第九章多元函数微分学2.pptx
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1、11、设空间曲线的方程、设空间曲线的方程(1)式中的三个函数均可导式中的三个函数均可导.第六节第六节 偏导数在几何上的应用偏导数在几何上的应用一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面2考察割线趋近于极限位置考察割线趋近于极限位置切线的过程切线的过程上式分母同除以上式分母同除以割线割线 的方程为的方程为3得曲线在得曲线在M处的切线方程处的切线方程切线的方向向量称为曲线的切线的方向向量称为曲线的切向量切向量:法平面法平面:过:过M点且与切线垂直的平面点且与切线垂直的平面,4解解例例1 1所以在该点处的切向量为所以在该点处的切向量为 所求所求切线方程为切线方程为 法平面方程为法平面方程为
2、 即即52、设空间曲线方程为、设空间曲线方程为法平面方程为法平面方程为切线方程为切线方程为6例例2 2解解将所给方程的两边对将所给方程的两边对x求导并移项,得求导并移项,得 解得解得7所求切线方程为所求切线方程为法平面方程为法平面方程为由此得切向量由此得切向量 即即81、曲面方程为、曲面方程为在曲面上任取一条通在曲面上任取一条通过点过点M的曲线的曲线二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线9两边关于两边关于 t 求导求导,得得 所以所以的切向量的切向量,上式表明它与向量上式表明它与向量垂直垂直.由于由于 曲线在曲面上曲线在曲面上,故有故有10 这个平面称为曲面在该点的这个平面称为曲面在该点
3、的切平面切平面,切平面方程为切平面方程为法线方程为法线方程为11例例3 3解解所求所求切平面方程为切平面方程为 即即所求法线所求法线方程为方程为 12曲面在曲面在 M 处的切平面方程为处的切平面方程为曲面在曲面在M处的法线方程为处的法线方程为令令2、曲面方程为、曲面方程为13切平面切平面上点的上点的竖坐标竖坐标的增量的增量因为曲面在因为曲面在 M 处的切平面方程为处的切平面方程为全微分的几何意义全微分的几何意义 14例例4 4解解切平面方程为切平面方程为法线方程为法线方程为15解解设设 为曲面上的切点为曲面上的切点,依题意,切平面方程平行于已知平面,得依题意,切平面方程平行于已知平面,得例例5
4、 5因为因为 是曲面上的切点,是曲面上的切点,所求切点为所求切点为满足曲面方程满足曲面方程16切平面方程切平面方程(1)切平面方程切平面方程(2)切点为切点为17练习:练习:P71 习题习题9.61.(1)18第七节第七节 多元函数的极值多元函数的极值播放播放19一、多元函数极值的定义一、多元函数极值的定义极大值、极小值统称为极大值、极小值统称为极值极值.使函数取得极值的点称为使函数取得极值的点称为极值点极值点.第七节第七节 多元函数的极值多元函数的极值20(1)(2)(3)例例1 1例例2 2例例3 321多元函数取得极值的条件多元函数取得极值的条件(称(称驻点驻点)驻点驻点极值点极值点注意
5、注意:定理定理1 1(必要条件)(必要条件)问题:如何判定一个驻点是否为极值点?问题:如何判定一个驻点是否为极值点?22定理定理2 2(充分条件)(充分条件)负定负定正定正定23例例4 4解解无无极值极值极极小小值值极极大大值值无无极值极值驻点驻点-53124求最值的一般方法:求最值的一般方法:将函数在将函数在D内的所有驻点处的函数值及在内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较,其中的边界上的最大值和最小值相互比较,其中最大者即为最大值,最小者即为最小值最大者即为最大值,最小者即为最小值.二、多元函数的最值二、多元函数的最值25解解例例5 5先求函数在先求函数在D内的驻点,
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