信号处理教程201124学时第3章.pptx
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1、3.1 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换连续时间信号连续时间信号x(t)的傅里叶变换:的傅里叶变换:离散时间信号离散时间信号x(n)的离散时间傅里叶变换的离散时间傅里叶变换(DTFT):这里这里Ts=1;说明说明2:xn有一般意义下的有一般意义下的DTFT的充分条件是下的充分条件是下xn绝绝对可和,即:对可和,即:说明说明3:说明说明1:一般是复值函数;一般是复值函数;信号信号x(t)按抽样周期按抽样周期Ts进行抽样得到的抽样信号进行抽样得到的抽样信号xs(t)=x(t)Ts(t)的的连续时间傅里叶变换连续时间傅里叶变换(CTFT)为:为:从另从另个角度看,由于:个角度看,由于:DTFT的
2、由来的由来以上两式是以上两式是致的,只是表现形式不同而已。致的,只是表现形式不同而已。但对于离散时间信号而言,后式更为直观。但对于离散时间信号而言,后式更为直观。直接按后式定义序列直接按后式定义序列x(nTs)的傅里叶变换为:的傅里叶变换为:逆变换为:逆变换为:为了区别起见,称上述定义的序列的傅里叶变换为为了区别起见,称上述定义的序列的傅里叶变换为离离散时间傅里叶变换散时间傅里叶变换(Discrete-Time Fourier Transform,DTFT)。上述给出的上述给出的DTFT和前面介绍的抽样信号的和前面介绍的抽样信号的FT是一致是一致的。虽然后式定义的的。虽然后式定义的DTFT形式
3、较好,但是由于采样形式较好,但是由于采样周期周期Ts没有没有“归一化归一化”,因此分析起来不那么方便。,因此分析起来不那么方便。如果对抽样周期如果对抽样周期Ts进行归一化处理,归一化为进行归一化处理,归一化为1,则则 s将被对应为将被对应为2,此时序列的,此时序列的DTFT以及相应以及相应的逆变换就是的逆变换就是:x(n)与与XD()称一对称一对离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换(DTFT)对对,简,简记为:记为:符号符号XD()中的下标中的下标D表示离散之意,是为了在定表示离散之意,是为了在定义式中与连续时间傅里叶包含的频谱相区别。义式中与连续时间傅里叶包含的频谱相区别。角频率域角频率域
4、称称XD()为为(DTFT)频谱频谱(密度函数密度函数),包括,包括(DTFT)幅幅度度(频频)谱谱(函数函数)XD()和和(DTFT)相位相位(频频)谱谱(函函数数)arg(XD()两种表示形式。两种表示形式。如果考虑如果考虑赫兹频率域赫兹频率域,DTFT变换对可以表示为变换对可以表示为:若对抽样周期进行归一化处理,把若对抽样周期进行归一化处理,把Ts归一化为归一化为1,则,则fs为为1Hz,此时此时DTFT及其逆变换为及其逆变换为:赫兹频率域赫兹频率域 fDTFT的直角坐标形式和极坐标形式的直角坐标形式和极坐标形式DTFT的直角坐标形式:的直角坐标形式:其中:其中:DTFT的极坐标形式:的
5、极坐标形式:若若xn是实值的,则有:是实值的,则有:即:幅值函数为偶函数即:幅值函数为偶函数即:角度函数为奇函数即:角度函数为奇函数DTFT的直角坐标与极坐标关系:的直角坐标与极坐标关系:偶对称或奇对称信号偶对称或奇对称信号若:若:xn是是n的偶函数,即:的偶函数,即:n1的整数,的整数,x-n=xn,则:则:若:若:xn是是n的奇函数,即:的奇函数,即:n1的整数,的整数,x-n=-xn,则:则:例例 矩形脉冲矩形脉冲pn的的DTFT。离散时间信号的频谱离散时间信号的频谱离散时间信号对应连续、周期谱离散时间信号对应连续、周期谱例:分析例:分析xn的幅频特性和相频特性的幅频特性和相频特性DTF
6、T反变换反变换若:信号若:信号xn及及则则广义广义DTFT例:例:xn=1 的的DTFT及及IDTFT。说明:说明:在需要明确区别时,把序列的傅里叶变换的正在需要明确区别时,把序列的傅里叶变换的正逆变换分别记为逆变换分别记为DTFT 和和DTFT 1。DTFT和和CTFT的不同在于,前者是对的不同在于,前者是对序列序列定义定义的,后者是对的,后者是对连续函数连续函数(包括未作采样周期归包括未作采样周期归一化处理的序列一化处理的序列)定义的。定义的。结论结论1:序列的:序列的DTFT频谱是周期的频谱是周期的,周期为周期为2 rad,或或1Hz。结论结论2:序列的:序列的DTFT频谱的有效部分是频
7、谱的有效部分是 rad或或 0.50.5Hz。结论结论3:序列的最高频率:序列的最高频率(截止频率截止频率)对应了对应了DTFT频谱中的频谱中的 rad或或0.5Hz。DTFT的性质的性质 周期性:周期性:线性性:线性性:平移性:平移性:共轭与共轭对称性共轭与共轭对称性:时域扩展:时域扩展:时域差分与累加:时域差分与累加:频域微分频域微分(时域线性加权时域线性加权):卷积定理卷积定理:例例:求单位冲激序列:求单位冲激序列(n)的的DTFT:例例:求矩形脉冲序列:求矩形脉冲序列GN(n)的的DTFT:例例:求余弦序列的:求余弦序列的cos 0n的的DTFT。解:先求指数序列的解:先求指数序列的D
8、TFT:xn=1 的的DTFT例例:求图中的周期矩形脉冲序列:求图中的周期矩形脉冲序列H1(ej)的逆的逆DTFT。例例:求图中的周期矩形脉冲序列:求图中的周期矩形脉冲序列H2(ej)和和H3(ej)的逆的逆DTFT。解:显然图中的矩形脉冲可以看成是上例中解:显然图中的矩形脉冲可以看成是上例中H1(ej)的的频移,即频移,即H2(ej)=H1(ej()它与它与h1(n)是隔点反号。是隔点反号。3.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换DFT连续时间信号连续时间信号x(t)的傅里叶变换:的傅里叶变换:离散时间信号离散时间信号x(n)的离散时间傅里叶变换的离散时间傅里叶变换(DTFT):自变量离散化;自
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