度量空间的可分性与完备性.doc
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1、1.3 度量空间的可分性与完备性在实数空间中,有理数处处稠密,且全体有理数是可列的,我们称此性质为实数空间的可分性同时,实数空间还具有完备性,即中任何基本列必收敛于某实数现在我们将这些概念推广到一般度量空间1.3.1 度量空间的可分性定义1.3.1 设是度量空间,如果中任意点的任何邻域内都含有的点,则称在中稠密若,通常称是的稠密子集注1:在中稠密并不意味着有例如有理数在无理数中稠密;有理数也在实数中稠密无理数在有理数中是稠密的,无理数在实数中也是稠密的,说明任何两个不相等的实数之间必有无限多个有理数也有无限多个无理数定理1.3.1 设是度量空间,下列命题等价:(1) 在中稠密;(2) ,使得;
2、(3) (其中,为的闭包,为的导集(聚点集));(4) 任取,有即由以中每一点为中心为半径的开球组成的集合覆盖证明 按照稠密、闭包及聚点等相关定义易得定理1.3.2 稠密集的传递性 设是度量空间,若在中稠密,在中稠密,则在中稠密证明 由定理1.1知,而是包含的最小闭集,所以,于是有,即在中稠密注2:利用维尔特拉斯定理可证得定理(Weierstrass多项式逼近定理) 闭区间上的每一个连续函数都可以表示成某一多项式序列的一致收敛极限(1)多项式函数集在连续函数空间中稠密参考其它资料可知:(2)连续函数空间在有界可测函数集中稠密(3)有界可测函数集在次幂可积函数空间中稠密()利用稠密集的传递性定理
3、1.3.2可得: (4)连续函数空间在次幂可积函数空间中稠密()因此有定义1.3.2 设是度量空间,如果存在点列,且在中稠密,则称是可分点集(或称可析点集)当本身是可分点集时,称是可分的度量空间注3:是可分的度量空间是指在中存在一个稠密的可列子集例1.3.1 欧氏空间是可分的坐标为有理数的点组成的子集构成的一个可列稠密子集证明 设为中的有理数点集,显然是可数集,下证在中稠密对于中任意一点,寻找中的点列,其中,使得由于有理数在实数中稠密,所以对于每一个实数(),存在有理数列.于是得到中的点列,其中,现证,由知,当时,有,取,当时,对于,都有,因此即,从而知在中稠密例1.3.2 连续函数空间是可分
4、的具有有理系数的多项式的全体在中稠密,而是可列集证明 显然是可列集,由Weierstrass多项式逼近定理知,可表示成一致收敛的多项式的极限,即,存在(实系数)多项式,使得另外,由有理数在实数中的稠密性可知存在有理数多项式,使得因此,即,在中任意点的任意邻域内必有中的点,按照定义知在中稠密例1.3.3 次幂可积函数空间是可分的证明 由于在中稠密,又知在中稠密,便可知可数集在中稠密例1.3.4 次幂可和的数列空间是可分的证明 取,显然等价于,可知可数,下面证在中稠密,有,因此,当时,又因在中稠密,对每个(),存在,使得,于是得令,则因此在中稠密例1.3.5 设,则离散度量空间是不可分的证明 假设
5、是可分的,则必有可列子集在中稠密又知不是可列集,所以存在,取,则有即中不含中的点,与在中稠密相矛盾思考题: 离散度量空间可分的充要条件为是可列集注意:十进制小数转可转化为二进制数:乘2取整法,即乘以2取整,顺序排列,例如(0.625)10=(0.101)2 0.6252=1.25取1;0.252=0.50取0;0.52=1.00取1二进制小数可转化为十进制小数,小数点后第一位为1则加上0.5(即1/2),第二位为1则加上0.25(1/4),第三位为1则加上0.125(1/8)以此类推即,例如(0.101)2=因此与子集对等,由不可数知不可列例1.3.6 有界数列空间是不可分的,对于,距离定义为
6、证明 考虑中的子集,则当,时,有因为中每一个实数可用二进制表示,所以与一一对应,故不可列假设可分,即存在一个可列稠密子集,以中每一点为心,以为半径作开球,所有这样的开球覆盖,也覆盖因可列,而不可列,则必有某开球内含有的不同的点,设与是这样的点,此开球中心为,于是矛盾,因此不可分1.3.2 度量空间的完备性实数空间中任何基本列(Cauchy列)必收敛即基本列和收敛列在中是等价的,现在将这些概念推广到一般的度量空间定义1.3.3 基本列设是度量空间中的一个点列,若对任意,存在,当时,有则称是中的一个基本列(或Cauchy列)定理1.3.3 (基本列的性质) 设是度量空间,则(1) 如果点列收敛,则
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