Matlab实训线性代数问题的求解.pptx
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1、Matlab实训线性代数问题的求解9、1 矩阵9、1、1特殊矩阵得输入数值矩阵得输入零矩阵、幺矩阵及单位矩阵 生成nn方阵:A=zeros(n),B=ones(n),C=eye(n)生成mn矩阵:A=zeros(m,n),B=ones(m,n),C=eye(m,n)生成和矩阵B同样位数得矩阵:A=zeros(size(B)随机元素矩阵若矩阵随机元素满足0,1区间上得均匀分布 生成nm阶标准均匀分布为随机数矩阵:A=rand(n,m)生成nn阶标准均匀分布为随机数方阵:A=rand(n)对角元素矩阵 已知向量生成对角矩阵:A=diag(V)已知矩阵提取对角元素列向量:Vdiag(A)生成主对角线
2、上第k条对角线为V得矩阵:A=diag(V,k)例:diag()函数得不同调用格式 C=1 2 3;V=diag(C)%生成对角矩阵V=1 0 0 0 2 0 0 0 3 V1=diag(V)%将列向量通过转置变换成行向量V1=1 2 3 C=1 2 3;V=diag(C,2)%主对角线上第 k条对角线为C得矩阵V=0 0 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0生成三对角矩阵:V=diag(1 2 3 4)+diag(2 3 4,1)+diag(5 4 3,-1)V=1 2 0 0 5 2 3 0 0 4 3 4 0 0 3 4Hilbert
3、矩阵及逆Hilbert矩阵 生成n阶得Hilbert矩阵:A=hilb(n)求取逆Hilbert矩阵:B=invhilb(n)Hankel(汉克)矩阵 其中:第一列得各个元素定义为C向量,最后一行各个元素定义为R。H为对称阵。H1=hankel(C)由 Hankel 矩阵反对角线上元素相等得出一下三角阵均为零得Hankel 矩阵Vandermonde(范德蒙)矩阵 伴随矩阵其中:P(s)为首项系数为1得多项式。大家学习辛苦了,还是要坚持继续保持安静继续保持安静符号矩阵得输入 数值矩阵A转换成符号矩阵:B=sym(A)例:A=hilb(3)A=1、0000 0、5000 0、3333 0、500
4、0 0、3333 0、2500 0、3333 0、2500 0、2000 B=sym(A)B=1,1/2,1/3 1/2,1/3,1/4 1/3,1/4,1/59、1、2 矩阵基本概念与性质行列式 格式:d=det(A)例:求行列式 A=16 2 3 13;5 11 10 8;9 7 6 12;4 14 15 1;det(A)ans=0例:tic,A=sym(hilb(20);det(A),toc ans=1/237745471676853454276164453486493441975931773446555897176563841971823241498112416154717883680
5、0elapsed_time=2、3140高阶得Hilbert矩阵就是接近奇异得矩阵。矩阵得迹 格式:t=trace(A)矩阵得秩格式:r=rank(A)用默认得精度求数值秩 r=rank(A,)给定精度下求数值秩 矩阵得秩也表示该矩阵中行列式不等于0得子式得最大阶次。可证行秩和列秩(线性无关得)应相等。例 A=16 2 3 13;5 11 10 8;9 7 6 12;4 14 15 1;rank(A)ans=3该矩阵得秩为3,小于矩阵得阶次,故为非满秩矩阵。例 H=hilb(20);rank(H)数值方法ans=13 H=sym(hilb(20);rank(H)%解析方法,原矩阵为非奇异矩阵a
6、ns=20矩阵范数矩阵得范数定义:格式:N=norm(A)求解默认得2范数 N=norm(A,选项)选项可为1,2,inf等例:求一向量、矩阵得范数 a=16 2 3 13;norm(a),norm(a,2),norm(a,1),norm(a,Inf)ans=2、5635e+001 2、5635e+001 3、4000e+001 1、6000e+001 A=16 2 3 13;5 11 10 8;9 7 6 12;4 14 15 1;norm(A),norm(A,2),norm(A,1),norm(A,Inf)ans=34 34 34 34 符号运算工具箱未提供norm()函数,需先用doub
7、le()函数转换成双精度数值矩阵,再调用norm()函数。特征多项式格式:C=poly(A)例:A=16 2 3 13;5 11 10 8;9 7 6 12;4 14 15 1;poly(A)直接求取ans=1、0000e+000 -3、399999999999999e+001 -7、999999999999986e+001 2、719999999999999e+003 -2、819840539024018e-012 A=sym(A);poly(A)运用符号工具箱 ans=x4-34*x3-80*x2+2720*x矩阵多项式得求解符号多项式与数值多项式得转换格式:f=poly2sym(P)或
8、f=poly2sym(P,x)格式:P=sym2poly(f)例:P=1 2 3 4 5 6;%先由系数按降幂顺序排列表示多项式 f=poly2sym(P,v)%以 v 为算子表示多项式 f=v5+2*v4+3*v3+4*v2+5*v+6 P=sym2poly(f)P=1 2 3 4 5 6矩阵得逆矩阵格式:C=inv(A)例:format long;H=hilb(4);H1=inv(H)H1=1、0e+003*0、000 -0、11999999999999 0、23999999999998 -0、999 -0、11999999999999 1、19999999999990 -2、699999
9、99999976 1、67999999999984 0、23999999999998 -2、69999999999976 6、47999999999940 -4、19999999999961 -0、999 1、67999999999984 -4、19999999999961 2、79999999999974检验:H*H1ans=1、001 0、023 -0、045 0、023 0、001 1、011 -0、011 0、011 0、001 0 1、011 0 0、000 0、011 -0、011 1、011计算误差范数:norm(H*inv(H)-eye(size(H)ans=6、2357981
10、90375727e-013 H2=invhilb(4);norm(H*H2-eye(size(H)ans=5、684341886080802e-014 H=hilb(10);H1=inv(H);norm(H*H1-eye(size(H)ans=0、202 H2=invhilb(10);norm(H*H2-eye(size(H)ans=1、612897415528547e-005 H=hilb(13);H1=inv(H);norm(H*H1-eye(size(H)Warning:Matrix is close to singular or badly scaled、Results may be
11、inaccurate、RCOND=2、339949e-018、ans=53、23696008570294 H2=invhilb(13);norm(H*H2-eye(size(H)ans=11、371对接近于奇异矩阵,高阶一般不建议用inv(),可用符号工具箱。H=sym(hilb(7);inv(H)ans=49,-1176,8820,-29400,48510,-38808,12012-1176,37632,-317520,1128960,-1940400,1596672,-5045048820,-317520,2857680,-10584000,18711000,-15717240,50450
12、40-29400,1128960,-10584000,40320000,-72765000,62092800,-2018016048510,-1940400,18711000,-72765000,133402500,-115259760,37837800-38808,1596672,-15717240,62092800,-115259760,100590336,-3329726412012,-504504,5045040,-20180160,37837800,-33297264,11099088 H=sym(hilb(30);norm(double(H*inv(H)-eye(size(H)an
13、s=0例:奇异阵求逆 A=16 2 3 13;5 11 10 8;9 7 6 12;4 14 15 1;format long;B=inv(A)Warning:Matrix is close to singular or badly scaled、Results may be inaccurate、RCOND=1、306145e-017、B=1、0e+014*0、93824992236885 2、856 -2、856 -0、93824992236885 2、856 8、44424930131968 -8、44424930131968 -2、856 -2、856 -8、4442493013196
14、8 8、44424930131968 2、856 -0、93824992236885 -2、856 2、856 0、93824992236885 norm(A*B-eye(size(A)检验ans=1、649 A=sym(A);inv(A)奇异矩阵不存在一个相应得逆矩阵,用符号工具箱得函数也不行?Error using=sym/invError,(in inverse)singular matrix同样适用于含有变量得矩阵求逆。例:syms a1 a2 a3 a4;C=a1 a2;a3 a4;inv(C)ans=-a4/(-a1*a4+a2*a3),a2/(-a1*a4+a2*a3)a3/(-
15、a1*a4+a2*a3),-a1/(-a1*a4+a2*a3)矩阵得相似变换与正交矩阵 其中:A为一方阵,B矩阵非奇异。相似变换后,X矩阵得秩、迹、行列式与特征值等均不发生变化,其值与A矩阵完全一致。对于一类特殊得相似变换满足如下条件,称为正交基矩阵。例:A=5,9,8,3;0,3,2,4;2,3,5,9;3,4,5,8;Q=orth(A)Q=-0、6197 0、7738 -0、0262 -0、1286 -0、2548 -0、1551 0、9490 0、1017 -0、5198 -0、5298 -0、1563 -0、6517 -0、5300 -0、3106 -0、2725 0、7406 nor
16、m(Q*Q-eye(4)ans=4、6395e-016 norm(Q*Q-eye(4)ans=4、9270e-016例:A=16,2,3,13;5,11,10,8;9,7,6,12;4,14,15,1;Q=orth(A)A为奇异矩阵,故得出得Q为长方形矩阵Q=-0、5000 0、6708 0、5000 -0、5000 -0、2236 -0、5000 -0、5000 0、2236 -0、5000 -0、5000 -0、6708 0、5000 norm(Q*Q-eye(3)ans=1、0140e-0159、2 线性方程组直接解法9、2、1线性方程组直接求解矩阵除法关于线性方程组得直接解法,如Gau
17、ss消去法、选主元消去法、平方根法、追赶法等等,在MATLAB中,只需用“”或“”就解决问题。她内部实际包含着许许多多得自适应算法,如对超定方程用最小二乘法,对欠定方程时她将给出范数最小得一个解,解三对角阵方程组时用追赶法等等。格式:x=Ab例:解方程组 A=、4096,、1234,、3678,、2943;、2246,、3872,、4015,、1129;、3645,、1920,、3781,、0643;、1784,、4002,、2786,、3927;b=0、4043 0、1550 0、4240-0、2557;x=Ab;xans=-0、1819 -1、6630 2、2172 -0、44679、2、
18、2线性方程组直接求解判定求解例:A=1 2 3 4;4 3 2 1;1 3 2 4;4 1 3 2;B=5 1;4 2;3 3;2 4;C=A B;rank(A),rank(C)ans=4ans=4 x=inv(A)*Bx=-1、8000 2、4000 1、8667 -1、2667 3、8667 -3、2667 -2、1333 2、7333检验 norm(A*x-B)ans=7、4738e-015精确解 x1=inv(sym(A)*B x1=-9/5,12/5 28/15,-19/15 58/15,-49/15-32/15,41/15检验 norm(double(A*x1-B)ans=0原方程
19、组对应得齐次方程组得解求取A矩阵得化零矩阵:格式:Z=null(A)求取A矩阵得化零矩阵得规范形式:格式:Z=null(A,r)例:判断可解性 A=1 2 3 4;2 2 1 1;2 4 6 8;4 4 2 2;B=1;3;2;6;C=A B;rank(A),rank(C)ans=2 2 Z=null(A,r)%解出规范化得化零空间Z=2、0000 3、0000 -2、5000 -3、5000 1、0000 0 0 1、0000 x0=pinv(A)*B%得出一个特解x0=0、9542 0、7328%全部解 -0、0763 -0、2977验证得出得解 a1=randn(1);a2=rand(1
20、);%取不同分布得随机数 x=a1*Z(:,1)+a2*Z(:,2)+x0;norm(A*x-B)ans=4、4409e-015解析解 Z=null(sym(A)Z=2,3-5/2,-7/2 1,0 0,1 x0=sym(pinv(A)*B)x0=125/131 96/131 -10/131 -39/131 验证得出得解 a1=randn(1);a2=rand(1);%取不同分布得随机数 x=a1*Z(:,1)+a2*Z(:,2)+x0;norm(double(A*x-B)ans=0通解 syms a1 a2;x=a1*Z(:,1)+a2*Z(:,2)+x0 x=2*a1+3*a2+125/1
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