概率论与数理统计知识点总结.pdf
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1、1第第 1 章章 随机事件及其概率随机事件及其概率(1)随)随机机试验试验和随机和随机事件事件如果一个如果一个试验试验在相同条件下可以重复在相同条件下可以重复进进行,而每次行,而每次试验试验的可能的可能结结果果不止一个,但在不止一个,但在进进行一次行一次试验试验之前却不能断言它出之前却不能断言它出现现哪个哪个结结果,果,则则称称这这种种试验为试验为随机随机试验试验。试验试验的可能的可能结结果称果称为为随机事件。随机事件。(2)基)基本事件、本事件、样样本空本空间间和事和事件件在一个在一个试验试验下,不管事件有多少个,下,不管事件有多少个,总总可以从其中找出可以从其中找出这样这样一一组组事事件,
2、它具有如下性件,它具有如下性质质:每每进进行一次行一次试验试验,必,必须发须发生且只能生且只能发发生生这这一一组组中的一个事件;中的一个事件;任何事件,都是由任何事件,都是由这这一一组组中的部分事件中的部分事件组组成的。成的。这样这样一一组组事件中的每一个事件称事件中的每一个事件称为为基本事件,用基本事件,用来表示。来表示。基本事件的全体,称基本事件的全体,称为试验为试验的的样样本空本空间间,用,用表示。表示。一个事件就是由一个事件就是由中的部分点(基本事件中的部分点(基本事件)组组成的集合。通常用大成的集合。通常用大写字母写字母 A,B,C,表示事件,它表示事件,它们们是是的子集。的子集。为
3、为必然事件,必然事件,为为不可能事件。不可能事件。不可能事件(不可能事件()的概率)的概率为为零,而概率零,而概率为为零的事件不一定是不可能事件;零的事件不一定是不可能事件;同理,必然事件(同理,必然事件()的概率)的概率为为 1,而概率,而概率为为 1 的事件也不一定是必然的事件也不一定是必然事件。事件。(3)事)事件的关件的关系与运系与运算算关系:关系:如果事件如果事件 A 的的组组成部分也是事件成部分也是事件 B 的的组组成部分,成部分,(A 发发生必有事件生必有事件 B发发生):生):BA 如果同如果同时时有有,则则称事件称事件 A 与事件与事件 B 等价,或称等价,或称 A 等于等于
4、BA AB B:A=B。A、B 中至少有一个中至少有一个发发生的事件:生的事件:AB,或者,或者 A+B。属于属于 A 而不属于而不属于 B 的部分所构成的事件,称的部分所构成的事件,称为为 A与与B 的差,的差,记为记为 A-1B,也可表示,也可表示为为 A-AB 或者或者,它表示,它表示 A 发发生而生而 B 不不发发生的事件。生的事件。BAA、B 同同时发时发生:生:AB,或者,或者 AB。AB=,则则表示表示 A 与与 B 不可能同不可能同时时发发生,称事件生,称事件 A 与事件与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。的。-A 称称为为事
5、件事件 A 的逆事件,或称的逆事件,或称 A 的的对对立事件,立事件,记为记为A。它表示。它表示A 不不发发生的事件。互斥未必生的事件。互斥未必对对立。立。运算:运算:结结合率:合率:A(BC)=(AB)C A(B C)=(A B)C 分配率:分配率:(AB)C=(A C)(B C)(A B)C=(AC)(BC)德摩根率:德摩根率:11iiiiAA ,BABABABA(4)概)概率的公率的公理化定理化定义义设设为样为样本空本空间间,A为为事件,事件,对对每一个事件每一个事件A都有一个都有一个实实数数 P(A),若,若满满足下列三个条件:足下列三个条件:1 0P(A)1,2 P()=13 对对于
6、两两互不相容的事件于两两互不相容的事件1A,2A,有有11)(iiiiAPAP则则称称 P(A)为为事件事件A的概率。的概率。(5)古)古典概型典概型1,n21,2。nPPPn1)()()(21设设任一事件任一事件A,它是由,它是由组组成的,成的,则则有有m21,P(A)=)()()(21m)()()(21mPPPnm基本事件总数所包含的基本事件数A(6)几)几何概型何概型若随机若随机试验试验的的结结果果为为无限不可数并且每个无限不可数并且每个结结果出果出现现的可能性均匀,的可能性均匀,同同时样时样本空本空间间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述,中的每一个基本事件可以使用一个有界区域
7、来描述,1则则称此随机称此随机试验为试验为几何概型。几何概型。对对任一事件任一事件 A,。其中。其中 L 为为几何度量(几何度量(长长度、面度、面积积、体、体积积)。)。)()()(LALAP(7)加)加法公式法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当当 AB 不相容不相容 P(AB)0 时时,P(A+B)=P(A)+P(B)当当 AB 独立,独立,P(AB)=P(A)P(B),P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)(8)减)减法公式法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当当 BA 时时,P(A-B)=P(A)-P(B)当当 A=时时,P()=1-P(B)B(9)条)条
8、件概率件概率定定义义 设设 A、B 是两个事件,且是两个事件,且 P(A)0,则则称称为为事件事件 A 发发生条生条)()(APABP件下,事件件下,事件 B 发发生的条件概率,生的条件概率,记为记为。)/(ABP)()(APABP条件概率是概率的一种,所有概率的性条件概率是概率的一种,所有概率的性质质都适合于条件概率。都适合于条件概率。例如例如 P(/B)=1P(/A)=1-P(B/A)B(10)乘)乘法公式法公式乘法公式:乘法公式:)/()()(ABPAPABP更一般地,更一般地,对对事件事件 A1,A2,An,若,若 P(A1A2An-1)0,则则有有21(AAP)nA)|()|()(2
9、13121AAAPAAPAP21|(AAAPn)1nA。(11)独)独立性立性两个事件的独立性两个事件的独立性设设事件事件A、B满满足足)()()(BPAPABP,则则称事件称事件A、B是相互独立的。是相互独立的。若事件若事件A、B相互独立,且相互独立,且0)(AP,则则有有)()()()()()()|(BPAPBPAPAPABPABP若事件若事件A、B相互独立,相互独立,则则可得到可得到A与与B、A与与B、A与与B也都相互也都相互独立。独立。必然事件必然事件和不可能事件和不可能事件 与任何事件都相互独立。与任何事件都相互独立。与任何事件都互斥。与任何事件都互斥。多个事件的独立性多个事件的独立
10、性设设 ABC 是三个事件,如果是三个事件,如果满满足两两独立的条件,足两两独立的条件,1P(AB)=P(A)P(B);P(BC)=P(B)P(C);P(CA)=P(C)P(A)并且同并且同时满时满足足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么那么 A、B、C 相互独立。相互独立。对对于于 n 个事件个事件类类似。似。(12)全)全概公式概公式设设事件事件nBBB,21满满足足1nBBB,21两两互不相容,两两互不相容,),2,1(0)(niBPi,2niiBA1,则则有有)|()()|()()|()()(2211nnBAPBPBAPBPBAPBPAP。全概率公式解决的是多个原因造成的全概率
11、公式解决的是多个原因造成的结结果果问题问题,全概率公式的,全概率公式的题题型:型:将将试验试验可看成分可看成分为为两步做,如果要求第二步某事件的概率,就用全两步做,如果要求第二步某事件的概率,就用全概率公式;概率公式;(13)贝贝叶斯公叶斯公式式设设事件事件1B,2B,nB及及A满满足足1 1B,2B,nB两两互不相容,两两互不相容,)(BiP0,i1,2,n,2 niiBA1,0)(AP,则则,i=1,2,n。njjjiiiBAPBPBAPBPABP1)/()()/()()/(此公式即此公式即为贝为贝叶斯公式。叶斯公式。,(1i,2,n),通常叫先),通常叫先验验概率。概率。,(1i,2,n
12、),),)(iBP)/(ABPi通常称通常称为为后后验验概率。概率。贝贝叶斯公式反映了叶斯公式反映了“因果因果”的概率的概率规规律,并作出律,并作出了了“由果朔因由果朔因”的推断。将的推断。将试验试验可看成分可看成分为为两步做,如果求在第二步两步做,如果求在第二步某事件某事件发发生条件下第一步某事件的概率,就用生条件下第一步某事件的概率,就用贝贝叶斯公式。叶斯公式。(14)伯)伯努利概努利概型型我我们们作了作了n次次试验试验,且,且满满足足 每次每次试验试验只有两种可能只有两种可能结结果,果,A发发生或生或A不不发发生;生;n次次试验试验是重复是重复进进行的,即行的,即A发发生的概率每次均一生
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