某一/方向的变化率在过P点所有可能的方向中存在一个方向导数变化率最大的 方向。梯度（gradient）就是这样的一个向量，它的方向即为方向导 数变化率最大的方向而其大小则为这个最大变化率的数值。记为grad。沿梯度方 向的方向导数 达到最大值2010-9-2121直角坐标系中:d（/）义.旬=宗+了，+三k-idz)；a+7-(是一个算子（operator）,它具有向量与微分的双重性质,称为哈密顿算子（Hamilton operator）物理量沿任一方向（其单位向量为n0）的变化率为:nQ grade/)式中表示点乘2010-9-2122梯度意义的证明*流场中两相邻等势线如图，设6方向单位向量8。贝厄-sQ=cos（&s）=cos 0.=MMf cos 8函数。沿不方向的变化为：=cos6limMM1，。M.0（陷）0皿）MM、3M兽=limOS MMfOMMr/、dcp dcp 一一 7-=cos(n.s)=-n s0=graacp-sdn dn另：酊与n同向时，随最大u ds沿梯度方 向的方向导数 达到最大值定理证明:a)gradcp 满足关系式：d(p=dr-gradcp证明：gradcp=-i+半+当无 ox oy oz dr=dxi+dyj+dzkZ。夕/。夕/。夕/d(p dx H-dy H-dzdx dy dz=grad(p-df2010-9-2124b）若任给一封闭曲线L,的单值函数，贝1a=gradcp，且。是矢径尸 屋d尸=0证明:伊 1万=grad(p-dr=1 d(p=0梯度的性质:标量场不均匀程度的量度；梯度方向和等位面的法线方向重合，指向函数值 增大的方向。在任一方向的变形等于该方向的方向导数。梯度的方向是标量变化最快的方向。梯度的基本运算法则有：v（c）=cv。C 为常数）（四。2）=。1?。2一）=/2010-9-2126四、向量的散度（diver1、预备知识gence)a.向量通过曲面的通量(flux)：Q=a nds=dss sb.Gauss定理:右氏町夕见 则：在S+V有一阶连续偏导数,肝加=JJJ(S Vba 3a 曾 Oq+竺)dvdx dy dz由封闭曲面s流出的通量可 以看成是体积V的膨胀量。所 以散度也就是流体的体积膨胀 量。L 散度是标量，而不是向量。目2.疝div a=lim 十一 Avf0 Avdax 啊 daz _ _-+-+-=Vadx dy dz于是Gauss定理可以写作:a-nds=答+等）=BI（V ）几 oy oz V2010-9-2128div/三0的场称为无源场。其性质：（1）无源矢量经过矢量管任一截面上的通量保持同一数量;（2）矢量管不能在场内发生或终止；（3）无源矢量经过同一张于已知周线L的所有曲面S il 量相同，即通量只依赖于周线L而与所张曲面S的形状无关。散度的基本运算法则为：v.（44）=v.4v-4V（四）=[phone]例1:任一不可压流场,2(x,y,z),在流场中一点M取微元体,则密速(密度速度)变化量Ga Ga y Qci _-dxdydz+-dxdydz+-dxdydz p=(V-a)dxdydz pdx dy dz点源：V a0 Source点汇：Vq 3:=-=dx dx1 1.x-,-2x=-2/2,2,2 r 勺 x+y+z5)div(a+6)=diva+divb2010-9-21396）div（fia）（/）diva+grad。a证明：根据柯青法则div（c/ja）=V（位）=V（45）+V（或）=0V a+ac V。=（/）diva+a-grad苏联数学家柯青的运算法则：当除了一个矢量之外，其他的矢量都是常数时，应该这 样来变换表达式，以使得所有常矢量都位于醇子之前，而 变量则位于它之后。2010-9-21407)div(a xb)=b-rota-a rotb证明：V-(xft)=V-(acxi)+V-(axic)=ac (x B)+瓦,(V x 5)/x、=a-rotb+b-rotaZ-Y _ _ _ _顺变为正=b-rota a rotb逆变为负201 0-9-21 418)rota+3)=rota+rotb9)divgradcp=N Vcp=N2cp、cp10)divrota=x 万=0爰混合乘积中有两个矢量相同,必然为02010-9-214211）rot（a x B）=仿.V&-0.V）B+adivb-bdiva ffi:rot（万xB）=Vx（5xB）=Vx（5c xB）+Vx（万xR）=%（v.B）-（4.v）B+位3（v 万）=（b.V）5-（5-V）5+adivb-bdiva自证；gmd（GB）=+（5-V）i+xrota+5 xrotb2010-9-21433、哈密顿算子对积分的应用:卜鹏=月n（/）dss由Gauss定理有：:包+幺+逛 v dx dy dz5 ax cos(%x)+ay cos(%y)+az cos(%z)psJJJ JJJ Qy Qy 也V V=jds0cos +cos(n,y)j+cos(n,z)k=j(/mds2010-9-2144v（/）dV=sn（!）dS推 广的 高斯 公式 可以 写为:LVxAdV=LnxAdS V kJVB）AdV=ffs（B-n）AdS1JX（VV）V=UsVWS高斯公式(Gausss theorem)将体积分 与面积分 联系起来，在流体力 学中十分有用L由这些公式可以看出，只要把体积分中的哈密顿算子换成法 向单位向量即是面积分的被积函数。2010-9-2145第二节 张量初步 前言 张量的定义 张量的表示法 几种特殊的二阶张量 张量的运算201 0-9-2146 刖己1、指标和符号1）自由指标如矢量后，其分量可表示为%,%=1,2,3;则称为自 由指标。2）约定求和法则和哑指标约定在同一项中，如有两个指标相同，就表示对该指标 从1到3求和。这个约定称为爱因斯坦求和约定。这重复的指标 称为哑指标。如：2010-9-2147a-b=Qb+a2b2+a3b3=aibi=akbk、一 dv-6V.6V.6v.(v V)v=4=+%/=v.-OXx cx2 ox3 CXj心目/.一 D 一 d daL dax da Qaz女口:div =-a.=-H-H-dxj dxL dx dy dz2010-9-21482、符号克罗内克尔符号0 i w j 厂#左匚在.%=与成矩阵形式=/1 (/1 1=J V J1 0 010 1 00 0 12010-9-21492010-9-2150置换符号e次（右为）小6广标线%二分（qxo 当/水中有两个以上指标相同eijk=（注：偶排列123,23L 312)（3）eb恒等式2010-9-2151例题%一,升为，2。左3因为。11。22。33+12。23。31+。213213一 312213 211233 一 322311%eijkaiaj2ak32010-9-2152例题:rota=kJ例题:axb=ax2010-9-21b、b2 d53div(a x/7)=b-rota-a rotbdiv(axb=d(.8a.dbk=电/八)=%hbk+8ijkaj ox.ox.ox.分 PA=b rota-a rotb201 0-9-21 54+adivb-bdivarot(a x证:rot(axb)=ijk 2加加=j dxjdb 6bl.7 dai 1 弧=a.a i+bj bCXj CXj CXj CXj=伍 V)5 一伍.V)B+adivb-bdivacij klm 个 CXj二、张量的定义1、张量的定义张量是由一组分量所构成的集 合，这组分量在坐标改变时应满足 一定的坐标变换关系，以保证该张 量本身所描述的一个完整的几何对 象或物理量对象不随坐标的变换而 变化。笛卡尔坐标e；,e.分别是新旧坐标系的单位基矢量 I J%/为新旧坐标之间不同坐标轴夹角的方向余弦a=e eij i j(1)对于流场中，标量在新旧坐标(工，耳广。(七户2/3)中，量值不变。(p)=(%1/2/3)(2)对于流场中的矢量之,新旧关系：基矢：e=a11e1+a12e2+a13e3=a/j.%=aja在新旧坐标系中表不为：a=a.=a eii j j于是：qGG=(q 0.)G.新 旧i i i V j 7/i4 二(%号)它二%勺(i)其中。.二巨.是旧新坐标中不同坐标轴夹角的余弦。U J I2010-9-2157H=（%号）瓦=%（1）由4=（呼=%式给出了矢量的另一种定义：对每一个直角坐标（0户,0，鼻）系来说，有三个量（%,。2，。3），它根据（1）式变换到另一个坐标系（0,无月,E）中的三个量 3,%，%）中去，则此三个 量定义一新的量万，称为矢量。若将矢量以坐标变换的基础定义（1）加以推广，可 得张量的定义。2010-9-2158流场中点的应力状态 a a.i i j 尸 j y j它有9个分量来表示Bj-1 J旧坐标中应力矢量：。=P 一q（2）1 U J新坐标系中，应力矢量 片=但 把（2）代入（3）有：甘=（、于是 母星=（不号）化词）.星二而以=斗就 岑二%2010-9-21一可号）（月B）（4）二&遇,（5）尸？j,l旧坐标系 小）i,k新坐标系 59凡付合 Pk=(Xy a Pjj可变换规律的物理量称为二阶张量。若在一直角坐标系内给定了3n个数a 当坐J ZJ 5.J n标变换时，所得新的数4万7.=.”.Z1Z2Z3-ln lJ l2J 2 lnJn Jl”Jn则称此3n个数%,/j为一个n阶张量。717273.J n说明:标量是零阶张量，矢量是一阶张量，应力是二 阶张量。2010-9-2160三、张量的表示法一阶张量Pi二阶张量P.或 P=耳+2，2+3，3+?1，2,+43,3,32010-9-2161四、几种特殊的二阶张量1.零张量：在任意直角坐标系中各分量皆为零的量,以0表示2.单位张量：（1 01=0 1N o3.共辗张量：P=P）,0、=%=JPc=Pji4.对称张量：鸟=Pj PC=P2010-9-21624.对称张量：Pg=Pji，PC=P.一 只有6个不同分量2010-9-21635.反对称张量：Pi=-Pi,P=-Pca a?a.,L _L JL.L DA =。21。22。23表示。32。33)A.y0 an _31、-。12 a 23。31“23 )，0.g coj电 0 一例、一o)2 例 0,Ab=aijbJ=-eiJkbJcok=(oxb64任一二阶张量均可唯一地分解为一个二阶对称张量和一个 二阶反对称张量之和。因为如果将张量4分解为下列形式：当变换后，右侧第一项不变，第二项则改变符号。因而工（4+4）为张量出的对称部分；而-（A.-，力）为张量A.的反对称部分。2010-9-21656、并矢证明a1 a1b2 4也、ab-a-a2bl a2b?a2b3/3b a3b2 a3b3)为二阶张量.%=aimambj=ajnbn要证ab-a b是二阶张量 m n只需证明ab=oc oc a bi j im jn m n(1),(2)代入即是。(1)(2)(3)2010-9-2166例题L Vr=?dxiVr=-dxi例题2：(a-V)r=3 二 I ydx._=ci-S-ci-二 a1/2010-9-2167五、张量的运算1.张量相等4=Bij,则各分量一一对应相等2.张量加减贝lj A+B=Aij+Bij3.张量数乘：A一张量，入-一一个常数 等于个分量都乘以入oB=24与=之/万 kJ U2010-9-21682010-9-21695.二阶张量的双点积并联式 M:同=(4.眄):(Bmnemen)=%纥“%稀=4-I-1相当于收缩两次，变成(2+2)-2-2=0阶张量串联式I,I.昨(4眄)片en)=或=ABj,I-a-12010-9-2170例：1(17)尸=万7尸=万/二万2-a-I=I-a=a3.p G=PjjQj=万。=/均=(田1+a221+6Z33b.M由3+2乙3+3心3)为一行向量。Puay+必 JL JL JL JL JL _/_7巴Q+P22a2+舄3a3 巴+巴 2 a2+巴3。3为一列向量。2010-9-21716.张量的微分运算设阶张量p=Piii i，乎 23 jnV张量的梯度尸=gradP=枭乙以3f2）张量的散度V-P=divP=-pki i：西包一二阶张量的散度瓯2010-9-2172六,各向同性张量各向同性张量，当坐标系转动后，张量的分量不变。各向同性张量可以有不同的阶。但是不存在一阶各向同性 张量。零阶张量（标量）都是各向同性张量；一阶同性张量除零矢量外，都不是各向同性张量；二阶各向同性张量形式为九2为标量；三阶各向同性张量形式为为生泌，2为标量；2010-9-2173四阶各向同性张量形式为：H亦1=/k/abiQj卢於豁jk,其中匕乃为标量。如以部为对称张量，i和j对调，k与1对调应不变，因此必然得到jn=a=ft以泪=吟4/+6必+2跖）2010-9-2174雅可比行列式(Jacobian)定义为:“喉I例如一个三维的雅可比行列式为：dxx dxx dxx西第2线3dx2 dx2 dx2靖第2鼓 dx3 dx3 dx32010-9-2175在坐标系变化时，雅可比行列式有重要作用。例如对一个一维流动，流速的导数：du1dxx dx2/o）。（玉,x2）du2 du2dxx dx2如果要表示在另一坐标系(引)中流速的导数，则为:d(ui,u2)d(u1,u2)dx,x2)其中I dxx dxxS(3)二国.涯 1W2)&2 82茗西2M M时,0=西弥=4)(b;。(岳;2)&2&2鬲总即雅可比行列式。而在新坐标系(4)中流速的导数：du du凝I，)du2 du2 C?这个行列式中的每一项均可按行列式相乘的法则由行列式(a)与(b)求出，例如:du氏 du dx2-=-1-诵 氏死小2省2雅可比行列式的另一个重要作用是当多重积分中要改变积分变量时，例如为 简单起见仍研究一二维流动，运动的某一属性厂(Xi,0)，流场的面积为S,如果变换到一个新的坐标系怎4)中去，匹-（j l 石2），、2-（41）蜃）则的嘿砥+舒弥,dx2 dx2*21=-dx+d2.0 gl 0 g2微元面积 dxx x dx2=有2西dxx dx2=Jda X 涯2二重积分在不同坐标系中的变换可写为:a(x19%2)式中1即二维雅可比行列式。S为)坐标系中通过(d)式关系将O2010-9-2179例：由直角坐标系变换为极坐标系 变换关系为：修=rcos3.x2=rsin此时。九星8。由（b）式可知/（二人在平面中微元面积可以表示为rdrdO对于三维流动，同理可得：dxxdx2dx3=jd&id&zd。2010-9-2180