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2021-2022版高中数学-第一章-解三角形-阶段提升课-第一课-解三角形学案-新人教A版必修5.doc
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1、2021-2022版高中数学 第一章 解三角形 阶段提升课 第一课 解三角形学案 新人教A版必修52021-2022版高中数学 第一章 解三角形 阶段提升课 第一课 解三角形学案 新人教A版必修5年级:姓名:第一课解 三 角 形思维导图构建网络考点整合素养提升题组训练一利用正、余弦定理解三角形1.在ABC中,若a=8,b=7,cos C=,则最大角的余弦值是()A.-B.-C.-D.-【解析】选C.由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C=82+72-287=9,所以c=3,故a最大,所以最大角的余弦值为cos A=-.2.(2020濮阳高二检测)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,
2、b,c,已知B=30,b=,c=3,则A=.【解析】因为B=30,b=,c=3,由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,可得3=a2+9-2a3,可得a2-3a+6=0,解得a=2或,由正弦定理,可得sin A=1或,因为0A0,C(0,),所以sin C=.所以sin A=sin (B+C)=sin B cos C +cos B sin C=-=.由正弦定理,可得=,即BC=sin A=.(2)由已知及正弦定理,得AB=sin C=2,所以BD=1.由余弦定理,可得CD2=1+2+21=5,则CD=.解三角形的一般方法(1)已知两角和一边,如已知A,B和c,由A+B+C=求C,由正弦定
3、理求a,b.(2)已知两边和这两边的夹角,如已知a,b和C,应先用余弦定理求c,再应用正弦定理先求较短边所对的角,然后利用A+B+C=,求另一角.(3)已知两边和其中一边的对角,如已知a,b和A,应先用正弦定理求B,由A+B+C=求C,再由正弦定理或余弦定理求c,要注意解可能有多种情况.(4)已知三边a,b,c,可应用余弦定理求A,B,C.题组训练二利用正、余弦定理进行边角互化1.在ABC中,cos2=(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则ABC的形状为()A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形【解析】选A.已知等式变形得cos B+1=+1,即cos B=.
4、由余弦定理得cos B=,代入得=,整理得b2+a2=c2,即C为直角,则ABC为直角三角形.2.在ABC中,C=30,则sin2A+sin2B-2sin Asin Bcos C的值是()A.B.C.D.【解析】选D.设ABC外接圆半径为R,则sin2A+sin2B-2sin Asin Bcos C=sin2C=sin230=.3.(2019全国卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C.(1)求A;(2)若a+b=2c,求sin C.【解析】(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C,故由正弦
5、定理得b2+c2-a2=bc.由余弦定理得cos A=.因为0A180,所以A=60.(2)方法一:由(1)知B=120-C,由题设及正弦定理得sin A+sin(120-C)=2sin C,即+cos C+sin C=2sin C,可得cos(C+60)=-.由于0C120,所以sin(C+60)=,故sin C=sin(C+60-60)=sin(C+60)cos 60-cos(C+60)sin 60=.方法二:因为a+b=2c,由正弦定理得:sin A+sin B=2sin C,又sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,A=,所以+cos C+sin C=
6、2sin C,整理可得:3sin C-=cos C,即3sin C-cos C=2sin=,所以sin=,所以C=或,因为A=且A+C0A为锐角,b2+c2-a2=0A为直角,b2+c2-a20A为钝角.题组训练三三角形的面积问题1.如图,在四边形ABCD中,B=C=120,AB=4,BC=CD=2,则该四边形的面积等于()A.B.5C.6D.7【解析】选B.连接BD,在BCD中,由已知条件,知DBC=30,所以ABD=90.在BCD中,由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BCCDcos C,知BD2=22+22-222cos 120=12,所以BD=2,所以S四边形ABCD=SABD+SB
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