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概率论第3章作业题解与知识点归纳(重点!).pdf
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1、一、第三章习题详解:一、第三章习题详解:3.1 设二维随机向量的分布函数为:(,)X Y1 222,0,0,(,)0,xyx yxyF x y 其他求.12,35PXY解:因为 ,257(2,5)1 222F 6512221)5,1(F,5322221)3,2(F4312221)3,1(F所以 )3,1()3,2()5,1()5,2()53,21(FFFFYXP7654733222221283.2 盒中装有3个黑球,2个白球.现从中任取4个球,用X表示取到的黑球的个数,用Y表示取到的白球的个数,求(X,Y)的概率分布.解:因为 X+Y=4,所以(X,Y)的可能取值为(2,2),(3,1)且 ,
2、0)1,2(YXP6.053)2,2(452223CCCYXP ,4.052)1,3(451233CCCYXP0)2,3(YXP故(X,Y)的概率分布为XY12200.630.403.3 将一枚均匀的硬币抛掷3次,用X表示在3次中出现正面的次数,用Y表示3次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值,求(X,Y)的概率分布.解:因为,又 X 的可能取值为 0,1,2,3|32|)3(|XXXY所以(X,Y)的可能取值为(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)且 ,81)21()3,0(3YXP83)21()21()1,1(2113CYXP ,83)21()21()1,2(1223CYXP8
3、1)21()3,3(3YXP故(X,Y)的概率分布为XY13001/813/8023/80301/83.4 设二维随机向量的概率密度函数为:(,)X Y(6),01,02,(,)0,axyxyf x y其他(1)确定常数;a(2)求0.5,1.5P XY(3)求,这里是由这三条直线所围成的三角形区域.(,)PX YDD0,0,1xyxy解:(1)因为dxdyyxadxdyyxf 1020)6(),(dxxxadxyxa102210202)4()6(2)6(21adxxa9)5(210由,得 9a=1,故 a=1/9.1),(dxdyyxf(2)dxdyyxYXP 5.005.10)6(91)5
4、.1,5.0(dxxdxyyx5.005.005.10289)6(239121)6(91125)687(5.00dxx(3)11001(,)(,)(6)9xDPX YDf x y dxdydxxy dy278)1211(18121)6(9110210102dxxxdxyyxx3.5 设二维随机向量的概率密度函数为:(,)X Y(2)2,0,0,(,)0,x yexyf x y其他(1)求分布函数;(,)F x y(2)求P YX解:(1)求分布函数;当,(,)F x y0,0 xy(2)220000(,)(,)22(1)(1)yxyxxyu vuvxyF x yf u v dudvedudve
5、due dvee 其他情形,由于=0,显然有=0。综合起来,有(,)f x y(,)F x y2(1)(1),0,0,(,)0,xyeexyF x y其他(2)求P YX(2)2003302211033x yyxyyyyP XYdyedxe dyedxedye 3.6 向一个无限平面靶射击,设命中点的概率密度函数为(,)X Y2221(,),(1)f x yx yxy 求命中点与靶心(坐标原点)的距离不超过a 的概率.解:drrrddxdyyxaYXPaayx20022222222)1()1(1)(222222021111112112aaara3.7 设二维随机向量的概率分布如下表所示,求 X
6、 和 Y 的边缘概率分布.(,)X YXY02510.150.250.3530.050.180.02解:因为 75.035.025.015.0)1(XP25.002.018.005.0)3(XP所以,X 的边缘分布为X13P0.750.25因为 20.005.015.0)0(YP43.018.025.0)2(YP37.002.035.0)5(YP所以,Y 的边缘分布为Y025P0.200.430.373.8 设二维随机向量的概率密度函数为(,)X Y23,02,01,(,)20,xyxyf x y其他求边缘概率密度.(),()XYfxfy解:因为,当时,;其他情20 x22123),()(10
7、3102xxydyxydyyxfxfX形,显然所以,X 的边缘分布密度为()0.Xfx 其他0202/)(xxxfX 又因为,当时,10 y2202220234323),()(yyxdxxydxyxfyfY其他情形,显然所以,Y 的边缘分布密度为()0.Yfy 其他0103)(2yyyfY3.9 设二维随机向量的概率密度函数为(,)X Y4.8(2),01,0,(,)0,yxxyxf x y其他求边缘概率密度.(),()XYfxfy解,积分区域显然为三角形区域,当时,因此01x0yx;2200()(,)4.8(2)2.4(2)2.4(2)xxXfxf x y dyyx dyx yx x其他情形
8、,显然所以,X 的边缘分布密度为()0.Xfx 22.4(2)01()0Xxxxfx其他同理,当时,因此01y1,yx1122()(,)4.8(2)2.4(4)2.4(34)Yyyfyf x y dxyx dxyxxyyy其他情形,显然所以,Y 的边缘分布密度为()0.Yfy 22.4(34)01()0Yyyyyfy其他3.10 设二维随机向量的概率密度函数为(,)X Y2,(,)0,cxyxf x y其他(1)确定常数 c 的值.(2)求边缘概率密度.(),()XYfxfy解:(1)因为 dycdxdxdyyxfxx 102),(16)32()(1032102cxxcdxxxc所以 c=6.
9、(2)因为,当时,10 x)(6),()(22xxdycdyyxfxfxxX所以,X 的边缘分布密度为其他010)(6)(2xxxxfX 又因为,当时,10 y)(66),()(yydxdxyxfyfyyY所以,Y 的边缘分布密度为其他010)(6)(yyyyfY3.11 求习题 3.7 中的条件概率分布.解:由 T3.7 知,X、Y 的边缘分布分别是X13Y025P0.750.25P0.200.430.37(1)当 X=1 时,Y 的条件分布为 5175.015.0)1|0(XYP3175.025.0)1|2(XYP15775.035.0)1|2(XYP即 Y025P1/51/37/15(2
10、)当 X=3 时,Y 的条件分布为 5125.005.0)3|0(XYP251825.018.0)3|2(XYP25225.002.0)1|2(XYP即 Y025P1/518/252/25(3)当 Y=0 时,X 的条件分布为 4320.015.0)0|1(YXP4120.005.0)0|3(YXP即X13P3/41/4(4)当 Y=2 时,X 的条件分布为 581.043.025.0)2|1(YXP419.043.018.0)2|3(YXP即X13P0.5810.419(5)当 Y=5 时,X 的条件分布为 946.037.035.0)5|1(YXP054.037.002.0)5|3(YXP
11、即X13P0.9460.0543.12 设 X 在区间(0,1)上随机地取值,当观察到X=x(0 x 0,y0,都有 ,所以,X 与 Y 是相互独立的.)()(),(yfxfyxfYX3.18 设二维随机向量的分布函数为(,)X Y()1,0,0,(,)0,xyx yeeexyF x y 其他讨论的独立性.,X Y解:因为 )0(1),(lim)(xeyxFxFxyX )0(1),(lim)(yeyxFyFyxY由于 )0,0(),(1)1)(1()()()(yxyxFeeeeeyFxFyxyxyxYX所以,X 与 Y 是相互独立的。3.19 设X 与Y 是两个相互独立的随机变量,并且均服从区
12、间(0,1)上的均匀分布,求X+Y的概率密度函数.解:由于 X 与 Y 均服从区间(0,1)上的均匀分布,故 X 与 Y 的边缘密度函数分别为:,101()0Xxfx其他101()0Yyfy其他记,由于 X 与 Y 是两个相互独立的随机变量,根据书中 72 页(3.7.3)式,的概ZXYZ率密度函数可以写为()()()ZXYfzfx fzx dx当时,若,则;若或,被积函数为 0,此01z0 xz0()1zZfzdxz0 x xz时显然有.()0Zfz 当时,若,则,若或,被积函12z11zx 11()12Zzfzdxz1xz1x 数为 0,此时显然有;()0Zfz 的其他情形,显然有=0.综
13、合起来,有z()()()ZXYfzfx fzx dx,01,()2,120,Zzzfzzz其他此题也可以用先求分布函数然后再求导的方法来解,需要注意的一点是,当时,积12z分区域要分成两个部分.3.20 设X 与Y 是两个相互独立的随机变量,概率密度函数分别为21,0,()20,0 xXexfxx31,0,()30,0yYeyfyy求的概率密度函数.XY解:记,由于 X 与 Y 是两个相互独立的随机变量,根据书中 72 页(3.7.3)式,ZXY的概率密度函数可以写为,于是有Z()()()ZXYfzfx fzx dx13623600110,0(1)0()66000z xxzzxzZeedxxz
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