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全国高中数学第八章立体几何初步必须掌握的典型题.pdf
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1、(名师选题名师选题)全国通用版高中数学第八章立体几何初步必须掌握的典型题全国通用版高中数学第八章立体几何初步必须掌握的典型题 单选题 1、球面上两点之间的最短连线的长度,就是经过这两个点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度(大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆),我们把这个弧长叫做两点的球面距离.已知正 的项点都在半径为2的球面上,球心到 所在平面距离为263,则、两点间的球面距离为()AB2C23D34 答案:C 分析:设球心为点,计算出,利用扇形弧长公式可求得结果.设球心为点,平面截球所得截面圆的半径为=22(263)2=233,由正弦定理可得433=sin,=433sin3=2,又 =2,所
2、以,为等边三角形,则=3,因此,、两点间的球面距离为2 3=23.故选:C.小提示:思路点睛:求球面距离,关键就是要求出球面上两点与球心所形成的角,结合扇形的弧长公式求解,同时在计算球的截面圆半径时,利用公式=2 2(其中为截面圆的半径,为球的半径,为球心到截面的距离)来计算.2、在长方体 1111中,=4,=3,1=5,点P在长方体的面上运动,且满足=5,则P的轨迹长度为()A12B8C6D4 答案:C 分析:由题设,在长方体表面确定P的轨迹,应用弧长公式计算轨迹长度.如图,在左侧面的轨迹为弧1,在后侧面的轨迹为弧,在右侧面的轨迹为弧,在前侧面内的轨迹为弧1.易知|=14 4 2=2,|=1
3、4 3 2=32,又sin1=cos=35,cos1=sin=35,1+1=2,则|1|+|1|=14 5 2=52,P的轨迹长度为 6,故选:C.3、中国古代建筑使用榫卯结构将木部件连接起来,构件中突出的部分叫榫头,凹进去的部分叫卯眼,图中摆放的部件是榫头,现要在一个木头部件中制作出卯眼,最终完成一个直角转弯结构的部件,那么卯眼的俯视图可以是()ABCD 答案:B 分析:根据榫头的俯视图结合结果图,可判断卯眼的俯视图.解:根据榫头的俯视图及结果图的俯视图可判断卯眼的俯视图为 B 项中的图形.故选:B.4、在 中,=1,=2,=60,是 的外接圆上的一点,若=+,则+的最小值是()A1B12C
4、13D16 答案:B 分析:先解三角形得到 为直角三角形,建立直角坐标系,通过=+表示出+,借助三角函数求出最小值.由余弦定理得2=2+2 2 cos=1+4 2 1 2 cos60=3,所以=3,所以2+2=2,所以 以AC的中点为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,易得A(1,0),C(1,0),B(12,32),设P的坐标为(cos,sin),所以=(12,32),=(2,0),=(cos+1,sin),又=+,所以(cos+1,sin)=(12,32)+(2,0)=(2+2,32),所以=233sin,=cos2+1236sin,所以+=233sin+cos2+1236sin=32si
5、n+cos2+12=sin(+6)+12 1+12=12,当且仅当sin(+6)=1时,等号成立 故选:B 5、如图,在一个正方体中,E,G分别是棱,的中点,F为棱靠近C的四等分点.平面截正方体后,其中一个多面体的三视图中,相应的正视图是()ABCD 答案:D 分析:根据条件可得平面经过点,然后可得答案.连接,因为E,G分别是棱,的中点,F为棱靠近C的四等分点 所以/,所以平面经过点 所以多面体 的正视图为 故选:D 6、某正方体被截去部分后得到的空间几何体的三视图如图所示,则该空间几何体的体积为()A132B223C152D233 答案:C 分析:根据几何体的三视图,可知该几何体是棱长为 2
6、 的正方体截去两个小三棱锥,根据三棱锥的体积公式即可求解 解:根据几何体的三视图,该空间几何体是棱长为 2 的正方体截去两个小三棱锥,由图示可知,该空间几何体体积为=23(1312 12 1+1312 12 2)=152,故选:C.7、下列命题中,正确的是()A三点确定一个平面 B垂直于同一直线的两条直线平行 C若直线与平面上的无数条直线都垂直,则 D若a、b、c是三条直线,且与c都相交,则直线a、b、c在同一平面上 答案:D 分析:利用空间点、线、面位置关系直接判断.A.不共线的三点确定一个平面,故 A 错误;B.由墙角模型,显然 B 错误;C.根据线面垂直的判定定理,若直线与平面内的两条相
7、交直线垂直,则直线与平面垂直,若直线与平面内的无数条平行直线垂直,则直线与平面不一定垂直,故 C 错误;D.因为/,所以、确定唯一一个平面,又与、都相交,故直线、共面,故 D 正确;故选:D.8、已知平面内的=60,射线与,所成的角均为 135,则与平面所成的角的余弦值是()A63B63C33D33 答案:B 分析:作出图形,如图,通过分析,可得为与平面所成的角的补角,利用余弦定理可以计算.作出如下图形,令=2,则=135,=,取中点,连接,则即为与平面所成的角的补角,在 中,2=2+2 2 cos135=8+42,在 中,2=2 2=7+42,=3,cos=2+222=63,与平面所成的角的
8、余弦值是63.故选:B.小提示:本题考查线面角的求法,找出所成角,构造三角形是解题的关键.9、如图所示的正方形123中,分别是12,23的中点,现沿,把这个正方形折成一个四面体,使1,2,3重合为点,则有()A 平面B 平面 C 平面D 平面 答案:A 解析:根据正方形的特点,可得 ,然后根据线面垂直的判定定理,可得结果.由题意:,=,平面 所以 平面正确,D不正确;.又若 平面,则 ,由平面图形可知显然不成立;同理 平面不正确;故选:A 小提示:本题主要考查线面垂直的判定定理,属基础题.10、如图在正三棱锥 中,,分别是棱,的中点,为棱上的一点,且=12,若=22,则此正三棱锥 的外接球的体
9、积为()A12B433C83D43 答案:D 分析:根据题意证明,两两垂直,将三棱锥放入棱长为2的正方体,两者外接球体积相同,求得正方体外接球体积即可得出答案.因为在 中,,分别是棱,的中点,所以/,因为 ,所以 ,因为三棱锥 为正三棱锥,所以 (对棱垂直),又因为,面,=,所以 面,因为,面,所以 ,,在 中,2+2=2,因为三棱锥 为正三棱锥,所以 是等腰三角形,是等边三角形,所以=,=,所以2+2=2,即 ,所以,两两垂直,将此三棱锥放入正方体中,此正方体的面对角线长等于长,为22,则该正方体棱长为2,外接球半径=(22)2+(222)2=3,正方体外接球体积=433=43 (3)3=4
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