大学--数学专业--空间解析几何--第一章--向量代数.ppt
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1、高等院校本科数学课程 空间解析几何 大 学 数 学(一一)第一讲第一讲第一讲第一讲 向量向量的加法向量向量的加法向量向量的加法向量向量的加法数量乘向量数量乘向量数量乘向量数量乘向量脚本编写:教案制作:月黑雁飞高,单于夜遁逃。欲将轻骑逐,大雪满弓刀。塞下曲唐卢纶北方大雪时,群雁早南归。月黑天高处,怎得见雁飞。教是为了不教,学然后会自学.学会思考学会思考尝试研究性的学习方法:尝试研究性的学习方法:提出问题、研究问题、解决问题提出问题、研究问题、解决问题注重持续性学习:注重持续性学习:有计划地安排学习有计划地安排学习借鉴周围同学的学习方法借鉴周围同学的学习方法学习遇到困难怎么办?学习遇到困难怎么办?
2、定义定义1.1.1 既有大小又有方向的量叫做既有大小又有方向的量叫做向量向量,或称或称矢量矢量.向量向量(矢量矢量)既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量.向量的几何表示:向量的几何表示:1.11.1 向量的概念向量的概念|向量的模长:向量的模长:向量的大小向量的大小.或或或或两类量两类量:数量数量(标量标量):可用一个数值来描述的可用一个数值来描述的量量;有向线段有向线段有向线段的方向表示有向线段的方向表示矢矢量的方向量的方向.有向线段的长度表示有向线段的长度表示矢矢量的大小量的大小,模长为1的向量称为单位向量.模长为0的向量称为零向量,它的方向可以看作是任意的.特别特别:|向量的模长:向
3、量的模长:向量的大小向量的大小.或或非负性3.自由向量自由向量自自由由向向量量:只有大小、方向,而无特定起点的向量.具有在空间中可以任意平移的性质.定义定义1.1.21.1.2 如果两个向量的模长相等且方向如果两个向量的模长相等且方向相同,那么叫做相同,那么叫做相等向量相等向量.记为记为所有的零矢量都相等所有的零矢量都相等.定义定义1.1.31.1.3 两个模长相等,方向相反的矢量两个模长相等,方向相反的矢量叫做互为叫做互为反向量反向量.定义定义1.1.21.1.2 如果两个向量的模长相等且方向如果两个向量的模长相等且方向相同,那么叫做相同,那么叫做相等向量相等向量.记为记为零矢量与任何共线的
4、矢量组共线零矢量与任何共线的矢量组共线.定义定义1.1.41.1.4 平行于同一直线的一组矢量平行于同一直线的一组矢量叫做叫做共线矢量共线矢量.定义定义1.1.5 1.1.5 平行于同一平面的一组矢量平行于同一平面的一组矢量叫做叫做共面矢量共面矢量.零矢量与任何共面的矢量组共面零矢量与任何共面的矢量组共面.1.21.2、向量的加法、向量的加法OAB这种求两个向量和的方法叫这种求两个向量和的方法叫三角形法则三角形法则.三角不等式OABC这种求两个向量和的方法叫做平行四边形法则定理1.2.2 向量的加法满足下面的运算规律:(1 1)交换律:)交换律:(2)定理定理1.2.11.2.1 如果把两个向
5、量如果把两个向量 为邻边为邻边组成一个平行四边形组成一个平行四边形OACB,那么对角线向量,那么对角线向量 (3 3)结合律:)结合律:定理1.2.2 向量的加法满足下面的运算规律:(1 1)交换律:)交换律:(2)OA1A2A3A4An-1An 这种求和的方法叫做多边形法则.OAB三角不等式向量减法向量减法三角不等式(a)平行四边形法则平行四边形法则.将 之一平移,使起点重合,作以 为邻边的平行四边形,对角线向量,为 (b)三角形)三角形法则法则.将 之一平移,使起点重合,由 的终点向 的终点作一向量,即为 ABC例例2 2 试用向量方法证明:对角线互相平分的试用向量方法证明:对角线互相平分
6、的四边形必是平行四边形四边形必是平行四边形.证证与与 平行且相等平行且相等,结论得证结论得证.同理可得,同理可得,平行且相等平行且相等,1.3 1.3 数量乘向量数量乘向量按照向量与数的乘积的规定,按照向量与数的乘积的规定,上式表明:一个非零向量除以它的模长的上式表明:一个非零向量除以它的模长的结果是一个与原向量同方向的单位向量结果是一个与原向量同方向的单位向量.两个向量的平行关系两个向量的平行关系定理定理1.3.1 数与向量的乘积符合下列运算规律:数与向量的乘积符合下列运算规律:(1 1)结合律:)结合律:(2 2)第一分配律:)第一分配律:定理定理1.3.1 数与向量的乘积符合下列运算规律
7、:数与向量的乘积符合下列运算规律:(1 1)结合律:)结合律:(2 2)第一分配律:)第一分配律:(3 3)第二分配律:)第二分配律:简要证明:时,例例1 证明证明:例例1.设设P,Q分别是分别是 ABC的的BC,AC边的中点边的中点,AP与与BQ交于点交于点M.证明证明:A AB BC CMMAM=AP.2 23 3P PQ QA AB BC CS ST T由条件可知由条件可知:BC=2BP,AC=2AQ.往证点往证点S与点与点T重合重合,即即AS=AT.P PQ Q设设AS=AP,BT=BQ,2 23 32 23 3例1 设 是 的中线,求证:例2 用向量法证明:联结三角形两边中点的线段平
8、行与第三边且等于第三边的一半.作业 P 951.(1)(2)4.2.(1)(2)3.高等院校本科数学课程 空间解析几何 大 学 数 学(一一)第二讲第二讲第二讲第二讲 向量的线性关系与向量的分解向量的线性关系与向量的分解向量的线性关系与向量的分解向量的线性关系与向量的分解 脚本编写:教案制作:1.4 1.4 向量的线性关系与向量的分解向量的线性关系与向量的分解平行四边形法则 例例1 证明四面体对边中点的连线交于一点,且互相平分.ABCDEFP1e1e2e3连接连接AF,因为,因为AP1是是AEF AEF 的中线,所以有的中线,所以有又因为又因为AF是是ACD ACD 的中线,所以又有的中线,所
9、以又有BCDEFP1e1e2e3A例例3 3 试用向量方法证明:空间四边形相邻各试用向量方法证明:空间四边形相邻各边中点的连线构成平行四边形边中点的连线构成平行四边形.证证:只要证只要证 EFGH例3 设试证三点共线的充要条件是存在不全为零的实数使得且作业 P956.7.10.12.高等院校本科数学课程 空间解析几何 大 学 数 学(一一)第三讲第三讲第三讲第三讲 标架与坐标标架与坐标标架与坐标标架与坐标 向量在轴上的射影向量在轴上的射影向量在轴上的射影向量在轴上的射影 脚本编写:教案制作:1.5 标架与坐标横轴横轴纵轴纵轴竖轴竖轴定点定点空间直角坐标系空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向三个坐
10、标轴的正方向符合符合右手系右手系.面面面面面面空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限空间的点空间的点有序数组有序数组特殊点的表示特殊点的表示:坐标轴上的点坐标轴上的点坐标面上的点坐标面上的点二、点的直角坐标二、点的直角坐标 (称为称为点点 M 的坐标的坐标)xyz坐标轴坐标轴 :坐标面坐标面:在各卦限中点的坐标的符号在各卦限中点的坐标的符号?二、空间两点间的距离二、空间两点间的距离 因为|M1M2|2=|M1Q|2+|M2Q|2=|M1P|2+|PQ|2+|M2Q|2,M1所以|M2Q|=|z2z1|。|PQ|=|y2y1|,设M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)为
11、空间两点,求两点间的距离d。|M1P|=|x2x1|,作一个以 M1和 M2 为对角线顶点的长方体,使其三个相邻的面分别平行于三个坐标面。O x y z M2x2x1 y1 y2PQz1z2注意:称为向量称为向量 的的坐标分解式坐标分解式.xyz显然,显然,向量的坐标向量的坐标:向径:向径:在三个坐标轴上的在三个坐标轴上的分向量分向量:M(x,y,z)起点在坐标原点的向量起点在坐标原点的向量.(3).运算性质设 a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),则 a b=(ax bx,ay by,az bz)证明:a+b=(ax i+ay j+az k)+(bxi+by j+bz k)=(
12、ax i+bxi)+(ay j+by j)+(az k+bz k)=(ax+bx)i+(ay+by)j+(az+bz)k a+b=(ax+bx,ay+by,az+bz)四、利用坐标作向量的线性运算向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式特殊地:特殊地:定义定义 称称 是向量是向量 在仿射在仿射坐标系坐标系 下的下的坐标坐标.(4)两向量平行的充要条件.设非零向量 a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),因此ax=bx,ay=by,az=bz,于是注:在(*)式中,规定若某个分母为零相应的分子也为零.a/b(*)a/b a=b则(为常数
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