条件概率全概公式.pptx
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1、 若事件若事件B已发生,则为使已发生,则为使A也发生也发生,试验结试验结果必须是既在果必须是既在B中又在中又在A中的样本点中的样本点 ,即此点即此点必属于必属于AB。由于我们已经知道。由于我们已经知道B已发生已发生,故故B变变成了新的样本空间成了新的样本空间 ,于是有于是有(1)(1)式。式。掷骰子掷骰子 已知事件已知事件B发生,此时试验发生,此时试验所有可能结果构成的集合就是所有可能结果构成的集合就是B,于是于是P(A|B)=1/3.)=1/3.B中共有中共有3 3个元素,它们的出现是个元素,它们的出现是等可能的,其中只有等可能的,其中只有1 1个在集个在集A中,中,P P(A)=1/6)=
2、1/6,B=掷出偶数点掷出偶数点,P(A|B)=?例例如如,掷一颗均匀骰子掷一颗均匀骰子A 掷出掷出2 2点点,容易看到:容易看到:例例1 1 设某种动物由出生算起活到设某种动物由出生算起活到2020岁以上岁以上的概率为的概率为0.80.8,活到,活到2525岁以上的概率为岁以上的概率为0.40.4。如。如果现在有一个果现在有一个2020岁的这种动物,问它能活到岁的这种动物,问它能活到2525岁以上的概率是多少?岁以上的概率是多少?解解 设设A表示表示“能活到能活到2020岁以上岁以上”,B表表示示“能活到能活到2525岁以上岁以上”。则则由已知由已知从而所求的概率为从而所求的概率为由条件概率
3、的定义:由条件概率的定义:即若即若P(B)0,则则P(AB)=P(B)P(A|B)(2)(2)而而 P(AB)=P(BA)2 2、乘法公式乘法公式若已知若已知P(B),P(A|B)时时,可以反求可以反求P(AB).将将A、B的位置对调,有的位置对调,有故故 P(A)0,)0,则则P(AB)=)=P(A)P(B|A)(3)(3)若若P(A)0,)0,则则P(BA)=)=P(A)P(B|A)(2)(2)和和(3)(3)式都称为乘法公式式都称为乘法公式,利用利用它们可计算两个事件同时发生的概率它们可计算两个事件同时发生的概率 例例2 2 在在100100件产品中有件产品中有5 5件是次品,从中件是次
4、品,从中连续无放回地抽取连续无放回地抽取3 3次,问第三次才取得次品次,问第三次才取得次品的概率。的概率。解:设解:设 表示表示“第第i次取得次品次取得次品”(i=1=1,2 2,3 3),B表示表示“第三次才取到次品第三次才取到次品”,则,则3 3、事件的相互独立性事件的相互独立性 对乘法公式对乘法公式 P(AB)=P(A)P(B|A)P(AB)=P(A)P(B|A),有的,有的问题中事件问题中事件B B发生的概率与事件发生的概率与事件A A发生的条件发生的条件下事件下事件B B发生的概率是相等的,即发生的概率是相等的,即相当于无条件概率,相当于无条件概率,B是否发生与是否发生与A无关,从无
5、关,从而而此时称此时称A与与B是相互独立的。是相互独立的。我们也称我们也称A,B,C 是相互独立的事件。是相互独立的事件。对三个事件对三个事件A,B,C,如果成立:,如果成立:定理定理 若事件若事件A与与B是相互独立的,则是相互独立的,则,与与 都是相互独立的。都是相互独立的。与与 例例 3 3 一个均匀的正四面体一个均匀的正四面体,将第一面染将第一面染成红色成红色,第二面染成白色第二面染成白色,第三面染成黑色第三面染成黑色,第四面同时染上红、白、黑三种颜色,如果第四面同时染上红、白、黑三种颜色,如果以以A A、B B、C C分别表示投掷一次正四面体时红、分别表示投掷一次正四面体时红、白、黑颜
6、色着地的事件,由于在四个面中两白、黑颜色着地的事件,由于在四个面中两面上着红色,故面上着红色,故 同理可知同理可知 对以上三事件对以上三事件A A、B B、C C,成立,成立:对对于于多多个个随随机机事事件件,若若 是是相相互互独独立立的的,则则n n 个个事事件件中中至至少少有有一一个个发发生生的的概率为概率为但但 所所以以A A、B B、C C三三事事件件不不是是相相互互独独立立的的,但但它它们们是两两独立的。是两两独立的。例例4 4 若若每每个个人人的的呼呼吸吸道道中中有有感感冒冒病病毒毒的的概概率率为为0.002,0.002,求求在在有有15001500人人看看电电影影的的剧剧场场中中
7、有有感感冒病毒的概率。冒病毒的概率。解解 以以 表表示示事事件件“第第i i个个人人带带有有感感冒冒病病毒毒”(i i=1,2,=1,2,,15001500),假假定定每每个个人人是是否否带带有感冒病毒是相互独立的,则所求概率为有感冒病毒是相互独立的,则所求概率为 从从这这个个例例子子可可见见,虽虽然然每每个个带带有有感感冒冒病病毒毒的的可可能能性性很很小小,但但许许多多聚聚集集在在一一起起时时空空气气中中含含有有感感冒冒病病毒毒的的概概率率可可能能会会很很大大,这这种种现现象象称称为为小小概概率率事事件件的的效效应应。卫卫生生常常识识中中,不不让让婴儿到人多的公共场所去就是这个道理。婴儿到人
8、多的公共场所去就是这个道理。它们下方的数是它们各自正常工作的概率。它们下方的数是它们各自正常工作的概率。求电路正常工作的概率。求电路正常工作的概率。例例5 5 下面是一个串并联电路示意图下面是一个串并联电路示意图.A、B、C、D、E、F、G、H都是电路中的元件都是电路中的元件.解解 将电路正常工作记为将电路正常工作记为W,由于各元件,由于各元件独立工作,有独立工作,有代入得代入得二二 、全概率公式、全概率公式 贝叶斯公式贝叶斯公式 全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率比较复杂事件的概率,它们实质上是加法公它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用
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