空间直线和平面总结-知识结构图-例题.doc
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1、空间直线和平面知识串讲空间直线和平面:(一)知识结构(二)平行与垂直关系的论证 1、线线、线面、面面平行关系的转化: 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化: 3. 平行与垂直关系的转化: 4. 应用以上“转化”的基本思路“由求证想判定,由已知想性质。” 5. 唯一性结论: (三)空间中的角与距离 1. 三类角的定义: (1)异面直线所成的角:090 (2)直线与平面所成的角:090 (3)二面角:二面角的平面角,0180 2. 三类角的求法:转化为平面角“一找、二作、三算”即:(1)找出或作出有关的角; (2)证明其符合定义; (3)指出所求作的角; (4)计算大小。 3. 空间距离:将空间距
2、离转化为两点间距离构造三角形,解三角形,求该线段的长。 4. 点到面的距离,线线间距离、线面间距离、面面间距离都可转化为点到面的距离。常用方法:三垂线法、垂面法、体积法、向量法等。【典型例题】 例. 在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,M、N分别是A1B1和BB1的中点,那么AM与CM所成角的余弦值为( ) 分析:如图,取AB中点E,CC1中点F 连结B1E、B1F、EF 则B1E/AM,B1F/NC EB1F为AM与CN所成的角 又棱长为1 选D 例3. 其中正确的两个命题是( ) A. 与B. 与C. 与D. 与 分析: 错 错 正确,选D 例4. 如图,在四棱锥PABCD中,底
3、面ABCD是正方形,侧棱PD底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EFPB交PB于点F。(1)证明PA/面EDB。(2)PB平面EFD。证:(1)连AC,AC交BD于O,连EO 底面ABCD是正方形 点O是AC中点 又E为PC中点 EO/PA PA/面EDB (2)PD底面ABCD BCPD BC面PDCBCDE 又E为等直角三角形中点 DE面PBCDEPB PB面DEF 例5. 正三棱柱ABCA1B1C1中,AB1BC1,求证:A1CBC1。 证明:设E、E1分别是BC、B1C1的中点,连AE,A1E1,B1E,E1C 注:三垂线定理是证明两直线异面垂直的常用手段。 例6. 下列正方体
4、中,l是一条体对角线,M、N、P分别为其所在棱的中点,如何证明l面MNP。 分析: 如图,取棱A1A、DC、B1C1的中点,分别记为E、F、G,显然EMFNGP为平面图形,而D1B与该平面垂直l面MNP例7. ACB=90,侧棱与底面成60的角。 分析: 证明: 又ACB=90,即ACBC D为AC中点 例8. 已知RtABC中,C=90,AC=8,BC=6,D、E分别是AB、AC的中点,沿DE将ABC折成直二面角,使A到A的位置(如图)。求: (1)C到AD的距离; (2)D到平面ABC的距离; (3)AD与平面ABC所成角的正弦值。 解:(1)二面角ADEB是直二面角 又AEED,CEED
5、 ED面AEC及EC面AED 作EFAD于F,连结CF,则CFAD CF即为C点到直线AD的距离 在RtAED中,EFAD=AEED DE/面ABC E到面ABC的距离即为D点到平面ABC的距离 过E作EMAC于M ED面AEC 又BC/ED BC面AEC BCEM EM面ABC 或者用体积法: 例9. (1)证明: (2)解: 又取BC中点N,连结NF 【模拟试题】一. 选择题 1. 一条直线若同时平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线( ) A. 成异面直线B. 相交C. 平行D. 平行或相交 2. 已知直线a,b,平面,有下列四个命题 ; ; 其中正确的命题有( ) A. B.
6、 C. D. 以上都不对 3. 边长为a的正三角形ABC中,ADBC于D,沿AD折成二面角BADC后,这时二面角BADC的大小为( ) A. 30B. 45C. 60D. 90 4. 设a,b是两条异面直线,P是a,b外的一点,则下列结论正确的是( ) A. 过P有一条直线和a,b都平行 B. 过P有一条直线和a,b都相交 C. 过P有一条直线和a,b都垂直 D. 过P有一个平面与a,b都平行 5. 若a,b是异面直线,点A、B在直线a上,点C、D在直线b上,且AD=AC,BD=BC,则直线a,b所成的角为( ) A. 90B. 60C. 45D. 30二. 填空题 6. 设正方体的棱长为1,
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