概率论与数理统计课件-双因素试验方差分析.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,双因素试验方差分析,双因素试验的方差分析,在实际应用中，一个试验结果（试验指标）往往受多个因素的影响。不仅这些因素会影响试验结果，而且这些因素的不同水平的搭配也会影响试验结果。,例如：某些合金，当单独加入元素,A,或元素,B,时，,性能变化不大，但当同时加入元素,A,和,B,时，合金性,能的变化就特别显著。,统计学上把多因素不同水平搭配对试验指标的,影响称为交互作用。交互作用在多因素的方差分析,中，把它当成一个新因素来处理。,我们只学习两个因素的方差分析，更多因素的,问题，用正交试验法比较方便。,无交互作用的双因素试验的方差分析,数学模型,假设某个试验中，有两个可控因素在变化，因素,A,有,a,个水平，记作,A,1,，,A,2,，,，,A,a,；,因素,B,有,b,个水平，记作,B,1,，,B,2,，,.B,b,；则,A,与,B,的不同水平组合,A,i,B,j,（,i=1,，,2,，,，,a,；,j=1,，,2,，,，,b,）,共有,ab,个，每个水平组合称为一个处理，每个处理只作一次试验，得,ab,个观测值,X,ij,，,得双因素无重复实验表,双因素无重复（无交互作用）试验资料表,因素,A,因素,B,无交互作用的双因素试验的方差分析,线性统计模型,基本假设（,1,）相互独立；,（,2,），（方差齐性）。,其中,所有期望值的,总平均,水平,A,i,对试验结果的效应,水平,B,j,对试验结果的效应,试验误差,特性：,水平,A,i,对试验结果的效应,水平,B,j,对试验结果的效应,试验误差,要分析因素,A,，,B,的差异对试验结果是否有显著,影响，即为检验如下假设是否成立：,总离差平方和的分解定理,仿单因素方差分析的方法，考察总离差平方和,可分解为：,称为因素,A,的离差平方和，,反映因素,A,对试验指标的影响。,称为因素,B,的离差平方和，,反映因素,B,对试验指标的影响。,称为误差平方和，反映试验误差对试验指标的影响。,可推得：,将 的自由度分别记作,，则,若假设 成立，则：,对给定的检验水平 ，,F,右侧检验,时，,当,时，,当,拒绝,H,01,，即,A,因素的影响有统计意义。,拒绝,H,02,，即,B,因素的影响有统计意义。,双因素（无交互作用）试验的方差分析表,方差来源,因素,A,总和,平方和,自由度,均方和,F,值,F,值临介值,因素,B,误差,注意,各因素离差平方和的自由度为水平数减一，总平方和的自由度为试验总次数减一。,双因素（无交互作用）试验的方差分析表,简便计算式：,其中：,例,1,设甲、乙、丙、丁四个工人操作机器,、,、,各一天，,其产品产量如下表，问工人和机器对产品产量是否有显著,影响？,工人,A,机器,B,甲 乙 丙 丁,解 基本计算如原表,结论：工人对产品的产量有显著影响，,机器对产品的产量有极显著影响。,例,1,的上机操作,对应例,1,的数据输入方式,原始数据，行因素水平，列因素水平,*,*,在 下接受，在 下否决,在 下否决,（A）,（B）,工人对产品产量有显著影响，而机器对产品产量的影响,极,显著。,有交互作用的双因素试验的方差分析,线性统计模型,基本假设（,1,）相互独立；,（,2,），（方差齐性）。,有检验交互作用的效应，则两因素,A,，,B,的不同水,平的搭配必须作重复试验。,处理方法：把交互作用当成一个新因素来处理，,即把每种搭配,A,i,B,j,看作一个总体,X,ij,。,观测值,总平均,因素,A,的效应,因素,B,的效应,交互作用,的效应,试验误差,有交互作用的双因素试验的方差分析,线性统计模型,其中,所有期望值的总平均,水平,A,i,对试验结果的效应,水平,B,j,对试验结果的效应,试验误差,交互效应,特性：,要判断因素,A,，,B,及交互作用,A,B,对试验结果是否,有显著影响，即为检验如下假设是否成立：,总离差平方和的分解定理,仿单因素方差分析的方法，考察总离差平方和,可分解为：,SS,A,称为因素,A,的离差平方和，反映因素,A,对试验指标的影响。,SS,B,称为因素,B,的离差平方和，反映因素,B,对试验指标的影响。,SS,A,B,称为交互作用的离差平方和，反映交互作用,A,B,对试验指标的影响。,SS,E,称为误差平方和，反映试验误差对试验指标的影响。,若“各因素、各水平及其交互作用的影响无统计意义”的假设 成立，则,则,可推得：,由 作右侧假设检验来考察各因素及因素,间的交互作用对试验指标的影响力,.,双因素有重复（有交互作用）试验资料表,因素,A,因素,B,双因素（有重复）试验方差分析表,方差来源,因素,A,总和,平方和,自由度,均方和,F,值,F,值临介值,因素,B,误差,各离差平方和的计算公式参看出,P,180_181,这里,例,3 P,183,例题,2,因素,A,（,能量）,因素,B,（,蛋白质）,输入数据时，,C2,表示行因素,水平，,C3,表示列因素水平。,第几次重复不必列明，软件,自会识别。,结果显示如,P,185,均0.01,饲料中能量的高低、蛋白质含量的不同,及两者的交互作用对鱼的体重的影响极,有统计意义。,各因素，各水平，各交互作用下的均值。,作业,P195,3 4,（,借助软件完成）,预习第三节 正交试验设计,及其统计分析,正交试验设计,及其统计分析,引言,试验设计是数理统计中的一个较大的分支，它的,内容十分丰富。我们简介正交试验设计。,正交试验设计是利用“正交表”进行科学地安排与,分析多因素试验的方法。其主要优点是能在很多试验,方案中挑选出代表性强的少数几个试验方案，并且通,过这少数试验方案的试验结果的分析，推断出最优方,案，同时还可以作进一步的分析，得到比试验结果本,身给出的还要多的有关各因素的信息。,正交表是一种特别的表格，是正交设计的基本工具。我们只介绍它的记号、特点和使用方法。,正交表的记号及含义,记号及含义,正交表的列数,（最多能安排的因素个数，,包括交互作用、误差等）,正交表的行数,（需要做的试验次数）,各因素的水平数,（,各因素的水平数相等）,q,正交表,的代号,如,表示,表示各因素的,水平数,为,2,，,做,8,次试验,，最多考虑,7,个,因素,（含交互作用）的,正,交表,。,正交表的特点,1,、正交表中任意一列中，不同的数字出现的次数相等；,表示：在试验安排中，所挑选出来的水平组合是均匀,分布的（每个因素的各水平出现的次数相同）,均衡分散性,2,、正交表中任意两列，把同行的两个数字看成有序数,对时，所有可能的数对出现的次数相同。,表示：任意两因素的各种水平的搭配在所选试验中出现,的次数相等,整齐可比性,这是设计正交试验表的基本准则,正交试验设计的基本步骤,确定目标、选定因素（包括交互作用）、确定水平；,2.,选用合适的正交表；,3.,按选定的正交表设计表头，确定试验方案；,4.,组织实施试验；,5.,试验结果分析。,例,1,为了解决花菜留种问题，以进一步提高花菜种,子的产量和质量，科技人员考察了浇水、施肥、病害防,治和移入温室时间对花菜留种的影响，进行了四个因素,各两个水平的正交试验，各因素及其水平如下表：,因素,水平,1,水平,2,A,：浇水次数,不干死为原则，整个生长期只浇水,12,次,根据生长需水量和自然条件浇水，但不过湿,B,：喷药次数,发现病害即喷药,每半月喷一次,C,：施肥次数,开花期施硫酸铵,进室发根期、抽薹期、开花期和结果期各施肥一次,D,：进室时间,11,月初,11,月,15,日,解 第一步：选择适当的正交表,这是一个四因素两水平的正交试验及分析问题，,因此要选择,型的表，且不考虑交互作用时，,，,仍然是满足条件的最小的正交表，,所以选用正交表,注：也可由试验次数应满足的条件来选择正交表。,若考虑,A,与,B,、,A,与,C,的交互作用，则,，而,是满足条件的最小的正交表，,所以还可选用正交表,其中：,由 确定。,是可求出的，而 是未知的，,当不考虑交互作用时：可取,故,N,不是唯一的。,试验次数,N,的确定原则,所以一般地，由,确定,N,，,如三因素四水平,4,3,的正交试验至少应安排,次以上的试验。,如三因素四水平,4,3,并包括第一、二个因素的交互,作用,的正交试验至少应安排的试验次数为,若再加上包括第一、五个因素的交互作用的正交试验则至少应安排的试验次数为,次以上的试验。,又如安排 的混合水平的正交试验至少应安排,所以一般地，有,第二步 表头设计,查交互作用表,表示位于第二、第四列的两因素的交互作用要放于第六列。,如,P,190,L,8,（,2,7,）的交互作用表,列号,1 2 3 4 5 6 7,1,（,1,）,3 2 5 4 7 6,2,（,2,）,1 6 7 4 5,3,（,3,）,7 6 5 4,4,（,4,）,1 2 3,5,（,5,）,3 2,6,（,6,）,1,注意：主效应因素尽量不放交互列。如,A,、,B,因素已放,C1,、,C,2,列，则,C,因素就不放,C3,列。,花菜留种的表头设计,列号,1 2 3 4 5 6 7,因子,考虑交互作用,A,B,和,A,C,，则例,1,的表头可设计为,注：第,6,列为空白列，当随机误差列；也可把第,7,列,作空白列。一般要求至少有一个空白列。,按正交表 得试验方案：,只需将各列中的数字“,1”,、“,2”,分别理解为所填因素,在试验中的水平数，每一行就是一个试验方案。,第三步 按所选定的正交试验方案组织试验，记录试验,结果；,见,P192,表,8-22,水 列,平 号,试验号,A,B,AXB,C,AXC,D,产量,1,2,3,4,5,6,7,1,1,1,1,1,1,1,1,350,2,1,1,1,2,2,2,2,325,3,1,2,2,1,1,2,2,425,4,1,2,2,2,2,1,1,425,5,2,1,2,1,2,1,2,200,6,2,1,2,2,1,2,1,250,7,2,2,1,1,2,2,1,275,8,2,2,1,2,1,1,2,375,第四步 分析正交试验结果,方法,1,直观分析（极差分析）,（,1,）计算极差，确定因素的主次顺序,第,j,列的极差,或,极差越大，说明这个因素的水平改变对试验结果的,影响越大，极差最大的那个因素，就是最主要的因素。,对例,1,来说，各因素的主次顺序为,（,2,）确定最优方案,如果不考虑交互作用，则根据各因素在各水平下的,总产量或平均产量的高低确定最优方案；如果考虑交互,作用，则取各种搭配下产量的平均数，按优化标准确定,最优方案。,本例中，不考虑交互作用，在方案,A,1,B,2,C,2,D,2,最优，,但交互作用,A,C,是第三重要因素，所以需考虑,A,、,C,的搭,配对实验指标的影响，取,A,i,B,j,的各种搭配的平均数，结,果是,A,1,与,C,1,搭配最好，故本问题的最优方案为,A,1,B,2,C,1,D,2,。,方法,2,方差分析法,基本思想与双因素方差分析方法一致：将总的,离差平方和分解成各因素及各交互作用的离差平方,和，构造,F,统计量，对各因素是否对试验指标具有,显著影响，作,F,检验。,要求：能利用,MINITAB,完成正交试验的方差分析。,例,1,的上机操作,按正交表及试验结果输入数据。,不写,C3,不写,C5,要表明是交互作用,F1,表示该因子的影响力比试验,误差更小，不必理会，（严重无统计,意义）去掉这些因子，将它们造成的,微小差异归到试验误差中（软件会自,动处理），则可突显其它因子的影响。,去掉,C1*C2,，,C6,后再作方差分析。,由,P,值知，因素,A,（,C1,）的影响力最大，,B,（,C2,）次之，,再次之是交互作用,A*C,（,C1*C4,）。按此顺序，再根据各,相关因子各水平的均值确定最优组合。,选,A,1,选,B,2,在选,A,1,的前题下选,C,1,最后，,C6,（,D,）,无统计意义，选那,一个水平都可以，,故得两最优组合：,A,1,B,2,C,1,D,1,和,A,1,B,2,C,1,D,2,作业,P198,6(,利用软件,MINITAB,完成方差分析法,),预习：第九章 第一节,