奥赛典型例题分析振动和波.pptx
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1、1奥赛典型例题奥赛典型例题分析分析(振动和波振动和波)21.如图如图1所示的振动所示的振动系统,轻弹簧的劲度系统,轻弹簧的劲度系数为系数为k,滑轮的质,滑轮的质量为量为M,细线与滑轮,细线与滑轮之间无摩擦,两个小之间无摩擦,两个小物块的质量分别为物块的质量分别为m1和和m2,m1 m2,试,试求滑轮的振动周期求滑轮的振动周期.Mm1m2k图图13例例1 解解:m1m2k图图1Mm图图2aa 先看图先看图2的情况,设轻绳的拉力大的情况,设轻绳的拉力大小为小为T,则,则由上一两个方程可解得由上一两个方程可解得天花板所受的拉力为天花板所受的拉力为这表明原来系统对天花板的作用与图这表明原来系统对天花板
2、的作用与图3物体物体M 对对天花板的作用等效,只要天花板的作用等效,只要M取值为取值为4图图3m1m2k图图1图图4k因此,只要在上式中令因此,只要在上式中令 就可就可用图用图4等效于图等效于图1,此时有此时有所以,系统的振动圆频率为所以,系统的振动圆频率为系统的振动周期为系统的振动周期为52.如图如图2所示,物体的质量为所示,物体的质量为m,用,用弹簧悬挂吊于水平轻杆上,杆的一弹簧悬挂吊于水平轻杆上,杆的一端与光滑铰链相连,另一端用弹簧端与光滑铰链相连,另一端用弹簧悬挂,已知悬挂,已知k1、k2、m及尺寸及尺寸a、b,试求物体试求物体m的振动周期的振动周期.图图2Oabk1k2m6 设当当m
3、处于平衡位置时,处于平衡位置时,弹簧弹簧1、2的伸长量分别为的伸长量分别为l10和和l20,则则例例2 解解:图图1Oabk1k2moxx对对m有有对杆有对杆有建立建立ox轴,如图所示,当杆转轴,如图所示,当杆转过一个微小的角过一个微小的角时,时,对对m有有对杆有对杆有由以上方程可得由以上方程可得7由由(5)、(6)式可得式可得由由(5)、(7)式消去式消去可可得得由这方程可知由这方程可知m的振动圆频率为的振动圆频率为故故m的微振动周期为的微振动周期为83.如图如图3所示,质量为所示,质量为m的小球的小球C由细绳由细绳AC和和BC共同悬挂,已知共同悬挂,已知ACl,BC2l,ACOBCO30,
4、试求小球试求小球C在垂直纸面方向上的微振动周期在垂直纸面方向上的微振动周期.图图3CABml2lO30309 方法方法1:以:以A为等效悬挂点为等效悬挂点图图1CABml2lO例例3 解:解:30 30ggcos30 于是小球于是小球C在垂直屏幕面方向上在垂直屏幕面方向上的微小摆动的周期为的微小摆动的周期为O方法方法2:以:以AB线与线与CO线的交点线的交点O为等效悬挂点为等效悬挂点则等效摆长则等效摆长l为为CO,根据几何关系可求得,根据几何关系可求得那么小球那么小球m的微振动周期为的微振动周期为 把重力加速度把重力加速度 沿沿AC方向和方向和AB方方向分解,可得在向分解,可得在AC方向的分量
5、值为方向的分量值为gcos30.104.半径为半径为R的轻圆环上固定两个质量相同的小的轻圆环上固定两个质量相同的小重物,在环上与两个小重物距离相等的重物,在环上与两个小重物距离相等的O处钻处钻一小孔,将这小孔穿过墙壁上的光滑小钉而一小孔,将这小孔穿过墙壁上的光滑小钉而把圆环挂起来,使圆环可以在竖直平面上作把圆环挂起来,使圆环可以在竖直平面上作微振动,两小重物的位置关系可以用它们之微振动,两小重物的位置关系可以用它们之间的角距离间的角距离2表示,如图表示,如图4所示,试求圆环微所示,试求圆环微振动的周期振动的周期.O图图4RR11例例4 解:解:图图1ORR 用能量法求周期用能量法求周期 设每个
6、重物的质量为设每个重物的质量为m,它作微振动,它作微振动时的最大角振幅为时的最大角振幅为 ,如图所示,那么如图所示,那么它通过平衡位置时的最大速度它通过平衡位置时的最大速度 为为其中其中故故于是摆的最大动能为于是摆的最大动能为 设摆的质心设摆的质心C能上升的最大高度为能上升的最大高度为hCm,则据机械能,则据机械能守恒定律有守恒定律有C12C图图1ORR在平衡位置时,质心在平衡位置时,质心C据悬挂点据悬挂点O的距离为的距离为因最大偏角为因最大偏角为 ,故质心上升的最大,故质心上升的最大高度为高度为于是由于是由 可得可得解得解得因为因为所以所以圆环微振动周期为圆环微振动周期为135.如图如图5所
7、示,在水平光滑桌面的中心有一个光滑小所示,在水平光滑桌面的中心有一个光滑小孔孔O,一条劲度系数为,一条劲度系数为k的细弹性绳穿过小孔的细弹性绳穿过小孔O,绳,绳的一端系于小孔的一端系于小孔O正下方地面的正下方地面的A处,另一端系一质处,另一端系一质量为量为 m的小物块,弹性绳的自然长度等于的小物块,弹性绳的自然长度等于OA,现将,现将小物块沿桌面拉至小物块沿桌面拉至B点处,点处,OBL,并给小物块一,并给小物块一个与个与OB垂直的初速度垂直的初速度v0沿桌面射出,试求:沿桌面射出,试求:(1)小物块绕小物块绕O点转过点转过90到达到达C点所需要的时间点所需要的时间;(2)小物块到达小物块到达C
8、点时的速度及点时的速度及CO的长度的长度.OBAv0图图514例例5 解:解:OBAv0图图1xy图图2 (1)据胡克定律,质点在其运据胡克定律,质点在其运动轨迹上任一位置处所受弹力的大小动轨迹上任一位置处所受弹力的大小为为Fkr,其中其中r为质点所在位置与原点为质点所在位置与原点O的距离的距离,也是弹性绳的伸长量也是弹性绳的伸长量.由图由图2得得可见,质点在可见,质点在x方向和方向和y方向都作简谐振动方向都作简谐振动.平衡位置都在原点,振动圆频率都是平衡位置都在原点,振动圆频率都是周期都是周期都是15 质点从起始位置质点从起始位置B绕绕O点运动到点运动到C点,点,对于对于x方向的简谐振动来说
9、,质点是从方向的简谐振动来说,质点是从最大位移的位置运动到平衡位置的,恰最大位移的位置运动到平衡位置的,恰好经历了好经历了1/4T,所以所以xy图图2(2)在在x方向上,质点作简谐振动,利用如图方向上,质点作简谐振动,利用如图3所示的参所示的参考圆,可确定其振幅和初相考圆,可确定其振幅和初相:图图4于是其在于是其在x方向的简谐振动方程为方向的简谐振动方程为速度为速度为16可求得可求得利用公式利用公式 及初始条件及初始条件因质点经因质点经t=T/4时间到达时间到达C点,故在点,故在C点处,有点处,有于是于是176.三根长为三根长为l2.00m的质量均匀的直杆构成一个等的质量均匀的直杆构成一个等边
10、三角形框架边三角形框架ABC,C点悬挂在一光滑水平转轴上,点悬挂在一光滑水平转轴上,整个框架可绕转轴转动,杆整个框架可绕转轴转动,杆AB是一导轨,一是一导轨,一电动玩具松鼠可在导轨上运动,如图电动玩具松鼠可在导轨上运动,如图6所示,现观测所示,现观测到松鼠正在导轨上运动而框架却静止不动,试证明到松鼠正在导轨上运动而框架却静止不动,试证明松鼠的运动应是一种什么样的运动松鼠的运动应是一种什么样的运动.ABCl图图6ll(96年年13届预赛题届预赛题)18例例6 解:解:ABCl图图1ll 建立如图所示建立如图所示ox轴轴.因为题设玩具松鼠在导轨上运动时,因为题设玩具松鼠在导轨上运动时,框架都静止不
11、动框架都静止不动.那么以框架作为研那么以框架作为研究对象,对究对象,对C轴力矩平衡,因此当玩轴力矩平衡,因此当玩具松鼠运动到图中位置时,它除了受具松鼠运动到图中位置时,它除了受到玩具松鼠给以的向下的、大小到玩具松鼠给以的向下的、大小为为mg的压力外,必然受到玩具松鼠给以的大小为的压力外,必然受到玩具松鼠给以的大小为F的的向左的力作用向左的力作用.于是有于是有得得 那么,玩具松鼠也必然受到一个向右的大小等于那么,玩具松鼠也必然受到一个向右的大小等于F的力的力F的作用的作用.19由此可见,玩具松鼠的运动必然是简谐振动由此可见,玩具松鼠的运动必然是简谐振动.其振动周期为其振动周期为 因玩具松鼠到达因
12、玩具松鼠到达AB导轨两端时应反向它的,所以导轨两端时应反向它的,所以其振幅不能大于其振幅不能大于1/2l,即即 由以上论证可知,玩具松鼠在导轨由以上论证可知,玩具松鼠在导轨AB上的运动是以上的运动是以AB中点为平衡位置,振幅不大于中点为平衡位置,振幅不大于1米,周期约为米,周期约为2.64s的简谐振动的简谐振动.207.A是某种材料制成的小球,是某种材料制成的小球,B是某种材料制成的均是某种材料制成的均匀刚性薄球壳,假设匀刚性薄球壳,假设A与与B的碰撞是完全弹性的,的碰撞是完全弹性的,B与桌面的碰撞是完全非弹性的与桌面的碰撞是完全非弹性的.已知球壳质量为已知球壳质量为m,内半径为内半径为r,放
13、置在水平无弹性的桌面上,小球,放置在水平无弹性的桌面上,小球A的的质量也为质量也为m,通过一自然长度为,通过一自然长度为r的柔软弹性绳悬挂的柔软弹性绳悬挂在球壳内壁的最高处,且有在球壳内壁的最高处,且有kr=9mg/2,k为弹性绳为弹性绳的弹性系数的弹性系数.起初将小球起初将小球A拉到球壳的最低点,如图拉到球壳的最低点,如图7所示,然后轻轻释放,试详细地、定量地讨论小球所示,然后轻轻释放,试详细地、定量地讨论小球A以后的运动以后的运动.(92年第年第9届预赛题届预赛题)AB图图721例例7 解:解:AB图图1 小球小球A的平衡位置的平衡位置O与球心与球心O的距的距离为离为l,且有,且有以以O为
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