数列求和的基本方法归纳.pdf
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1、1数列求和的基本方法归纳数列求和的基本方法归纳一、利用常用求和公式求和一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、等差数列求和公式:dnnnaaanSnn2)1(2)(112、等比数列求和公式:)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn3、4、)1(211nnkSnkn)12)(1(6112nnnkSnkn5、213)1(21nnkSnkn 例例 11 已知,求的前 n 项和.3log1log23x nxxxx32解:由212loglog3log1log3323xxx 由等比数列求和公式得 nnxxxxS 32(利用常用公式)1xxxn
2、1)1(211)211(21nn21 例例 22 设 Sn1+2+3+n,nN*,求的最大值.1)32()(nnSnSnf 解:由等差数列求和公式得,)1(21nnSn)2)(1(21nnSn(利用常用公式)1)32()(nnSnSnf64342nnn2 nn6434150)8(12nn501 当,即 n8 时,88n501)(maxnf二、错位相减法求和二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列anbn的前 n 项和,其中 an、bn 分别是等差数列和等比数列.(如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成如果一个数列
3、的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前的,那么这个数列的前 n n 项和即可用此法来求项和即可用此法来求.)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式.例例 33 求和:132)12(7531 nnxnxxxS解:由题可知,的通项是等差数列2n1的通项与等比数列1)12(nxn的通项之积1nx设.nnxnxxxxxS)12(7531432 (设制错位)得 (错位nnnxnxxxxxSx)12(222221)1(1432 相减)再利用等比数列的求和公式得:nnnxnxxxSx)12(1121)1(1
4、21)1()1()12()12(xxxnxnSnnn 例例 44 求数列前 n 项的和.,22,26,24,2232nn解:由题可知,的通项是等差数列2n的通项与等比数列的通项nn22n21之积3设nnnS2226242232 14322226242221 nnnS(设制错位)得 1432222222222222)211(nnnnS(错位相减)1122212nnn 1224nnnS三、倒序相加法求和三、倒序相加法求和这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加,就可以得到 n 个.(如果一个数列如果一个数列)(1naa anan,首末两端
5、等,首末两端等“距离距离”的两项的和相等或等于同一常数,那么求这个数列的两项的和相等或等于同一常数,那么求这个数列的前的前 n n 项和即可用倒序相加法项和即可用倒序相加法)例例 55 求证:nnnnnnnCnCCC2)1()12(53210 证明:设.nnnnnnCnCCCS)12(53210 把式右边倒转过来得 0113)12()12(nnnnnnnCCCnCnS (反序)又由可得mnnmnCC .nnnnnnnCCCnCnS 1103)12()12(+得 (反nnnnnnnnnCCCCnS2)1(2)(22(2110 序相加)nnnS2)1(例例 66 求的值89sin88sin3sin
6、2sin1sin22222 4解:设.89sin88sin3sin2sin1sin22222 S将式右边反序得 .1sin2sin3sin88sin89sin22222 S(反序)又因为 1cossin),90cos(sin22xxxx +得 (反序相加)89)89cos89(sin)2cos2(sin)1cos1(sin2222222 S S44.5四、分组法求和四、分组法求和有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.(若一若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求个数列的通
7、项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组转化法,分别求和而后相加减和时可用分组转化法,分别求和而后相加减)分组求和常见类型及方法(1)anknb,利用等差数列前 n 项和公式直接求解;(2)anaqn1,利用等比数列前 n 项和公式直接求解;(3)anbncn,数列bn,cn是等比数列或等差数列,例例 77 求数列的前 n 项和:,231,71,41,1112 naaan解:设)231()71()41()11(12 naaaSnn将其每一项拆开再重新组合得 )23741()1111(12 naaaSnn(分组)当 a1 时,2)13(nnnSn2)13(nn 5(
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