动态规划例1-求解下列整数规划的最优解.doc
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1、例1 求解下列整数规划得最优解:解 (1)建立动态规划模型:阶段变量:将给每一个变量赋值瞧成一个阶段,划分为3个阶段,且阶段变量k=1,2,3、设状态变量表示从第阶段到第3阶段约束右端最大值,则设决策变量表示第阶段赋给变量得值、状态转移方程:阶段指标:基本方程;其中(1) 用逆序法求解:当时,而表示不超过得最大整数。因此,当时,;当时,可取0或1;当时,可取0,1,2,由此确定现将有关数据列入表4、1中表4、1中、012012345678910000000000006666661200000666661200000111112当时,有而。所以当时,;当时,;当时。由此确定。现将有关数据列入表4
2、、2中、表4、2 0120123456789100+00+00+00+00+00+60+60+60+60+60+125+05+05+05+05+05+65+610+010+010+00000566610111200001000210012305670510当时,有而故只能取0,1,2,3,由此确定。现将有关数据列入表4、3中。表 4、30123100+124+68+512+01324按计算顺序反推,由表4、3可知,当及例5 用动态规划方法解下列非线性规划问题解: 解决这一类静态规划问题,需要人为地赋予时间概念,从而将该问题转化为多阶段决策过程。按问题得变量个数划分阶段,把它瞧作一个三阶段决策问
3、题,k=1,2,3设状态变量为s1,s2,s3,s4并记s1c取问题中得变量x1,x2,x3为决策变量状态转移方程为:s3=x3s3+x2=s2s2+x1=s1c允许决策集合为:x3=s30x2s20x1s1各阶段指标函数为:v1(x1)=x1v2(x2)=x22v3(x3)=x3,各指标函数以乘积方式结合,最优指标函数fk(sk)表示从第k阶段初始状态sk出发到第3阶段所得到得最大值,则动态规划基本方程为:用逆序解法由后向前依次求解:k=3时,x3*=s3k=2时,令h2(s2,x2)=x22(s2x2)用经典解析法求极值点:解得:x2=0(舍)所以就是极大值点。k=1时,令解得:x1=s1
4、(舍)所以就是极大值点。由于s1未知,所以对s1再求极值,显然s1=c时,f1(s1)取得最大值反向追踪得各阶段最优决策及最优值:s1=c所以最优解为:例6 用动态规划方法解下列非线性规划问题解: 按变量个数将原问题分为三个阶段,阶段变量k=1,2,3;选择xk为决策变量;状态变量sk表示第k阶段至第3阶段决策变量之与;取小区间长度=1,小区间数目m=6/1=6,状态变量sk得取值点为:状态转移方程:sk+1=skxk;允许决策集合:Dk(sk)=xk|0xkskk=1,2,3xk,sk均在分割点上取值;阶段指标函数分别为:g1(x1)=x12g2(x2)=x2g3(x3)=x33,最优指标函
5、数fk(sk)表示从第k阶段状态sk出发到第3阶段所得到得最大值,动态规划得基本方程为:k=3时,s3及x3取值点较多,计算结果以表格形式给出,见表6、1-6、3所示。表6、1 计算结果fx3s3x3f3(s3)x3*01234560123456018276412521601827641252160123456表6、2 计算结果fx2s2x2 f3(s2x2)f2(s2)x2*01234560123456000000010111812716411252021282272643031383274041485051600018276412800,111112表6、3 计算结果fx1s1x12 f2
6、(s1x1)f1(s1)x1*012345660164427981612503601082由表6、3知,x1*=2,s1=6,则s2= s1x1*=62=4,查表6、2得:x2*=1,则s3= s2x2*=41=3,查表6、1得:x3*=3,所以最优解为:x1*=2,x2*=1,x3*=3,f1(s1)=108。上面讨论得问题仅有一个约束条件。对具有多个约束条件得问题,同样可以用动态规划方法求解,但这时就是一个多维动态规划问题,解法上比较繁琐一些。例7 某公司打算在3个不同得地区设置4个销售点,根据市场部门估计,在不同地区设置不同数量得销售点每月可得到得利润如表6、4所示。试问在各地区如何设置
7、销售点可使每月总利润最大。表6、4 利润值地区销售点01234123000161210251714302116322217解: 如前所述,建立动态规划数学模型:将问题分为3个阶段,k=1,2,3;决策变量xk表示分配给第k个地区得销售点数;状态变量为sk表示分配给第k个至第3个地区得销售点总数;状态转移方程:sk+1=skxk,其中s1=4;允许决策集合:Dk(sk)=xk|0xksk阶段指标函数:gk(xk)表示xk个销售点分配给第k个地区所获得得利润;最优指标函数fk(sk)表示将数量为sk得销售点分配给第k个至第3个地区所得到得最大利润,动态规划基本方程为:数值计算如表所示。表6、5 k
8、=3时计算结果fx3s3g3(x3)f3(s3)x3*012340123401014161701014161701234表6、6 k=2时计算结果fx2s2g2(x2)+f3(s2x2)f2(s2)x2*012340123400+100+140+160+1712+012+1012+1412+1617+017+1017+1421+021+1022+001222273101122,3表6、7 k=1时计算结果fx1s1g1(x1)+f2(s1x1)f1(s1)x1*0123440+3116+2725+2230+1232+0472所以最优解为:x1*=2,x2*=1,x3*=1,f1(4)=47,即
9、在第1个地区设置2个销售点,第2个地区设置1个销售点,第3个地区设置1个销售点,每月可获利润47。例9 (生产库存问题)某工厂要对一种产品制定今后四个时期得生产计划,据估计在今后四个时期内,市场对该产品得需求量分别为2,3,2,4单位,假设每批产品固定成本为3千元,若不生产为0,每单位产品成本为1千元,每个时期最大生产能力不超过6个单位,每期期末未出售产品,每单位需付存贮费0、5千元,假定第1期初与第4期末库存量均为0,问该厂如何安排生产与库存,可在满足市场需求得前提下总成本最小。解: 以每个时期作为一个阶段,该问题分为4个阶段,k=1,2,3,4;决策变量xk表示第k阶段生产得产品数;状态变
10、量sk表示第k阶段初得库存量;以dk表示第k阶段得需求,则状态转移方程:sk+1=sk+xkdk;k=4,3,2,1由于期初及期末库存为0,所以s1=0,s5=0;允许决策集合Dk(sk)得确定:当skdk时,xk可以为0,当skdk时,至少应生产dksk,故xk得下限为max(0,dksk)每期最大生产能力为6,xk最大不超过6,由于期末库存为0,xk还应小于本期至4期需求之与减去本期得库存量,所以xk得上限为min(,6),故有:Dk(sk)=xk| max(0,dksk)xkmin(,6)阶段指标函数rk(sk,xk)表示第k期得生产费用与存贮费用之与:最优指标函数fk(sk)表示第k期
11、库存为sk到第4期末得生产与存贮最低费用,动态规划基本方程为:先求出各状态允许状态集合及允许决策集合,如表6、8所示。表6、8 状态允许状态集合及允许决策集合s10D1(s1)2,3,4,5,6s201234D2(s2)3,4,5,62,3,4,5,61,2,3,4,5,60,1,2,3,4,5,60,1,2,3,4,5s30123456D3(s3)2,3,4,5,61,2,3,4,50,1,2,3,40,1,2,30,1,20,10s401234D4(s4)43210由基本方程计算各阶段策略,结果如下表所示。表6、9 k=4时计算结果s4x4s5f5(s5)f4(s4)012344*3*2*
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