第一章薛定谔方程-PPT.ppt
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1、第一章薛定谔方程一、Schrdinger 方程 1.含时Schroedinger方程 The Time-Dependent Schroedinger Equation 单粒子体系:2 上 式 中:=h/2;=(x,y,z,t)为 波函 数 (wave function/state function),它 描述体系的状态(量 子 态),|2d表 示 t时 刻,在(x,y,z)处微体积元 d中找到粒子的几率,即:量 子 力 学 基 本 假 设 I(Postulate I)。V=V(x,y,z,t)为体系的位能函数。32.定态Schrdinger方程 The Time-Independent Sch
2、rdinger Equation 假定:V与时间无关,即:V=V(x,y,z)且 (x,y,z,t)=f(t)(x,y,z)(1.2)456 由|2 给出的几率密度不随时间变化;具有这一性质的态为定态(stationary state),(1.3)式为定态 Schrdinger方 程。通过求解(1.3)式的薛定谔方程,可得给定体系满足边界条件的状态波函数与允许的能量 E,以及相关的物理量。通常,合格波函数应满足条件:(a)连续性;(b)单值;(c)平方可积。7二、自由粒子体系 质量为m的粒子在无场(V=0)一维空间中运动服从定态Schroedinger方程 8大家有疑问的,可以询问和交流大家有
3、疑问的,可以询问和交流可以互相讨论下,但要小声点可以互相讨论下,但要小声点可以互相讨论下,但要小声点可以互相讨论下,但要小声点9解的结论:(i)Ex 必须是正数,既 0之 间 的 任何值,即自由粒子的能谱是连续 的而不是分立的。(ii)粒子在 x轴上任何位置出现的几率 相 等,即:=*=A*A=常 数,因 此 x的位置完全不确定。10三、势阱中的粒子 1.一维无限势阱11121314这样得到的解为这样得到的解为:问题问题:n的取值为什么是的取值为什么是(n=1,2,3,)?15将波函数归一化将波函数归一化,求得常数求得常数B:(n=1,2,3,)求得一维势箱薛定谔方程的解为:求得一维势箱薛定谔
4、方程的解为:16解的讨论:解的讨论:(a)能量能量:一维势箱体系的能量为:一维势箱体系的能量为:从该式可以看出能量与从该式可以看出能量与m、l 之间的关系。能量之间的关系。能量随随l的的 增增 加加 而而 降降 低低 离离 域域 效效 应应(delocalization effect).另外该体系的最低能量不是另外该体系的最低能量不是0,而是而是:该能量称为零点能该能量称为零点能.注意注意:零点能是一种量子力学效应。零点能是一种量子力学效应。17能级能级n+1与与n之间的能量差之间的能量差:根根据据上上式式讨讨论论,为为什什么么对对宏宏观观物物体体可可认认为为能能量量是是连连续续的的?为为什什
5、么么有有机机共共轭轭体体系系越越大大,体体系系的的最最大大吸吸收收波波长长越越长长?从该式可以看出经典力学与量子力学的从该式可以看出经典力学与量子力学的区别和联系。区别和联系。18(b)波函数波函数:波函数及几率密度的图示波函数及几率密度的图示:x=0 x=l x=0 x=l (x)2(x)n=1n=1n=4n=3n=2n=4n=3n=219一维势箱波函数的节点及节点数一维势箱波函数的节点及节点数 节点节点:除边界条件除边界条件(这里即这里即x=0和和x=l)外外,其它其它x使使 (x)=0的点称为节点。的点称为节点。从上图可以看出从上图可以看出,一维势箱的节点数与一维势箱的节点数与n的关系是
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