全国大学生数学建模竞赛B题.ppt
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1、艾滋病疗法的评价艾滋病疗法的评价及疗效的预测及疗效的预测全国大学生数学建模竞赛全国大学生数学建模竞赛2006年年B题题 艾滋病是当前人类社会最严重的瘟疫之一,从艾滋病是当前人类社会最严重的瘟疫之一,从19811981年发年发现以来的现以来的2020多年间,它已经吞噬了近多年间,它已经吞噬了近30003000万人的生命。万人的生命。艾滋病的医学全名为艾滋病的医学全名为“获得性免疫缺损综合症获得性免疫缺损综合症”,英文,英文简称简称AIDSAIDS,它是由艾滋病毒(医学全名为,它是由艾滋病毒(医学全名为“人体免疫缺损病毒人体免疫缺损病毒”,英文简称英文简称HIVHIV)引起的。这种病毒破坏人的免疫
2、系统,使人)引起的。这种病毒破坏人的免疫系统,使人体丧失抵抗各种疾病的能力,从而严重危害人的生命。人类免体丧失抵抗各种疾病的能力,从而严重危害人的生命。人类免疫系统的疫系统的CD4CD4细胞在抵御细胞在抵御HIVHIV的入侵中起着重要作用,当的入侵中起着重要作用,当CD4CD4被被HIVHIV感染而裂解时,其数量会急剧减少,感染而裂解时,其数量会急剧减少,HIVHIV将迅速增加,导致将迅速增加,导致AIDSAIDS发作。发作。艾滋病治疗的目的,是尽量减少人体内艾滋病治疗的目的,是尽量减少人体内HIVHIV的数量,同时的数量,同时产生更多的产生更多的CD4CD4,至少要有效地降低,至少要有效地降
3、低CD4CD4减少的速度,以提高人减少的速度,以提高人体免疫能力。体免疫能力。迄今为止人类还没有找到能根治迄今为止人类还没有找到能根治AIDSAIDS的疗法,目前的的疗法,目前的一些一些AIDSAIDS疗法不仅对人体有副作用,而且成本也很高。许多国疗法不仅对人体有副作用,而且成本也很高。许多国家和医疗组织都在积极试验、寻找更好的家和医疗组织都在积极试验、寻找更好的AIDSAIDS疗法。疗法。现在得到了美国艾滋病医疗试验机构现在得到了美国艾滋病医疗试验机构ACTGACTG公布的两组公布的两组数据。数据。ACTG320ACTG320(见附件(见附件1 1)是同时服用)是同时服用zid.,lam.,
4、ind.3zid.,lam.,ind.3种种药物的药物的300300多名病人每隔几周测试的多名病人每隔几周测试的CD4CD4和和HIVHIV的浓度的浓度(每毫升血(每毫升血液里的数量)。液里的数量)。193A193A(见附件(见附件2 2)是将)是将13001300多名病人随机地分为多名病人随机地分为4 4组,每组按下述组,每组按下述4 4种疗法中的一种服药,大约每隔种疗法中的一种服药,大约每隔8 8周测试的周测试的CD4CD4浓度浓度(这组数据缺(这组数据缺HIVHIV浓度,它的测试成本很高)。浓度,它的测试成本很高)。4 4种疗法种疗法的日用药分别为:的日用药分别为:600mg zid.6
5、00mg zid.或或400mg did.400mg did.,这两种药按月轮,这两种药按月轮换使用;换使用;600 mg zid.600 mg zid.加加2.25 mg zal.2.25 mg zal.;600 mg zid.600 mg zid.加加400 mg 400 mg did.did.;600 mg zid.600 mg zid.加加400 mg did.400 mg did.,再加,再加400 mg nev.400 mg nev.。请你完成以下问题:请你完成以下问题:(1 1)利用附件)利用附件1 1的数据,的数据,预测继续治疗的效果,或者确预测继续治疗的效果,或者确定最佳治疗
6、终止时间定最佳治疗终止时间(继续治疗指在测试终止后继续服药,如(继续治疗指在测试终止后继续服药,如果认为继续服药效果不好,则可选择提前终止治疗)。果认为继续服药效果不好,则可选择提前终止治疗)。(2 2)利用附件)利用附件2 2的数据,的数据,评价评价4 4种疗法的优劣种疗法的优劣(仅以(仅以CD4CD4为标准),并对较优的疗法预测继续治疗的效果,或者确定最为标准),并对较优的疗法预测继续治疗的效果,或者确定最佳治疗终止时间。佳治疗终止时间。(3)(3)艾滋病药品的主要供给商对不发达国家提供的药艾滋病药品的主要供给商对不发达国家提供的药品价格如下:品价格如下:600mg zid.1.60600
7、mg zid.1.60美元,美元,400mg did.0.85400mg did.0.85美元,美元,2.25 mg zal.1.852.25 mg zal.1.85美元,美元,400 mg nev.1.20400 mg nev.1.20美元。如果病人需美元。如果病人需要考虑要考虑4 4种疗法的费用,对(种疗法的费用,对(2 2)中的评价和预测(或者提前终)中的评价和预测(或者提前终止)有什么改变。止)有什么改变。附件附件1 ACTG3201 ACTG320数据数据同时服用同时服用3 3种药物的种药物的300300多名病人每隔几周测试的多名病人每隔几周测试的CD4CD4和和HIVHIV的浓度。
8、的浓度。第第1 1列是病人编号,第列是病人编号,第2 2列是测试列是测试CD4CD4的时刻(周),第的时刻(周),第3 3列是测得的列是测得的CD4CD4(乘以(乘以0.20.2个个/ml/ml),第),第4 4列是测试列是测试HIVHIV的时刻(周),第的时刻(周),第5 5列是测列是测得的得的HIVHIV(单位不详)。(单位不详)。PtIDPtIDCD4Date CD4Count RNADateCD4Date CD4Count RNADateVLoadVLoad23424 23424 0 01781780 0 5.5 5.523424 23424 4 42282284 4 3.9 3.92
9、3424 23424 8 81261268 8 4.7 4.72342423424 25 25 171171 25 25 4 423424 4023424 40 99 99 40 40 5 52342523425 0 0 14 140 0 5.3 5.32342523425 4 4 62 624 4 2.4 2.42342523425 9 91101109 9 3.7 3.72342523425 23 23 122122 23 23 2.6 2.62342523425 40 40 320320附件附件2 193A2 193A数据数据13001300多名病人按照多名病人按照4 4种疗法服药大约每
10、隔种疗法服药大约每隔8 8周测试的周测试的CD4CD4浓度。浓度。第第1 1列是病人编号,第列是病人编号,第2 2列是列是4 4种疗法的代码:种疗法的代码:第第3 3列是病人年龄,第列是病人年龄,第4 4列是测试列是测试CD4CD4的时刻(周),第的时刻(周),第5 5列是测得列是测得的的CD4CD4,取值,取值log(CD4+1).log(CD4+1).ID ID 疗法疗法 年龄年龄 时间时间 Log(CD4 count+1)Log(CD4 count+1)1 12 236.427136.42710 03.1355 3.1355 1 12 236.427136.42717.57147.571
11、43.0445 3.0445 1 12 236.427136.427115.571415.57142.7726 2.7726 1 12 236.427136.427123.571423.57142.8332 2.8332 1 12 236.427136.427132.571432.57143.2189 3.2189 1 12 236.427136.42714040 3.0445 3.0445 2 24 447.846747.84670 0 3.0681 3.0681 2 24 447.846747.84678 8 3.8918 3.8918 2 24 447.846747.84671616 3
12、.9703 3.9703 2 24 447.846747.84672323 3.6109 3.6109 2 24 447.846747.846730.714330.71433.3322 3.3322 2 24 447.846747.84673939 3.0910 3.0910 CD4CD4大致有先增后减的趋势,大致有先增后减的趋势,HIVHIV有先减后增的有先减后增的趋势,启示应建立时间的二次函数模型趋势,启示应建立时间的二次函数模型问题(问题(1 1)利用附件利用附件1 1的数据,预测继续治疗的效果的数据,预测继续治疗的效果,或者确定最佳治疗终止时间。或者确定最佳治疗终止时间。分析数据分析数
13、据如随机取如随机取2020个病人,画出他们个病人,画出他们CD4CD4和和HIVHIV浓度随时间变化的图形(折线),浓度随时间变化的图形(折线),若先用一次模型,应与二次模型做统计分析比较若先用一次模型,应与二次模型做统计分析比较CD4HIV1 1)总体回归模型总体回归模型 用全部数据拟合一个模型,用全部数据拟合一个模型,如如 y yijij=b b0 0+b b1 1t tijij+b b2 2t tijij2 2,t tijij,y yijij分别为第分别为第i i病人第病人第j j次测量的时间和次测量的时间和CD4CD4(或(或HIVHIV),估计),估计b b0 0,b b1 1,b
14、b2 2建立模型建立模型有以下形式的回归模型(一次有以下形式的回归模型(一次与二次模型比较,二次较优):与二次模型比较,二次较优):对对HIVHIV,b b2 20,0,b b1 10,0,t t=-=-b b1 1/2/2b b2 2 达到最小达到最小对对CD4CD4,b b2 20,0,0,t t=-=-b b1 1/2/2b b2 2 达到最达到最大大平均地应在平均地应在25302530(周)结束治疗。(周)结束治疗。可对可对CD4CD4统计统计b b2i2i0,00(存在正最大点)及(存在正最大点)及b b2i2i00(不存在最大点)的频率,分别作为及时结(不存在最大点)的频率,分别作
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