高等数学电子版.doc
《高等数学电子版.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高等数学电子版.doc(17页珍藏版)》请在咨信网上搜索。
1、第一章极限与连续第一节 数列的极限一、数列极限的概念按照某一法则,对于每一个,对应一个确定的实数,将这些实数按下标从小到大排列,得到一个序列 称为数列,简记为数列,称为数列的一般项。例如: 一般项分别为,数列可看成自变量取正整数的函数,即,设数列,来说明数列以1为极限。为使,只需要,即从101项以后各项都满足,为使,只需要,即从100001项以后各项都满足,为使(是任意给定的小正数),只需要,即当以后,各项都满足。令,当时,因此有,即任意给定小正数,总存在正整数,当时的一切都满足,则定义:设为一数列,如果存在常数,对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正整数,使得当时的一切都满足不等式 则
2、说常数是数列的极限,或者说数列收敛于,记为 或 如果不存在这样的常数,则说数列没有极限,或者说数列发散。数列以为极限的几何意义:任意给定的正数,总存在正整数,当时的一切,有 即 或 也就是当的一切都落在的邻域内,在的外边至多有项(图) 例1 证明数列 的极限为1。证明:分析:为使,只需要,或,即证明:任意给定小正数,取,当时的一切满足 因此,例2 已知,证明数列的极限是0。分析:为使,只需要,由于,故时,即 ,或时。证明:任意给定小正数,取,当时的一切满足 因此,例3 设,证明等比数列 的极限是0。证明:任给(设),由于 为使,只需 ,解得 ,或。故取,当时,有因此,。二、收敛数列的性质定理1
3、(极限的唯一性)如果数列收敛,则它的极限是唯一的。证明:反证法:如果,不妨设。取。由于,存在,当时, ;又由于,存在,当时, 。取,则当时,由得,由得,矛盾,故必须。例4 证明数列()是发散的。对于数列,如果存在正数,使得对于一切,有,则说数列是有界的;否则,则说数列是无界的。定理2(收敛数列的有界性)如果数列有极限,则数列一定有界。证明:注意到,可证明定理2。定理3(收敛数列的保号性)如果,且(或),则存在正整数,当时的一切,有(或)。证明:取即可证明定理。推论 如果数列从某项起有(或),且,则(或)。对于数列,从中抽取 ,称为数列的一个子数列。定理4 如果数列收敛于,则数列的任何子数列都收
4、敛,且收敛于。第二节 函数的极限一、函数极限的定义1自变量趋向于无穷大时函数的极限数列是特殊的函数,如,且时,考虑函数,是否有时,?任意给定小正数,为使,只要,即。由于,即即可。任给,存在正数,当时,对应的函数值满足 即当时,以1为极限。定义1设函数当大于某一正数时有定义。如果存在常数,对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正数,使得满足不等式时,对应函数值满足 则说常数为函数当时的极限,记为 或 (当):,当时,。例1 证明 。分析:为使,只要,即,或。证明:,当时,因此。 的几何解释:,当时,即 或 如图所示:如果,当时,则说时,记为;如果,当时,则说时,记为显然,例如:,有,。2自变
5、量趋向于有限值时函数的极限例1,时,;例2:,定义域为,但时,;任意给定小正数,为使,只要,即即可。任意给定小正数,为使只要,即即可。定义2 设函数在点的某一去心邻域内有定义。如果存在常数,对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正数,使得满足不等式时,对应函数值满足 则说常数为函数当时的极限,记为 或 (当):,当时,。例2 证明 。分析:为使 ,只要,即。证明:,取,当时,对应函数值满足因此,。 的几何解释:,当时,即 或 即 时,如图所示:如果,当时,则说从的右侧趋向于(记为)时,记为,或;如果,当时,则说从的左侧趋向于(记为)时,记为,或;显然,例3 设函数 当时,的极限不存在。例4
6、 证明 例5 证明 例6 证明 例7 证明 二、函数极限的性质定理1 (函数极限的唯一性)如果存在,则极限是唯一的。定理2 (函数极限的局部有界性)如果,则存在正数和,使得当时,有。证明: 定理3 (函数极限的局部保号性)如果,且(或),则存在常数,使得当时,有(或)。推论 如果在的某去心邻域内,(或),且,则(或)。定理4 (函数极限与数列极限的关系)如果极限,为函数定义域内一收敛的数列,且(),则对应的函数值数列也收敛,且。证明:由于,则,当时,有;又由于,故对于上面的,当时,有,当然有;因此,当时,有,故,即。第三节 无穷小与无穷大一、无穷小定义1 如果函数当(或)时的极限为零,则函数称
7、为当(或)时的无穷小。例如:,因此为时的无穷小;,因此为时的无穷小。为时的无穷小,当时,;为时的无穷小,当时,;定理1 在自变量的同一变化过程(或)中,函数以为极限的充分必要条件是,其中是无穷小。证明:必要性:设,则,当时,。令,则是时的无穷小,且。充分性:设,其中为常数,是时的无穷小。于是,当时,即,因此,为当时的极限,或。二、无穷大如果当(或)时,对应的函数值的绝对值无限增大,则称函数为(或)时的无穷大。定义2 设函数在的某一去心邻域内有定义(或大于某一正数时有定义)如果对于任意给定的正数(不论它多么大),总存在正数(或正数),当满足(或)时,对应函数值满足 则说函数为(或)时的无穷大。如
8、果函数为(或)时的无穷大,也可记为 (或)例如:为时的无穷大;为时的无穷大。:,当时,;:,当时,。如果,则直线是函数的图形的铅直渐近线;如果,则直线是函数的图形的水平渐近线。 定理2 在自变量的同一变化过程中,如果为无穷大,则为无穷小;反之,如果为无穷小,且,则为无穷大。第四节 极限运算法则定理1 有限个无穷小的和也是无穷小。证明:以两个无穷小的和为例:设及是时的两个无穷小,令。由于是时无穷小:,当时,;又由于是时无穷小:对于,当时,;取,则当时,与都成立,故与同时满足,因此 即为时的无穷小。定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小。推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小。推论2 有限个无穷小的乘
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高等数学 电子版
1、咨信平台为文档C2C交易模式,即用户上传的文档直接被用户下载,收益归上传人(含作者)所有;本站仅是提供信息存储空间和展示预览,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容不做任何修改或编辑。所展示的作品文档包括内容和图片全部来源于网络用户和作者上传投稿,我们不确定上传用户享有完全著作权,根据《信息网络传播权保护条例》,如果侵犯了您的版权、权益或隐私,请联系我们,核实后会尽快下架及时删除,并可随时和客服了解处理情况,尊重保护知识产权我们共同努力。
2、文档的总页数、文档格式和文档大小以系统显示为准(内容中显示的页数不一定正确),网站客服只以系统显示的页数、文件格式、文档大小作为仲裁依据,平台无法对文档的真实性、完整性、权威性、准确性、专业性及其观点立场做任何保证或承诺,下载前须认真查看,确认无误后再购买,务必慎重购买;若有违法违纪将进行移交司法处理,若涉侵权平台将进行基本处罚并下架。
3、本站所有内容均由用户上传,付费前请自行鉴别,如您付费,意味着您已接受本站规则且自行承担风险,本站不进行额外附加服务,虚拟产品一经售出概不退款(未进行购买下载可退充值款),文档一经付费(服务费)、不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
4、如你看到网页展示的文档有www.zixin.com.cn水印,是因预览和防盗链等技术需要对页面进行转换压缩成图而已,我们并不对上传的文档进行任何编辑或修改,文档下载后都不会有水印标识(原文档上传前个别存留的除外),下载后原文更清晰;试题试卷类文档,如果标题没有明确说明有答案则都视为没有答案,请知晓;PPT和DOC文档可被视为“模板”,允许上传人保留章节、目录结构的情况下删减部份的内容;PDF文档不管是原文档转换或图片扫描而得,本站不作要求视为允许,下载前自行私信或留言给上传者【w****g】。
5、本文档所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权,请谨慎使用;网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽--等)目的在于配合国家政策宣传,仅限个人学习分享使用,禁止用于任何广告和商用目的。
6、文档遇到问题,请及时私信或留言给本站上传会员【w****g】,需本站解决可联系【 微信客服】、【 QQ客服】,若有其他问题请点击或扫码反馈【 服务填表】;文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“【 版权申诉】”(推荐),意见反馈和侵权处理邮箱:1219186828@qq.com;也可以拔打客服电话:4008-655-100;投诉/维权电话:4009-655-100。