三级火箭发射卫星数学模型.ppt
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1、数学建模数学建模第六讲第六讲 运载火箭发射卫星数学模型运载火箭发射卫星数学模型 火火箭箭是是一一个个复复杂杂的的系系统统,为为了了使使问问题题简简单单明明了了,我我们们只只从从动动力力系系统统和和整整体体结结构构上上分分析析,并并且且总总假假设设火火箭箭的的推推动动力力是是足足够够强强大大的。的。一、为什么不能用一级火箭发一、为什么不能用一级火箭发射人造卫星射人造卫星 二、理想火箭模型二、理想火箭模型 三、多级火箭系统三、多级火箭系统 1)模型假设模型假设 1.1 1.1 卫星轨道是以地球中心为圆心的某个平面上的圆卫星轨道是以地球中心为圆心的某个平面上的圆周,卫星在此轨道上以地球引力作为向心力
2、绕地球作平面周,卫星在此轨道上以地球引力作为向心力绕地球作平面匀速圆周运动;匀速圆周运动;1.2 1.2 地球是固定于空间中的一个均匀球体,其质量集地球是固定于空间中的一个均匀球体,其质量集中于球心;中于球心;1.3 1.3 其它星球对卫星的引力忽略不计。其它星球对卫星的引力忽略不计。1.1.卫星能进入卫星能进入600km600km高空轨道高空轨道,火箭必须的最低速度火箭必须的最低速度.一、为什么不能用一级火箭发射人造卫星一、为什么不能用一级火箭发射人造卫星 设地球半径为设地球半径为R,中心中心为为O,质量为,质量为M,曲线,曲线C表示表示地球表面,地球表面,C表示卫星轨道,表示卫星轨道,C的
3、半径为的半径为r,卫星的质量为,卫星的质量为m。rCOCR 1.1.卫星能进入卫星能进入600km600km高空轨道高空轨道,火箭必须的最低速度火箭必须的最低速度.一、为什么不能用一级火箭发射人造卫星一、为什么不能用一级火箭发射人造卫星 如果把卫星放在地球表面,则由(如果把卫星放在地球表面,则由(1 1)式,得)式,得 2 2)建模与求解)建模与求解 根据假设根据假设1.21.2、1.31.3,卫星只受地球引力,由牛顿万,卫星只受地球引力,由牛顿万有引力定律可知其引力大小为有引力定律可知其引力大小为(1)2.2.火箭推进力及升空速度火箭推进力及升空速度 火箭的简单模型是由一台发动机火箭的简单模
4、型是由一台发动机和一个燃料仓组成。燃料燃烧产生大和一个燃料仓组成。燃料燃烧产生大量气体从火箭末端喷出,给火箭一个量气体从火箭末端喷出,给火箭一个向前的推力。火箭飞行要受地球引力、向前的推力。火箭飞行要受地球引力、空气阻力、地球自转与公转等的影响,空气阻力、地球自转与公转等的影响,使火箭升空后作曲线运动。使火箭升空后作曲线运动。1.1.卫星能进入卫星能进入600km600km高空轨道高空轨道,火箭必须的最低速度火箭必须的最低速度.一、为什么不能用一级火箭发射人造卫星一、为什么不能用一级火箭发射人造卫星 1 1)模型假设)模型假设 为使问题简化,假设:为使问题简化,假设:2.1 2.1 火箭在喷气
5、推动下作直线运动,火箭在喷气推动下作直线运动,火箭所受的重力和空气阻力忽略不计;火箭所受的重力和空气阻力忽略不计;2.2 2.2 在在t t时刻火箭质量为时刻火箭质量为m(t),速度为,速度为v(t),且均为时间,且均为时间t t的连续可微函数;的连续可微函数;2.3 2.3 从火箭末端喷出气体相对火箭本从火箭末端喷出气体相对火箭本身的速度身的速度u为常数为常数,即气体相对于地球的速即气体相对于地球的速度为度为v(t)-uuv 2 2)建模与分析)建模与分析 由于火箭在运动过程中不断喷出气体,使其质量不由于火箭在运动过程中不断喷出气体,使其质量不断减少,在断减少,在t,t+t 内的减少量可由微
6、分公式表示为内的减少量可由微分公式表示为即即 因为喷出气体相对地球的速度为因为喷出气体相对地球的速度为v(t)-u,则由动量守恒,则由动量守恒定律有定律有(1)表表明明火火箭箭所所受受推推力力等等于于燃燃料料消消耗耗速速度度与与喷喷气气速速度度(相相对火箭对火箭)的乘积。的乘积。表表明明,在在一一定定的的条条件件下下,火火箭箭升升空空速速度度由由喷喷气气速速度度(相相对对火火箭箭)及及质质量量比比决决定定。这这为为提提高高火火箭箭速速度度找找到到了了正正确确途途径径:尽尽可可能能提提高高火火箭箭燃燃烧烧室室产产生生的的气气体体喷喷出出的的速速度度,这这需需要要从从燃燃料料上上想想办办法法;尽尽
7、可可能能减减少少在在时时刻刻火火箭箭的的质质量,这要从结构上想办法。量,这要从结构上想办法。3.3.一级火箭末速度上限一级火箭末速度上限 火火 箭箭 卫卫星星系系统统的的质质量量可可分分为为三三部部分分:净净载载质质量量(有有效效负负载载,如如卫卫星星)mp,,燃燃料料质质量量 mF ,结结构构质质量量(如如 外外壳壳、燃燃料料容容器器及及推推进进器器)mS。一一级级火火箭箭末末速速度度上上限限主主要是受目前技术条件的限制。要是受目前技术条件的限制。1)1)模型假设模型假设 3.1 3.1 一般来说,结构质量一般来说,结构质量mS在在mS+mF中占有一定的中占有一定的比例,在现有技术条件下,要
8、使燃料与发动机的质量和小比例,在现有技术条件下,要使燃料与发动机的质量和小于所载燃料的于所载燃料的1/91/9是很难做到的。是很难做到的。目前技术条件下不妨设目前技术条件下不妨设相对火箭的喷气速度相对火箭的喷气速度u=3km/s.3.2 3.2 初速度初速度v0忽略不计,即忽略不计,即v0=0.=0.2)建模与求解建模与求解 因因为为升升空空火火箭箭的的最最终终(燃燃料料已已耗耗尽尽)质质量量为为mp+ms。然然后后将将燃燃料料仓仓和和发发动动机机丢丢弃弃,只只剩剩下下净净载载体体,由由式式(1)(1)及及假假设设3.23.2得到其末速度为得到其末速度为 令令 ,代入上式代入上式,得,得 由此
9、可见,对于给定由此可见,对于给定u值,当有效负荷值,当有效负荷mp=0时,火箭时,火箭末速度达到最大,即火箭末速度上限的数学模型末速度达到最大,即火箭末速度上限的数学模型(2)(3)(3)而卫星能进入而卫星能进入 600km 600km 高空轨道高空轨道,火箭末速度最低为火箭末速度最低为 7.67.6km/s.即即便便忽忽略略空空气气阻阻力力、重重力力、不不携携带带任任何何东东西西的的情情况况下下,火火箭箭末末速速度度最最大大才才 6 6.6 6km/s。因因此此,用用一一级级火火箭箭发发射射卫卫星星,在在目目前前技技术术条条件件下下无无法法达达到到在在相相应应高高度度所所需需的的速速度,也就
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