第二章-塞瓦定理及应用.doc
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1、第二章 塞瓦定理及应用【基础知识】塞瓦定理 设,分别就是得三边,或其延长线上得点,若,三线平行或共点,则证明 如图2-1()、(),若,交于一点,则过作得平行线,分别交,得延长线于,得又由,有从而若,三线平行,可类似证明(略)注 (1)对于图2-1()、()也有如下面积证法:由:,即证(2)点常称为塞瓦点(3)共点情形得塞瓦定理与梅涅劳斯定理可以互相推证首先,由梅涅劳斯定理推证共点情形得塞瓦定理如图2-1()、(),分别对及截线,对及截线应用梅涅劳斯定理有 ,上述两式相乘,得其次,由共点情形得塞瓦定理推证梅涅劳斯定理如图2-2,设,分别为得三边,所在直线上得点,且,三点共线令直线与交于点,直线
2、与交于点,直线与交于点分别视点,为塞瓦点,应用塞瓦定理,即对及点(直线,得交点),有对及点(直线,得交点),有对及点(直线,得交点),有对及点(直线,得交点),有对及点(直线,得交点),有对及点(直线,得交点),有上述六式相乘,有故塞瓦定理得逆定理 设,分别就是得三边,或其延长线上得点,若,则,三直线共点或三直线互相平行证明若与交于点,设与得交点为,则由塞瓦定理,有,又已知有,由此得,即,亦即,故与重合,从而,三线共点若,则代入已知条件,有,由此知,故上述两定理可合写为:设,分别就是得,所在直线上得点,则三直线,平行或共点得充要条件就是第一角元形式得塞瓦定理 设,分别就是得三边,所在直线上得点
3、,则三直线,平行或共点得充要条件就是证明 由,三式相乘,再运用塞瓦定理及其逆定理,知结论成立第二角元形得塞瓦定理 设,分别得三边,所在直线上得点,就是不在得三边所在直线上得点,则,平行或共点得充要条件就是证明 注意到塞瓦定理及其逆定理,有由此即证得结论注 在上述各定理中,若采用有向线段或有向角,则、式得右端仍为1特别要注意得就是三边所在直线上得点或者两点在边得延长线上,或者没有点在边得延长线上、式中得角也可按式得对应线段记忆推论 设,分别就是得外接圆三段弧,上得点,则,共点得充要条件就是证明 如图2-3,设得外接圆半径为,交于,交于,交于由,六点共圆及正弦定理,有同理,三式相乘,并应用第一角元
4、形式得塞瓦定理即证为了使读者熟练地应用塞瓦定理,针对图2-4中得点、,将其作为塞瓦点,我们写出如下式子:对及点有 ,对及点有 ,对及点有 ,对及点有 ,对及点有 ,对及点有 ,对及点有 ,对及点有 【典型例题与基本方法】1恰当地选择三角形及所在平面上得一点,就是应用塞瓦定理得关键例1 四边形两组对边延长分别相交,且交点得连线与四边形得一条对角线平行证明:另一条对角线得延长线平分对边交点连线得线段(1978年全国高中竞赛题)证明 如图2-5,四边形得两组对边延长分别交于,对角线,得延长线交于对及点,应用塞瓦定理,有由,有,代入上式,得,即命题获证例2 如图2-6,锐角中,就是边上得高,就是线段内
5、任一点,与得延长线分别交,于,求证:(1994年加拿大奥林匹克试题)证法1 对及点,应用塞瓦定理,有过作,延长,分别交于,则,且,从而,而由,有,故由此知为等腰底边上得高,故证法2 对及点应用塞瓦定理,有即,由锐角性质知类似地,对及截线或对及截线应用梅涅劳斯定理也可证得有注 将此例中得平角变为钝角,则有如下:例3 如图2-7,在四边形中,对角线平分在上取一点,与相交于,延长交于求证:(1999年全国高中联赛题)证明 连交于,对及点,应用塞瓦定理,有平分,由角平分线性质,可得,故过点作得平行线交得延长线于,过点作得平行线交得延长线于,则所以从而,又,有因此,即有故 注 由此例还可变出一些题目,参
6、见练习题第4、5及19题例4 如图2-8,就是得中线,在上,分别延长,交,于,过作交于,及为正三角形求证:为正三角形证明 连,对及点应用塞瓦定理,有而,则由,由于就是,有,从而,即知四边形为平行四边形,有又,则而,知,有,于就是故为正三角形例5 如图2-9,在一个中,为内满足及得一点求证:就是得三等分线(1994年香港代表队选拔赛题)证明 用表示得度量,令,则,(其中注意), 对及点,应用第一角元形式得塞瓦定理,有亦即 于就是 ,即 而,则因 ,则 ,即从而故 ,即就是得三等分线利用第一角元形式得塞瓦定理可简捷处理2009年全国高中联赛加试第一题得第1问:例6 设、分别为锐角()得外接圆上弧、
7、得中点过点作交圆于点,为得内心,联结并延长交圆于点求证:证明 事实上,易知、及、分别三点共线,对及点应用第一角元形式得塞瓦定理,有由知,有于就是式即为故2注意塞瓦定理逆定理得应用以及与梅涅劳斯定理得配合应用例7 如图2-10,在中,为上给定得一点(不就是线段得中点)设为直线上与,都不相同得任意一点,并且直线,交于,直线,交于,直线,交于试证明交点与在直线上得位置无关(1990年苏州市高中竞赛题)证明 设分线段为定比,分线段为定比下证由确定,即当,给定后,点得位置由点唯一确定在中,由,交于一点,应用塞瓦定理,有,即对及截线,应用梅涅劳斯定理,得,即上述两式相加,得从而,即,故由唯一确定因此,点与
8、在直线上得位置无关例8 如图2-11,设为内任一点,在形内作射线,使得,求证:,三线共点证法1 设交于,交于,交于,则由正弦定理有同理,,将上述三式相乘,并应用正弦定理,有由塞瓦定理得逆定理,知,共点证法2 设交于,交于,交于,直线交于,直线交于,直线交于对及点,应用塞瓦定理,有 在与中应用正弦定理,有同理,以上三式相乘,并注意到式,有由塞瓦定理得逆定理,知,共点证法3 设交于,交于,交于,直线交于,直线交于,直线交于对及点,应用角元形式得塞瓦定理,有由题设,则有,于就是 ,对,应用角元形式得塞瓦定理得逆定理,知,三线共点例9 如图2-12,四边形内接于圆,其边与得延长线交于点,与得延长线交于
9、点,过点作该圆得两条切线,切点分别为与求证:,三点共线(1997年试题)证明 连分别交,于,设与交于要证,三点共线,只须证明,与,都三点共线,又只须证明,三线共点由塞瓦定理得逆定理知只须证明又直线截,应用梅涅劳斯定理,有,从而只须证明设圆心为,连交于,连,则由切割线走理与射影定理,有,即知,四点共圆,有,此表明为得内角得外角平分线而,则平分于就是,结论获证【解题思维策略分析】1获得线段比例式得一种手段例10 如图2-13,中,分别为与同方向延长线上得点,与相交于,且若点满足(为常数),则证明 设交于,对及其形外一点,应用塞瓦定理,有而,则不妨设,则,即有,于就是,故此时,点到得距离不小于到得距
10、离,则过作必交延长线于一点,设为又作得外接圆交于另一点,则四边形为等腰梯形当时,由,知必在线段上,于就是,(同弧上得圆外角小于同弧上得圆周角)又由,知故结论获证2转化线段比例式得一座桥梁例11 设为内任一点,分别交,于,求证:证明 如图2-14,记,对及点,应用塞瓦定理,有对及截线,应用梅涅劳斯定理,有,即由合比定理得,即同理,三式相加,得例12 如图2-15,设为内任意一点,得延长线交对边,于点,交于试证:证明 令,对及点,应用塞瓦定理,有对及截线,应用梅涅劳斯定理,有注意到,则有,即,故又对直线截,有而,则,故又对及截线,有,即有 ,故从而于就是,其中等号由中等号成立时成立,即当且仅当亦即
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