线性代数-矩阵第二章精.ppt
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1、第二章 矩阵1矩阵的概念;矩阵的概念;2矩阵的代数运算;矩阵的代数运算;3矩阵的初等变换;矩阵的初等变换;4矩阵的求逆运算;矩阵的求逆运算;5分块矩阵。分块矩阵。1.一一.矩阵的概念矩阵的概念1.矩阵的定义矩阵的定义 方程组方程组系数排成一个矩形数表系数排成一个矩形数表2.这就是这就是矩阵矩阵由由m n个数按一定的个数按一定的次序排成的次序排成的m行行n列的列的矩形数表称为矩形数表称为m n矩矩阵阵,简称简称矩阵矩阵.横的各排称为矩阵的横的各排称为矩阵的行行,竖的各排称为矩阵的竖的各排称为矩阵的列列称为矩阵的第称为矩阵的第i行行j列的列的元素元素.元素为实数的称为元素为实数的称为实矩实矩阵阵,
2、我们只讨论实矩阵我们只讨论实矩阵.3.矩阵通常用大写字母矩阵通常用大写字母A、B、C等表示,例如等表示,例如简记为简记为行矩阵行矩阵列矩阵列矩阵脚标脚标4.当当m=n时,即矩阵的行数与列数相同时时,即矩阵的行数与列数相同时,称矩阵为称矩阵为方阵方阵。称为称为对角线元素对角线元素5.几种特殊形式的矩阵几种特殊形式的矩阵6.7.二二.矩阵的代数运算矩阵的代数运算一、线性运算一、线性运算1.相等相等:两个矩阵相等是指这两个矩阵有相同两个矩阵相等是指这两个矩阵有相同 的行数与列数的行数与列数,且对应元素相等且对应元素相等.即即=型号相同型号相同对应元素相等对应元素相等8.2.加、减法加、减法设设同型同
3、型矩阵为矩阵为与定义定义显然显然 A+B=B+A (A+B)+C=A+(B+C)A+O=O+A=A A-A=O负矩阵负矩阵的负矩阵为的负矩阵为记作记作-A,即即9.3.数乘数乘称为数与矩阵的乘法,简称为称为数与矩阵的乘法,简称为数乘数乘。记作:。记作:kA10.二、二、矩阵的乘法矩阵的乘法与与11.一般地,有一般地,有=12.与13.则14.=O显然显然这正是这正是矩阵与矩阵与数的不同数的不同15.但是但是这又是这又是矩阵与矩阵与数的不同数的不同请记住:请记住:1.矩阵乘法不满足交换律;矩阵乘法不满足交换律;2.不满足消去律;不满足消去律;3.有非零的零因子。有非零的零因子。16.请特别注意请
4、特别注意性质性质5,如果如果不是同阶方不是同阶方阵结果不成阵结果不成立立.不成立不成立!课本课本P39:例例2.317.三、方阵的正整数幂三、方阵的正整数幂k个个定义n阶方阵的k次幂为:显然规定注意注意成立的充要条件是什么成立的充要条件是什么?例:例:AB=BA18.四、矩阵的转置四、矩阵的转置请记牢请记牢!方阵方阵A的多项式的多项式例例课本课本P40:例例2.419.也就是也就是=20.对称阵与反对称阵对称阵与反对称阵对任一方阵A,我们有21.证明证明:所以所以C为对称矩阵为对称矩阵.所以所以B为反对称矩阵为反对称矩阵.命题得证命题得证.例:P42:例2.5 证明任一 阶矩阵 都可表示成 对
5、称阵与反对称阵之和.22.矩矩阵阵运运算算加法加法数与矩阵相乘数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘矩阵的转置矩阵的转置小 结2.只有当第一个矩阵的只有当第一个矩阵的列数列数等于第二个矩阵的等于第二个矩阵的行数行数时,时,两个矩阵才能两个矩阵才能相乘相乘,且矩阵相乘且矩阵相乘不满足不满足交换律、消去律交换律、消去律.1.只有当两个矩阵是只有当两个矩阵是同型同型矩阵时,才能进行矩阵时,才能进行加法加法运算运算.3.矩阵的矩阵的数乘数乘运算与行列式的数乘运算不同运算与行列式的数乘运算不同.注意注意:课后作业课后作业P58:2-1;2-2.1)2)3)7);2-4;2-6;2-7;2-8;P64:
6、2-51.1)23.倍乘变换三三.矩阵的初等变换矩阵的初等变换以下三种变换分别称为矩阵的以下三种变换分别称为矩阵的初等行(列)变换初等行(列)变换:对调变换倍加变换矩阵的初等行变换与初等列变换矩阵的初等行变换与初等列变换统称为统称为初等变换初等变换。24.行阶梯形:行阶梯形:每行首个非零元素的下方全是零每行首个非零元素的下方全是零化简矩阵而保持其等价性。化简矩阵而保持其等价性。主要作用:主要作用:矩阵的初等变换是线性代数中一个矩阵的初等变换是线性代数中一个重要的工具重要的工具.0主要过程:主要过程:利用初等行变换将矩阵化为利用初等行变换将矩阵化为行阶梯形行阶梯形。25.利用利用初等行变换初等行
7、变换将矩阵将矩阵A化为化为行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵。例例1:26.利用初等行变换将矩阵化为利用初等行变换将矩阵化为行最简形行最简形。行最简形:行最简形:每行首个非零元素为每行首个非零元素为1,且这些且这些1所在列的其他元素都是零所在列的其他元素都是零00 00 00 00 00 00 027.利用利用初等行变换初等行变换将矩阵化为将矩阵化为行最简形矩阵行最简形矩阵。例例2:28.矩阵的等价矩阵的等价定义定义:对矩阵对矩阵A实行有限次初等变换得到矩阵实行有限次初等变换得到矩阵B,则称则称矩阵矩阵A与与B等价等价,记作,记作 A B.性质性质:等价矩阵具有等价矩阵具有自反性、对称性、传递性自反性、
8、对称性、传递性。A的等价标准形的等价标准形定理:定理:任何一个矩阵都任何一个矩阵都有等价标准形。有等价标准形。矩阵矩阵A的秩的秩29.如例如例1中:中:推论推论:矩阵矩阵 A与与 B 等价的等价的充要条件充要条件是是A与与 B 有相同的标准形。有相同的标准形。30.矩阵的秩矩阵的秩一般地:2.秩的定义秩的定义:矩阵矩阵 A 的所有的所有不等于零的子式的最高阶数不等于零的子式的最高阶数 称为矩阵称为矩阵 A 的秩的秩.记作记作 r(A).显然显然 r(O)=0;只要只要A不是零阵不是零阵,就有就有 r(A)0.并且并且:31.例例3解解32.例例4 4解解计算计算A的的3阶子式,阶子式,33.例
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