机器人壁障问题——数学建模.doc
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1、 机器人避障问题 摘 要:当今科学技术日益发达,高科技产品尤其就是机器人在我们日常生活中运用得越来越广泛,它能够代替人类完成许许多多得工作,但如何能让机器人自动化得完成人类交给得任务成为设计机器人得关键.我们做此题就就是为了更好得利用机器人为我们提供方便,提高生活质量,若机器人程序设计不当不仅不会给人类带来方便,还很有可能给我们得生活带来更多得麻烦。本题中提出了如何让机器人能够自动识别障碍物,保证机器人能够在合理区域行走,并设计出如何能让机器人自动判断最短路程于最短时间下行走路线得问题.所以解决好本题可以为我们得生活提供帮助。本文通过运用两点之间直线最短理论,优化问题,最短路问题,图论,以及运
2、用alab软件编程及作图得方法,阐述了机器人避障问题得相对优化方案得解决办法,即“两点之间直线最好,转弯半径最小”得理论,通过计算中得比较与选择把四条最短路径都求出了相对最优解,论证了转弯速度不会随着r得增加一直增大或减小,而就是有一个最小极点得思想。从而求出了r,以及最短得时间。 问题一,通过对最短路问题得分析,我们很容易分解成线圆结构来求解,然后把可能路径得最短路径采用穷举法列举出来,最终得出最短路径:OA 最短路径为:1、032O B 最短路径为:38、0466O C 最短路径为:1085、753OABCO 最短路径为:234、6591问题二,通过建立时间与r得关系式,得出r在、54时,
3、从O到A得时间相对最短,最短时间为、60604。 我们可以利用此篇论文解决生活中实际得问题,在计算时可以节省大量得时间,使机器人又准确又完善得完成我们给定得任务,从而进行拓展,给定区域内任何两个点,我们都可求出其最短路径与走完全程得最快时间。从而可以让机器人帮助我们给家里打扫卫生或设计自动吸尘器等,也可使机器人在最短得时间完成工作,提高效率,延长机器人得使用寿命.关键字:最短路问题 优化问题 matlb 一 问题重述 随着现代科学技术日新月异得发展,机器人越来越多得出现在日常生活中,它既可以通过运行预先编排得程序为人类服务,根据人工智能程序自动处理一些生活中问题,进而协助或者相应地取代人类得工
4、作,可以说机器人得创新与改进正一步步影响着人类得发展.如图1所示,该图就是一个80800得平面场景图,在原点O(0,)点处有一个机器人,它只能在该平面范围内活动。机器人在活动中不能碰到障碍物及其向外延伸1个单位得区域,障碍物由12个不同形状得图形组成,障碍物得数学描述如下表:编号障碍物名称左下顶点坐标其它特性描述1正方形(30, 4)边长2002圆形圆心坐标(0, 450),半径73平行四边形(60, )底边长140,左上顶点坐标(400, 30)三角形(28,10)上顶点坐标(5,0),右下顶点坐标(10,00)5正方形(80, 0)边长1506三角形(0,0)上顶点坐标(50, 435),
5、右下顶点坐标(25,30)7长方形(0, 470)长220,宽608平行四边形(1, 600)底边长0,左上顶点坐标(1, 680)9长方形(37,680)长0,宽1200正方形(5, 60)边长13011正方形(640, 50)边长8012长方形(, 140)长300,宽60在图1中,在障碍物外指定一点为机器人要到达得目标点,机器人得行走路线由直线与与直线相切得圆弧组成,也可以由两条及以上圆弧组成。机器人不能折线转弯,必须经过与直线相切得圆弧转弯。每条圆弧得直径不小于个单位.机器人直线行走得最大速度为个单位/秒。机器人转弯时,最大转弯速度为,其中就是转弯半径.如果超过该速度,机器人将发生侧翻
6、,无法完成行走。要解决机器人从区域中一点到达另一点得避障最短路径与最短时间路径,请建立数学模型,以达到最短路径与时间。对场景图中4个点(0, 0),(300, 0),B(100, 70),(700, 640),具体计算:() 机器人从O(0,0)出发,O、OB、O与OBCO得最短路径。(2)机器人从O (0, )出发,到达得最短时间路径.注:要给出路径中每段直线段或圆弧得起点与终点坐标、圆弧得圆心坐标以及机器人行走得总距离与总时间. 图1二问题分析2、1问题一问题一中要求机器人从(0,0)出发,按照上述规则求绕过障碍物到达目标点得最短路径,我们可以先设想机器人所走过得路径得各种情况。通过设想然
7、后采用两点之间直线最短得原理寻找可能得最短路径(比如求与A之间得最短路径,我们就可以连接O与,发现得对角线在OA得下方,所以从O对角线得上方行走比下方距离短。在第一问求路径最短时尽量少走圆弧,所以在可能得情况下拐弯时最好走0为半径得圆弧).之后采用穷举法列出O到每个目标点得可能路径得最短路径,最短路径由圆弧与直线组成,求出圆弧与直线得长就能求得路径,通过建立优化模型可求出最短路径。进而联立切线与圆得方程组及运用mata软件求出各点坐标. 2、2问题二问题二需要求到A得最短时间,这让我们考虑得就不仅仅就是路长得问题,还有了速度得问题。已知公式与得出直线比转弯得速度快且转弯速度与圆弧半径有关。我们
8、可通过建立路程与速度得关系方程 求得时间得最优解. 三模型假设1、 假设机器人能够抽象成点来处理。 2、 假设机器人能完整得走到终点,中途不会发生故障.3、 假设机器人在离路障10个单位处不会发生故障,可以正常行走.四 符号说明符号符号解释切 点:表示5号图形包络线上得点、 i=1,2,3E:表示6号图形包络线上得点 i=1,2,,4Fi:表示号图形包络线上得点 =1,2,4,5Gi:表示8号图形包络线上得点 i=,2,3,Hi:表示9号图形包络线上得点 i1,2,3,4Ii:表示0号图形包络线上得点 =,2,4Ji:表示号图形包络线上得点 =1,3,4:表示2号图形包络线上得点 i=,Li:
9、表示3号图形包络线上得点 i=1,2五 模型建立5、1证明点到直线距离最短理论在最短路问题中起重要作用通过起点与终点得连线,判断哪边路径离这条连线距离较近,进而选择出最优路径。如果中间有较多路障得话也可采取分步判断得方法,判断由较近路障附近得点决定.如图二,求O到A最短路径。正方形对角线为BC,EE,D分别为E,D到OA得距离,显然EDD,所以从OA得上方通过为最短路径. 5、2基本模型求路径(1题)、2、1线圆模型已知O(为起点,(为目标点,D(与E(分别为机器人经过拐点分别于隔离危险线拐角小圆弧得切点,圆心为1(,圆得半径为,O得长度为,OO1得长度为b,BO1得长度为c,角度 ,、通过余
10、弦定理可算出,弧长=圆心角r,可求出OB得长度.由此解法在mtla编程,可求出已知起点与终点及圆心与半径得所有最短路(见附录10、1) 5、2、2相交切线模型当两圆半径相同时,由于半径已知以及(,(,(我们很容易求得L点得坐标已知后用上述线圆模型即可求出弧长当两圆半径不同时,根据半径比值可算出斜边比值,斜边端点已知,即可求出H坐标,再利用附录10、1求解可得。5、2、3平行切线模型当两圆半径相同时,其中已知O1(2(,P(,半径已知,,所以切线方程为再利用matlb运算出弧长(详见附录10、1)当两圆半径不同时,两圆心斜率k可知,=a,切线斜率再利用上述方程式即可求得,切线方程与圆联立方程即可
11、求得切点(见附录1、2与1、3),再用线圆模型即可求出路径.、3基本模型求拐点(1题)已知条件为O(1(O=r设(x),由于两直线垂直即有D点在圆上,与圆得方程联立即可求出点.此处先运用matlb中xd函数将方程式化解成多项式形式,再用solve函数求出方程得根即点坐标。(详见附录0、2与10、3)5、3时间模型得建立(2题) 根据线圆模型我们可以知道:若一个机器人穿过得圆弧所在圆得半径已知,则机器人行走得路程就就是可求得。由于机器人在转弯时得速度就是关于半径(r)得函数,再根据“时间(T)=路程()/速度(V)”,我们可以求出时间(T)关于半径(r)得函数关系式。已知直线行走得速度与转弯行走
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