概率论与数理统计知识点总结(详细).pdf
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1、1概率论与数理统计第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念.22样本空间、随机事件.24 等可能概型(古典概型).35条件概率.36独立性.3第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布.31 随机变量.32 离散性随机变量及其分布律.33 随机变量的分布函数.34 连续性随机变量及其概率密度.35 随机变量的函数的分布.3第三章第三章 多维随机变量多维随机变量.31 二维随机变量.32 边缘分布.33 条件分布.34 相互独立的随机变量.35 两个随机变量的函数的分布.3第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征.31数学期望.32 方差.323 协方差及相关系数.3第五章第
2、五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理.31 大数定律.32 中心极限定理.3第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念2样本空间、随机事件样本空间、随机事件1事件间的关系 则称事件 B 包含事件 A,指事件 A 发生必然导致事件 B 发生 BA 称为事件 A 与事件 B 的和事件,指当且仅Bxxx 或ABA当 A,B 中至少有一个发生时,事件发生BA 称为事件 A 与事件 B 的积事件,指当Bxxx 且ABAA,B 同时发生时,事件发生BA 称为事件 A 与事件 B 的差事件,指当且仅Bxxx 且ABA当 A 发生、B 不发生时,事件发生BA ,则称事件 A 与 B 是互不相
3、容的,或互斥的,指事件 A 与事 BA件 B 不能同时发生,基本事件是两两互不相容的 ,则称事件 A 与事件 B 互为逆事件,又称事件且S BA BAA 与事件 B 互为对立事件2运算规则 交换律 ABBAABBA 结合律)()()()(CBACBACBACBA3分配律 )()B(CAACBA)()()(CABACBA徳摩根律BABAABA B 3频率与概率频率与概率定义 在相同的条件下,进行了 n 次试验,在这 n 次试验中,事件 A 发生的次数称为An事件 A 发生的频数频数,比值称为事件 A 发生的频率频率nnA概率:概率:设 E 是随机试验,S 是它的样本空间,对于 E 的每一事件 A
4、 赋予一个实数,记为P(A),称为事件的概率1概率满足下列条件:)(AP(1)非负性非负性:对于每一个事件 A 1)(0AP(2)规范性规范性:对于必然事件 S 1)S(P(3)可列可加性可列可加性:设是两两互不相容的事件,有nAAA,21L(可以取)nkknkkAPAP11)()(Un2概率的一些重要性质:(i)0)(P(ii)若是两两互不相容的事件,则有(可以取)nAAA,21LnkknkkAPAP11)()(Un(iii)设 A,B 是两个事件若,则,BA)()()(APBPABP)A()B(PP(iv)对于任意事件 A,1)(AP(v)(逆事件的概率))(1)(APAP(vi)对于任意
5、事件 A,B 有)()()()(ABPBPAPBAP4 等可能概型(古典概型)等可能概型(古典概型)等可能概型:试验的样本空间只包含有限个元素,试验中每个事件发生的可能性相同4若事件 A 包含 k 个基本事件,即,里21kiiieeeAULUU个不同的数,则有中某,是,kkn2,1iii,21LL 中基本事件的总数包含的基本事件数S)(1jAnkePAPkji5条件概率条件概率(1)定义:设 A,B 是两个事件,且,称为事件 A 发生的0)(AP)()()|(APABPABP条件下事件 B 发生的条件概率条件概率(2)条件概率符合概率定义中的三个条件1。非负性:对于某一事件 B,有0)|(AB
6、P 2。规范性:对于必然事件 S,1)|(ASP3 可列可加性:设是两两互不相容的事件,则有L,21BB11)()(iiiiABPABPU(3)乘法定理 设,则有称为乘法公式0)(AP)|()()(BAPBPABP(4)全概率公式:niiiBAPBPAP1)|()()(贝叶斯公式:niiikkkBAPBPBAPBPABP1)|()()|()()|(6独立性独立性定义定义 设 A,B 是两事件,如果满足等式,则称事件 A,B 相互独)()()(BPAPABP立定理一 设 A,B 是两事件,且,若 A,B 相互独立,则0)(AP BPABP)|(5定理二 若事件 A 和 B 相互独立,则下列各对事
7、件也相互独立:A 与与,与,BABAB第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布1 随机变量随机变量定义 设随机试验的样本空间为是定义在样本空间 S 上的实值单值函X(e)X e.S数,称为随机变量X(e)X 2 离散性随机变量及其分布律离散性随机变量及其分布律1 离散随机变量:有些随机变量,它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个,这种随机变量称为离散型随机变量满足如下两个条件(1),(2)=1kk)(pxXP0kp1kkP2 三种重要的离散型随机变量(1)分布 设随机变量 X 只能取 0 与 1 两个值,它的分布律是,则称 X 服从以 p 为参数的分布或两点)101,0kp-1p)k(
8、k-1kpXP(,)(分布。(2)伯努利实验、二项分布 设实验 E 只有两个可能结果:A 与,则称 E 为伯努利实验.设A,此时.将 E 独立重复的进行 n 次,则称这一串重复的1)p0pP(A)(p-1)AP(独立实验为 n 重伯努利实验。满足条件(1),(2)=1 注意n2,1,0kqpkn)kX(k-nkL,P0kp1kkP6到是二项式的展开式中出现的那一项,我们称随机变量 X 服从参数k-nkqpknnqp)(kp为 n,p 的二项分布。(3)泊松分布 设随机变量 X 所有可能取的值为 0,1,2,而取各个值的概率为 其中是常数,则称 X 服从参数为的泊松分布记,2,1,0,k!e)k
9、X(-kLkP0为)(X3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数定义 设 X 是一个随机变量,x 是任意实数,函数 x-x,PX)x(F称为 X 的分布函数分布函数,具有以下性质(1)是一个不减函数 (2))()(xXPxF)(xF (3)1)(,0)(1)(0FFxF,且是右连续的即)(),()0(xFxFxF4 连续性随机变量及其概率密度连续性随机变量及其概率密度 连续随机变量:如果对于随机变量 X 的分布函数 F(x),存在非负可积函数,使)(xf对于任意函数 x 有则称 x 为连续性随机变量,其中函数 f(x)称为 X,dttf)x(Fx-)(的概率密度函数,简称概率密度1 概率密度具
10、有以下性质,满足(1);)(xf1)(2),0)(-dxxfxf(3);(4)若在点 x 处连续,则有21)()(21xxdxxfxXxP)(xf)(F x,)(xf2,三种重要的连续型随机变量(1)均匀分布若连续性随机变量 X 具有概率密度,则成 X 在区间(a,b)上服,其他,0aa-b1)(bxxf从均匀分布.记为),(baUX7(2)指数分布若连续性随机变量 X 的概率密度为 其中为常数,则称,其他,00.e1)(x-xxf0X 服从参数为的指数分布。(3)正态分布若连续型随机变量 X 的概率密度为,)xexfx-21)(222(的正态分布或高斯分布,记为,服从参数为为常数,则称(,其
11、中X)0),(2NX特别,当时称随机变量 X 服从标准正态分布10,5 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布定理 设随机变量 X 具有概率密度又设函数处处可导且恒有,-)(xxxf,)(xg,则 Y=是连续型随机变量,其概率密度为0)(,xg)(Xg其他,0,)()()(,yyhyhfyfXY第三章第三章 多维随机变量多维随机变量1 二维随机变量二维随机变量定义 设 E 是一个随机试验,它的样本空间是和是定义在 SX(e)X e.SY(e)Y 上的随机变量,称为随机变量,由它们构成的一个向量(X,Y)叫做二维随机X(e)X 变量设(X,Y)是二维随机变量,对于任意实数 x,y,二元函数称为
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