-地图投影的变形.ppt
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1、二、地图投影的变形二、地图投影的变形(一)投影变形的性质(一)投影变形的性质 由于球面是一个不可直接展成平面的曲面,因此无由于球面是一个不可直接展成平面的曲面,因此无论采用什么投影方法,投影后经纬网的形状与球面上论采用什么投影方法,投影后经纬网的形状与球面上的经纬网形状不完全相似。这表明地图上的经纬网发的经纬网形状不完全相似。这表明地图上的经纬网发生了变形。因而根据地理坐标展绘在地图上的各种地生了变形。因而根据地理坐标展绘在地图上的各种地面事物也必然发生了变形。为了正确使用地图,必须面事物也必然发生了变形。为了正确使用地图,必须了解投影后产生的变形,了解投影后产生的变形,所以投影变形问题是地图
2、投所以投影变形问题是地图投影的重要组成部分。研究各种投影变形的大小和分布影的重要组成部分。研究各种投影变形的大小和分布规律,具有重大的实际应用价值。规律,具有重大的实际应用价值。.(二)变形椭圆 为更好地说明地图投影的变形特征,特引为更好地说明地图投影的变形特征,特引 入变形椭圆的概念。入变形椭圆的概念。变形椭圆变形椭圆取地面上一个微分圆(微分圆取地面上一个微分圆(微分圆的面积要足够小,小到可以忽视地球曲面的影的面积要足够小,小到可以忽视地球曲面的影响,即可将它作为平面看待),将这样一个微响,即可将它作为平面看待),将这样一个微分圆投影后变为椭圆,通过研究其在投影平面分圆投影后变为椭圆,通过研
3、究其在投影平面上的变化,作为地图投影变形的几何解释。上的变化,作为地图投影变形的几何解释。.设设o为球面上一点,以它为圆心的微小圆的半径是单位长度为球面上一点,以它为圆心的微小圆的半径是单位长度(为(为1),),M(x,y)是微小圆周上一点,圆心曲线方程为是微小圆周上一点,圆心曲线方程为x2+y2=1 o为为o的投影,以主方向作为坐标轴,的投影,以主方向作为坐标轴,M(x,y)是)是M(x,y)的投影,令主方向长度比为的投影,令主方向长度比为a和和b,则,则:x/x=a,y/y=b则则:x=x/a,y=y/b(x,y)为圆上一点,将其代如圆的方程,得为圆上一点,将其代如圆的方程,得(x/a)2
4、+(y/b)2=1 这是一个椭圆方这是一个椭圆方程,这表明该微小程,这表明该微小圆投影后为长半径圆投影后为长半径为为a短半径为短半径为b的的椭圆,这种椭圆可椭圆,这种椭圆可以用来表示投影后以用来表示投影后的变形,故叫做变的变形,故叫做变形椭圆形椭圆。MM.(三)投影变形的相关概念(三)投影变形的相关概念 1)长度比和长度变形 设地球球面上有一微小线段ds,投影到平面上为ds,如图所示。ds ds 平面上微小线段与球面上相应微小线段之比,叫做长度比。用公式表示为:=ds/ds 长度比是一个变量,它不仅随着点的位置不同而变化,还随着方向的变化而变化。长度比是指某点某方向上微小线段之比。.通常研究长
5、度比时,不一一研究各个方向的长度比,通常研究长度比时,不一一研究各个方向的长度比,而只研究一些特定方向的长度比,即而只研究一些特定方向的长度比,即研究最大长度比研究最大长度比(a a)和最小长度比()和最小长度比(b b),经线长度比(经线长度比(m m)和纬线长度比)和纬线长度比(n n)。投影后经纬线成直交者,经纬线长度比就是最大。投影后经纬线成直交者,经纬线长度比就是最大和最小长度比。投影后经纬线不直交,其夹角为和最小长度比。投影后经纬线不直交,其夹角为,则经纬则经纬线长度比线长度比 m m、n n和最大、最小长度比和最大、最小长度比a a、b b之间具有如下关之间具有如下关系:系:m
6、m2 2+n+n2 2=a=a2 2+b+b2 2mnsin=abmnsin=ab 用长度比可以说明长度变形。所谓用长度比可以说明长度变形。所谓长度变形就是长度长度变形就是长度比(比()与)与1 1之差,用之差,用v v表示长度变形则:表示长度变形则:v v=-1=-1 由此可知,长度变形有正负之分,长度变形为正,表由此可知,长度变形有正负之分,长度变形为正,表示投影后长度增加;长度变形为负表示投影后长度缩短;示投影后长度增加;长度变形为负表示投影后长度缩短;长度变形为零,则长度无变形。长度变形为零,则长度无变形。.2)主方向 由于投影要产生变形,所以球面上两条相互垂直的微小线段投影后一般不一
7、定正交,例如设o是球面上一点,过o作两条垂线ac和 bd,投影后为ac和bd。即地球面上角aob和角boc为直角,投影后分别为钝角aob和锐角boc。abcdaoobcd.设想ac、bd二垂线相对位置保持不变,并绕o点顺时针旋转,当旋转90度时,直角aob转到原来boc的位置,这时投影由原来的钝角转变成锐角;同样的,直角boc转到了cob的位置,它的投影由原来的锐角变为钝角。由此可见,一个直角在不同的位置下的投影有着不同的的大小,可以由锐角变为钝角,或者相反。那那么么在在变变化化的的过过程程中中,必必然然有有一一特特殊殊位位置置,直直角角投投影影后后仍仍保保持持直直交交,此此二二直交直线方向,
8、称之为直交直线方向,称之为主方向主方向主方向主方向。abcdaoobcd.在研究投影时,可借助变形椭圆与微小圆比较,来说明变形的性质和数量说明变形的性质和数量。椭圆半径与小圆半径之比,可以说明长度变形。很明显的看出长度变形是随方向的变化而变化,在长短半径方向上有极大和极小长度比a和b,而长短半径方向之间,长度比,为ba;椭圆面积与小圆面积之比,可以说明面积变形;椭圆上任意两条方向线的夹角与小圆上相应的两方向线夹角之差为角度变形。3)3)面积比与面积变形面积比与面积变形 投影平面上的微小面积与球面上相应微小面积之比,称为面积比。以投影面上变形椭圆的面积dF=ab,相应球面上微小圆的面积dF=12
9、为例,以P表示面积比,则:.P=dF/dF=ab/12=ab 上式说明面积比等于主方向长度比的乘积。若经纬线上式说明面积比等于主方向长度比的乘积。若经纬线方向就是主方向时:方向就是主方向时:P=mn 若经纬线方向不是主方向时,则面积比若经纬线方向不是主方向时,则面积比:P=mnsin(为投影后经纬线夹角为投影后经纬线夹角)面积比是个变量,它随点位置不同而变化。面积比是个变量,它随点位置不同而变化。面积变形就面积变形就是面积比与是面积比与1之差之差,以,以Vp表示。表示。Vp=p-1 面积变形有正有负,面积变形为零,表示投影后面面积变形有正有负,面积变形为零,表示投影后面积无变形,面积变形为正,
10、表示投影后面积增加;面积积无变形,面积变形为正,表示投影后面积增加;面积变形为负,表示投影后面积缩小。变形为负,表示投影后面积缩小。.4)角度变形 投影面上任意两方向线所夹角与球面上相应两方向线夹角之差,称为角度变形。过一点可以做许多方向线,每两条方向线均可以组成一个角度,这些角度投影到平面上之后,往往与原来的大小不一样,而且不同的方向线组成的角度产生的变形一般也不一样。公式验证:见教材。.5)等变形线 在各种投影图上,都存在着误差或变形。并且各不同在各种投影图上,都存在着误差或变形。并且各不同点的变形数量常常是不一样的,为了便于观察和了解绘制点的变形数量常常是不一样的,为了便于观察和了解绘制
11、区域变形的分布。常用等变形线来表示制图区域的变形分区域变形的分布。常用等变形线来表示制图区域的变形分布特征。布特征。等变形线就是变形值相等的各点的连线,等变形线就是变形值相等的各点的连线,它是根它是根据计算的各种变形的数值(如据计算的各种变形的数值(如p,wp,w)绘于经纬线网格内的,)绘于经纬线网格内的,如面积等变形线。如面积等变形线。等变形线在不同的投影等变形线在不同的投影图上,具有不同的形状,图上,具有不同的形状,在方位投影中,因投影中在方位投影中,因投影中心点无变形,从投影中心心点无变形,从投影中心向外变形逐渐增大,等变向外变形逐渐增大,等变形线成同心圆状分布。形线成同心圆状分布。等变
12、形线通常是用点虚等变形线通常是用点虚线来表示的。线来表示的。.地图投影的方法地图投影的方法 1.几何投影(透视投影)假想地球是一个透明体,光源位于球心,然后把球面上的经纬网投影到平面上,就得到一张球面经纬网投影。所不同的是,地图投影面除了平面之外,还有可展成平面的圆柱面和圆锥面;光源除了位于球心之外,还可以在球面、球外,或无穷远处等。象象这样利用光源把地球面上的经纬网投影到平面上的方法叫做几何这样利用光源把地球面上的经纬网投影到平面上的方法叫做几何投影或者几何透视法。投影或者几何透视法。这是人们最早用来解决地球球面和地图平面这一对矛盾的一种方法。.当视点(光源)位于地球球心时,即视点距投影面距
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