椭圆题型归纳大全.pdf
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1、第 1 页椭圆典型题型归纳椭圆典型题型归纳题型一题型一.定义及其应用定义及其应用例 1.已知一个动圆与圆相内切,且过点,求这个动圆圆心22:(4)100Cxy(4,0)A的轨迹方程;M例 2.方程所表示的曲线是 223(1)(1)22xyxy练习练习:1.方程对应的图形是()2222(3)(3)6xyxyA.直线 B.线段 C.椭圆 D.圆2.方程对应的图形是()2222(3)(3)10 xyxyA.直线 B.线段 C.椭圆 D.圆3.方程成立的充要条件是()2222(3)(3)10 xyxy A.B.C.D.2212516xy221259xy2211625xy221925xy4.如果方程表示
2、椭圆,则的取值范围是 2222()()1xymxymm m5.过椭圆的一个焦点的直线与椭圆相交于两点,则两点与椭圆22941xy1F,A B,A B的另一个焦点构成的的周长等于 ;2F2ABF6.设圆的圆心为,是圆内一定点,为圆周上任意一点,线段22(1)25xyC(1,0)AQ的垂直平分线与的连线交于点,则点的轨迹方程为 ;AQCQMM题型二题型二.椭圆的方程椭圆的方程 (一)由方程研究曲线(一)由方程研究曲线例 1.方程的曲线是到定点 和 的距离之和等于 的2211625xy点的轨迹;(二)分情况求椭圆的方程(二)分情况求椭圆的方程例 2.已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的 3 倍,
3、并且过点,求椭圆的方(3,0)P第 2 页程;(三)用待定系数法求方程(三)用待定系数法求方程例 3.已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点、1(6,1)P,求椭圆的方程;2(3,2)P 例 4.求经过点且与椭圆有共同焦点的椭圆方程;(2,3)229436xy注:一般地,与椭圆注:一般地,与椭圆共焦点的椭圆可设其方程为共焦点的椭圆可设其方程为;22221xyab222221()xykbakbk(四)定义法求轨迹方程;(四)定义法求轨迹方程;例 5.在中,所对的三边分别为,且,求满足ABC,A B C,a b c(1,0),(1,0)BC且成等差数列时顶点的轨迹;bac,b a cA
4、(五)相关点法求轨迹方程;(五)相关点法求轨迹方程;例 6.已知轴上一定点,为椭圆上任一点,求的中点的轨迹x(1,0)AQ2214xyAQM方程;(六)直接法求轨迹方程;(六)直接法求轨迹方程;例 7.设动直线 垂直于轴,且与椭圆交于两点,点是直线 上满足lx2224xy,A BPl的点,求点的轨迹方程;1PA PB AP(七)列方程组求方程(七)列方程组求方程例 8.中心在原点,一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标(0,50)F32yx为,求此椭圆的方程;12题型三题型三.焦点三角形问题焦点三角形问题例 1.已知椭圆上一点的纵坐标为,椭圆的上下两个焦点分别为、,2211625xyP53
5、2F1F第 3 页求、及;1PF2PF12cosFPF题型四题型四.椭圆的几何性质椭圆的几何性质例 1.已知是椭圆上的点,的纵坐标为,、分别为椭圆的两个焦点,P22221xyab531F2F椭圆的半焦距为,则的最大值与最小值之差为 c12PFPFA例 2.椭圆的四个顶点为,若四边形的内切圆恰22221xyab(0)ab,A B C DABCD好过焦点,则椭圆的离心率为 ;例 3.若椭圆的离心率为,则 ;22114xyk12k 例 4.若为椭圆上一点,、为其两个焦点,且P22221(0)xyabab1F2F,则椭圆的离心率为 01215PFF02175PF F题型五题型五.求范围求范围例 1.方
6、程表示准线平行于轴的椭圆,求实数的取值范围;22221(1)xymmxm题型六题型六.椭圆的第二定义的应用椭圆的第二定义的应用例 1.方程所表示的曲线是 222(1)(1)2xyxy例 2.求经过点,以轴为准线,离心率为的椭圆的左顶点的轨迹方程;(1,2)My12例 3.椭圆上有一点,它到左准线的距离等于,那么到右焦点的距离为221259xyP52P 例 4已知椭圆,能否在此椭圆位于轴左侧的部分上找到一点,使它到13422yxyM左准线的距离为它到两焦点距离的等比中项,若能找到,求出该点的坐标,若不能12,F F找到,请说明理由。第 4 页例 5已知椭圆内有一点,、分别是椭圆的左、右焦点,点是
7、15922yx)1,1(A1F2FP椭圆上一点求的最小值及对应的点的坐标223PFPA P题型七题型七.求离心率求离心率例 1.椭圆的左焦点为,是两个顶点,22221xyab(0)ab1(,0)Fc(,0)Aa(0,)Bb如果到直线的距离为,则椭圆的离心率 1FAB7be 例 2.若为椭圆上一点,、为其两个焦点,且,P22221(0)xyabab1F2F12PFF,则椭圆的离心率为 212PF F例 3.、为椭圆的两个焦点,过的直线交椭圆于两点,且1F2F2F,P Q1PFPQ,则椭圆的离心率为 ;1PFPQ题型八题型八.椭圆参数方程的应用椭圆参数方程的应用例 1.椭圆上的点到直线的距离最大时
8、,点的坐标 22143xyP270 xyP例 2.方程()表示焦点在轴上的椭圆,求的取值范围;22sincos1xy0y题型九题型九.直线与椭圆的关系直线与椭圆的关系(1 1)直线与椭圆的位置关系)直线与椭圆的位置关系例 1.当为何值时,直线与椭圆相切、相交、相离?m:l yxm22916144xy第 5 页yxOABP例 2.曲线()与连结,的线段没有公共点,求的22222xya0a(1,1)A(2,3)Ba取值范围。例 3.过点作直线 与椭圆相交于两点,为坐标原点,)0 ,3(Pl223412xy,A BO求面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。OAB分析:分析:若直接用点斜式设 的方程为
9、,则要求l)3(0 xky的斜率一定要存在,但在这里 的斜率有可能不存在,因此要ll讨论斜率不存在的情形,为了避免讨论,我们可以设直线 的方l程为,这样就包含了斜率不存在时的情形了,从而3 myx简化了运算。解:设,:1122(,),(,)A x yB xyl3 myx)(3|)|(|3|21|21212121yyyyyOPyOPSAOB把代入椭圆方程得:,即3 myx0124)332(3222ymyym,0336)43(22myym4336221mmyy433221myy481444314312)43(108|22222221xmmmmyy3)13(133443133443394222222
10、mmmmmm23234133133422mmm第 6 页,此时 3223S1331322mm36m令直线的倾角为,则36tan26 即面积的最大值为,此时直线倾斜角的正切值为。OAB326例 4.求直线和椭圆有公共点时,的取值范围cossin2xy2236xy。(0)(二)弦长问题(二)弦长问题例 1.已知椭圆,是轴正方向上的一定点,若过点,斜率为 1 的直线22212xyAxA被椭圆截得的弦长为,求点的坐标。3134A 分析:分析:若直线与圆锥曲线相交于两点、,ykxb(,)0f x y 11(,)P x y22(,)Q xy则弦的长度的计算公式为,PQ|11|1|212212yykxxkP
11、Q而,因此只要把直线的方程代入圆锥曲线21221214)(|xxxxxxykxb方程,消去(或),结合一元二次方程根与系数的关系即可求出弦长。(,)0f x y yx 解:设(),则直线 的方程为,设直线 与椭圆相交于0(,0)A x00 x l0yxxl、,由,可得,11(,)P x y22(,)Q xy022212yxxxy2200342120 xx xx,则34021xxx31222021xxx20202021221212363234889164)(|xxxxxxxxx,即|13144212xxx202363223144x,又,;204x00 x 02x(2,0)A第 7 页例 2.椭圆
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