九年级数学总复习知识点归纳文档.pdf
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1、1第一章 数与式课时 1实数的有关概念【考点链接】一、有理数的意义 1数轴的三要素为 、和 .数轴上的点与 构成一一对应.2实数的相反数为_.若,互为相反数,则=.aabba 3非零实数的倒数为_.若,互为倒数,则=.aabab4绝对值在数轴上表示一个数的点离开 的距离叫做这个数的绝对值。即一个正数的绝对值等于它 ;0 的绝对值是 ;负数的绝对值是它的 。a (a0)即a=0 (a=0)-a (a0,则 a b;若 a-b=0,则 a b,若 a-b2,则 ;32商比较法:已知 a0、b0,若1,则 a b;若=1,则 a b;若0一元二次方程有两个 实数根,即 .acb42002acbxax
2、2,1x(2)=0一元二次方程有 相等的实数根,即 .acb4221xx(3)0一元二次方程 实数根.acb42002acbxax4列一元二次方程解应用题的一般步骤:审、找、设、列、解、答六步。练习题1.某县为发展教育事业,加强了对教育经费的投入,2007 年投入 3 000 万元,预计 2009 年9投入 5 000 万元设教育经费的年平均增长率为x,根据题意,下面所列方程正确的是()A23000(1)5000 xB230005000 x C23000(1)5000 xD23000(1)3000(1)5000 xx2.已知 x=1 是一元二次方程的一个根,则 的值为 02nmxx222nmn
3、m课时 9分式方程及其应用【考点链接】1分式方程:分母中含有 的方程叫分式方程.2解分式方程的一般步骤:(1)去分母,在方程的两边都乘以 ,约去分母,化成整式方程;(2)解这个整式方程;(3)验根,把整式方程的根代入 ,看结果是不是零,使最简公分母为零的根是原方程的增根,必须舍去.3.用换元法解分式方程的一般步骤:设辅助未知数,并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式;解所得到的关于辅助未知数的新方程,求出辅助未知数的值;把辅助未知数的值代入原设中,求出原未知数的值;检验作答.4分式方程的应用:分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似,不同的是要注意检验:(1)检验所求的解是否是所列
4、;(2)检验所求的解是否 .5列分式方程解应用题中常用的数量关系及题型 (1)数字问题(包括日历中的数字规律)设个位数字为 c,十位数字为 b,百位数字为 a,则这个三位数是 ;日历中前后两日差 ,上下两日差 。(2)体积变化问题。(3)打折销售问题利润=-成本;利润率=100.(4)行程问题。(5)教育储蓄问题利息=;本息和=本金(1+利率期数);10利息税=;贷款利息=贷款数额利率期数。6易错知识辨析:(1)去分母时,不要漏乘没有分母的项.(2)解分式方程的重要步骤是检验。练习题1.解方程:1211xx课时 10一元一次不等式(组)【考点链接】1不等式的有关概念:用 连接起来的式子叫不等式
5、;使不等式成立的 的值叫做不等式的解;一个含有 的不等式的解的 叫做不等式的解集.求一个不等式的 的过程或证明不等式无解的过程叫做解不等式.2不等式的基本性质:(1)若,则+;aba ccb(2)若,0 则 (或 );abcacbccacb(3)若,0 则 (或 ).abcacbccacb3一元一次不等式:只含有 未知数,且未知数的次数是 且系数 的不等式,称为一元一次不等式;一元一次不等式的一般形式为 或;解一元axb一次不等式的一般步骤:去分母、移项、系数化为 1.4一元一次不等式组:几个 合在一起就组成一个一元一次不等式组.一般地,几个不等式的解集的 ,叫做由它们组成的不等式组的解集.5
6、由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况:(已知)ab的解集是,即“小小取小”;的解集是,即“大大取大”;xaxbxaxaxbxb的解集是,即“大小小大中间找”;xaxbaxb的解集是空集,即“大大小小取不了”.xaxb6求不等式(组)的特殊解:不等式(组)的解往往有无数多个,但其特殊解在某些范围内是有限的,如整数解,非负整数解,求这些特殊解应先确定不等式(组)的解集,然后再找到相应答案.7易错知识辨析:11(1)不等式的解集用数轴来表示时,注意“空心圆圈”和“实心点”的不同含义.(2)解字母系数的不等式时要讨论字母系数的正、负情况.如不等式(或)()的形式的解集:axbaxb0a
7、当时,(或)0a bxabxa当时,(或)0a bxabxa练习题1.把某不等式组中两个不等式的解集表示在数轴上,如图 1 所示,则这个不等式组可能是()A41xx,B41xx,C41xx,D41xx,2.把不等式 4 的解集表示在数轴上,正确的是()2x 第三章 函数及其图像课时 11.平面直角坐标系与函数的概念【考点链接】1.坐标平面内的点与_一一对应2.根据点所在位置填表(图)点的位置横坐标符号纵坐标符号第一象限第二象限第三象限第四象限3.轴上的点_坐标为 0,轴上的点_坐标为 0.xy4各象限角平分线上的点的坐标特征第一、三象限角平分线上的点,横、纵坐标 。第二、四象限角平分线上的点,
8、横、纵坐标 。5.P(x,y)关于轴对称的点坐标为_,关于轴对称的点坐标为_,xyA-20BD20C0-220401图 112关于原点对称的点坐标为_.以上特征可归纳为:关于 x 轴对称的两点:横坐标相同,纵坐标 ;关于 y 轴对称的两点:横坐标 ,纵坐标相同;关于原点对称的两点:横、纵坐标均 。6.描点法画函数图象的一般步骤是_、_、_7.函数的三种表示方法分别是_、_、_8.求函数自变量的取值范围时,首先要考虑自变量的取值必须使解析式有意义。自变量以整式形式出现,它的取值范围是 ;自变量以分式形式出现,它的取值范围是 ;自变量以根式形式出现,它的取值范围是 ;例如:有意义,则自变量 x 的
9、取值范围是 .xy 有意义,则自变量的取值范围是 。xy1x练习题1.如图 6 所示的计算程序中,y 与 x 之间的函数关系所对应的图象应为()3.一艘轮船在同一航线上往返于甲、乙两地已知轮船在静水中的速度为15 km/h,水流速度为 5 km/h轮船先从甲地顺水航行到乙地,在乙地停留一段时间后,又从乙地逆水航行返回到甲地设轮船从甲地出发后所用时间为 t(h),航行的路程为 s(km),则 s与 t 的函数图象大致是()xOyx-2-4ADCBO42yO2-4yxO4-2yx取相反数24图 6输入 x输出 ytsOAtsOBtsOCtsOD13课时 12.一次函数【考点链接】1正比例函数的一般
10、形式是_一次函数的一般形式是_.2.一次函数的图象是经过 和 两点的一条 .ykxb3.求一次函数的解析式的方法是 ,其基本步骤是:;.4.一次函数的图象与性质ykxb5.一次函数的性质ykxbk0直线上升y 随 x 的增大而 ;k0直线下降y 随 x 的增大而 .练习题1.如图 11,直线1l的解析表达式为33yx,且1l与x轴交于点D,直线2l经过点AB,直线1l,2l交于点Ck、b 的符号k0b0k0 b0k0 b0k0b0图像的大致位置经过象限第 象限第 象限第 象限第 象限性质y 随 x 的增大而 y 随 x 的增大而 y 随 x 的增大而 y 随 x 的增大而 l1l2xyDO3B
11、CA32(4,0)图 1114图 1560404015030单位:cmABB(1)求点D的坐标;(2)求直线2l的解析表达式;(3)求ADC的面积;(4)在直线2l上存在异于点C的另一点P,使得ADP与ADC的面积相等,请直接写出点P的坐标2.某公司装修需用 A 型板材 240 块、B 型板材 180 块,A 型板材规格是 60 cm30 cm,B 型板材规格是 40 cm30 cm现只能购得规格是 150 cm30 cm 的标准板材一张标准板材尽可能多地裁出 A 型、B 型板材,共有下列三种裁法:(图 15 是裁法一的裁剪示意图)裁法一裁法二裁法三A 型板材块数120B 型板材块数2mn设所
12、购的标准板材全部裁完,其中按裁法一裁 x 张、按裁法二裁 y张、按裁法三裁 z 张,且所裁出的 A、B 两种型号的板材刚好够用(1)上表中,m=,n=;(2)分别求出 y 与 x 和 z 与 x 的函数关系式;(3)若用 Q 表示所购标准板材的张数,求 Q 与 x 的函数关系式,并指出当 x 取何值时 Q 最小,此时按三种裁法各裁标准板材多少张?课时 13反比例函数【考点链接】1反比例函数:一般地,如果两个变量 x、y 之间的关系可以表示成 y 或 (k 为常数,k0)的形式,那么称 y 是 x 的反比例函数2.反比例函数的图象和性质15xyO图 33的几何含义:反比例函数 y(k0)中比例系
13、数 k 的几何意义,即过双曲线 ykkx(k0)上任意一点 P 作 x 轴、y 轴垂线,设垂足分别为 A、B,则所得矩形 OAPB 的面kx积为 .练习题1.点(231)Pm,在反比例函数1yx的图象上,则m 2.反比例函数1yx(x0)的图象如图 3 所示,随着 x 值的增大,y 值()A增大 B减小C不变D先减小后增大3.如图 13,在直角坐标系中,矩形 OABC 的顶点 O 与坐标原点重合,顶点 A,C 分别在坐标轴上,顶点 B 的坐标为(4,2)过点 D(0,3)和 E(6,0)的直线分别与 AB,BC 交于点 M,N(1)求直线 DE 的解析式和点 M 的坐标;(2)若反比例函数(x
14、0)的图象经过点 M,求该反比例函数的解析式,并通xmy 过计算判断点 N 是否在该函数的图象上;(3)若反比例函数(x0)的图象与MNB 有公共点,请直接写出m 的取值范xmy 围k 的符号k0k0图像的大致位置经过象限第 象限第 象限性质在每一象限内 y 随 x 的增大而 在每一象限内 y 随 x 的增大而 oyxyxoxMNyDABCEO图 1316yxO课时 14二次函数及其图像【考点链接】1.二次函数的图像和性质2()ya xhk0a0a图 象开 口对 称 轴最 值当 x 时,y 有最 值当 x 时,y 有最 值在对称轴左侧y 随 x 的增大而 y 随 x 的增大而 增减性在对称轴右
15、侧y 随 x 的增大而 y 随 x 的增大而 2.二次函数用配方法可化成的形式,其中cbxaxy2khxay2 ,.hk3.二次函数的图像和图像的关系.2()ya xhk2axy 174.常用二次函数的解析式:(1)一般式:;(2)顶点式:。5.顶点式的几种特殊形式.,(4).6二次函数通过配方可得,其抛物线关于直cbxaxy2224()24bacbya xaa线 对称,顶点坐标为(,).x 当时,抛物线开口向 ,有最 (填“高”或“低”)点,当0a 时,有最 (“大”或“小”)值是 ;x y 当时,抛物线开口向 ,有最 (填“高”或“低”)点,当0a 时,有最 (“大”或“小”)值是 x y
16、练习题1.已知抛物线2yaxbx经过点(33)A,和点P(t,0),且 t 0(1)若该抛物线的对称轴经过点A,如图12,请通过观察图象,指出此时 y 的最小值,并写出t 的值;(2)若4t ,求 a、b 的值,并指出此时抛物线的开口方向;(3)直接写出使该抛物线开口向下的t 的一个值2.如图 5,已知抛物线的对称cbxxy2轴为,点 A,B 均在抛物线上,且 AB 与 x 轴平行,2x其中点 A 的坐标为(0,3),则点 B 的坐标为()A(2,3)B(3,2)C(3,3)D(4,3)课时 15函数的综合应用【考点链接】AOPxy图 12-3-3OxyA图 5x=2B181点 A在函数的图像
17、上.则有 .oyx,0cbxaxy22.求函数与轴的交点横坐标,即令 ,解方程 ;bkxyx与 y 轴的交点纵坐标,即令 ,求 y 值3.求一次函数的图像 与二次函数的图像的交0knkxyl02acbxaxy点,解方程组 .4二次函数通过配方可得,cbxaxy2224()24bacbya xaa 当时,抛物线开口向 ,有最 (填“高”或“低”)点,当0a 时,有最 (“大”或“小”)值是 ;x y 当时,抛物线开口向 ,有最 (填“高”或“低”)点,当0a 时,有最 (“大”或“小”)值是 x y5.每件商品的利润 P=;商品的总利润 Q=.6.函数图像的移动规律:若把一次函数解析式写成 y=
18、k(x+0)+b、二次函数的解析式写成 y=a(x+h)2+k 的形式,则用下面后的口诀“左右平移在括号,上下平移在末稍,左正右负须牢记,上正下负错不了”。7.二次函数的图像特征与及的符号的确定.cbxaxy2cba,二次函数图像与性质口诀:二次函数抛物线,图象对称是关键;开口、顶点和交点,它们确定图象现;开口、大小由 a 断,c 与 Y 轴来相见,b 的符号较特别,符号与 a 相关联;顶点位置先找见,Y 轴作为参考线,左同右异中为 0,牢记心中莫混乱;顶点坐标最重要,一般式配方它就现,横标即为对称轴,纵标函数最值见。若求对称轴位置,符号反,一般、顶点、交点式,不同表达能互换。注意:当 x=1
19、 时,y=a+b+c;当 x=-1 时,y=a-b+c。若 a+b+c0,即 x=1 时,y0;若 a-b+c0,即 x=-1 时,y0。8函数的综合应用 利用一次函数图像解决求一次方程、一次不等式的解、比较大小等问题。利用二次函数图像、反比例函数图像解决求二次方程、分式方程、分式不等式的解、比较大小等问题。利用数形结合的思路,借助函数的图像和性质,形象直观的解决有关不等式最大(小)值、方程的解以及图形的位置关系等问题。利用转化的思想,通过一元二次方程根的判别式来解决抛物线与 x 轴交点的问题。通过几何图形和几何知识建立函数模型,提供设计方案或讨论方案的可行性。建立函数模型后,往往涉及方程、不
20、等式、相似等知识,最后必须检验与实际情况是否相符合。综合运用函数只是,把生活、生产、科技等方面的问题通过建立函数模型求解,涉及最值问题时,要想到运用二次函数。1.研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究,为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果:第一年的年产量为x(吨)时,所需的全部费用y(万元)与x满足关系式2159010yxx,投入市场后当年能全部售出,且在甲、乙两地每吨的售价p甲,19p乙(万元)均与x满足一次函数关系(注:年利润年销售额全部费用)(1)成果表明,在甲地生产并销售x吨时,11420px 甲,请你用含x的代数式表示甲地当年的年销售额,并求年利润w甲(万元)与x之间
21、的函数关系式;(2)成果表明,在乙地生产并销售x吨时,110pxn 乙(n为常数),且在乙地当年的最大年利润为 35 万元试确定n的值;(3)受资金、生产能力等多种因素的影响,某投资商计划第一年生产并销售该产品 18 吨,根据(1),(2)中的结果,请你通过计算帮他决策,选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润?参考公式:抛物线2(0)yaxbxc a的顶点坐标是2424bacbaa,2.某公司销售一种新型节能产品,现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售若只在国内销售,销售价格y(元/件)与月销量x(件)的函数关系式为y=x150,成本为 20 元/件,无论销售多少,每月还需支出广
22、告费 62500 元,设1001月利润为 w内(元)(利润=销售额成本广告费)若只在国外销售,销售价 格为 150 元/件,受各种不确定因素影响,成本为 a 元/件(a 为常数,10a40),当月销量为 x(件)时,每月还需缴纳x2 元的附加费,设月利润为 w外(元)(利润=销售额成本附加1001费)(1)当 x=1000 时,y=元/件,w内=元;(2)分别求出 w内,w外与 x 间的函数关系式(不必写 x 的取值范围);(3)当 x 为何值时,在国内销售的月利润最大?若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同,求 a 的值;(4)如果某月要将 5000 件产品全部销售完,请你
23、通过分析帮公司决策,选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大?参考公式:抛物线2(0)yaxbxc a的顶点坐标是24(,)24bacbaa第四章 统计与概率课时 16.统计【考点链接】1普查与抽样调查20 为一特定目的而对 考察对象作的全面调查叫普查,如普查人口;为一特定目的而对 考察对象作的抽样调查叫抽查,如抽查全市期末考试成绩。2.总体是指_,个体是指_,样本是指_,样本的个数叫做_3平均数的计算公式_;加权平均数公式_4.中位数是_ ;众数是_ _众数、中位数与平均数是从不同角度来描述一组数据的集中趋势。5极差是_,方差的计算公式_标准差的计算公式:_极差、方差和标准差都是用来衡量
24、一组数据的波动大小,方差(或标准差)越大,说明这组数据的波动 。6几种常见的统计图:条形统计图:用长方形的高来表示数据的图形。特点是:能够显示每组中的 ;易于比较数据之间的差别。折线统计图:用几条线段连接的折线来表示数据的图形。特点是:易于显示数据的 。扇形统计图:用一个圆代表总体,圆中的各个扇形分别代表 中的不同部分,扇形的大小反映部分在总体中所占 的大小,这样的统计图叫扇形统计图。百分比的意义:在扇形统计图中,每部分占总体的百分比等于该部分所对扇形的圆心角的度数与 的比。扇形的圆心角=360 。频数分布直方图:频数分布表、频数分布直方图和频数折线图都能直观、清楚的反映数据在各个小范围内的
25、;绘制步骤是:计算最大值与最小值的差;决定组距与组数,一般的分 512 组;确定分点,通常把第一组的起点小半个单位;列频数分布表;绘制频数分布直方图。练习题1某班学生理化生实验操作测试成绩的统计结果如下表:成绩/分345678910人数1122891512则这些学生成绩的众数为 2某种子培育基地用 A,B,C,D 四种型号的小麦种子共 2 000 粒进行发芽实验,从中选出发芽率高的种子进行推广通过实验得知,C 型号种子的发芽率为95,根据实验数据21绘制了图 10-1 和图 10-2 两幅尚不完整的统计图(1)D 型号种子的粒数是 ;(2)请你将图 10-2 的统计图补充完整;(3)通过计算说
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