高中数学第二章推理与证明23数学归纳法选修.ppt

,第二章推理与证明,2.3,数学归纳法,1.,了解数学归纳法的原理,.,2.,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题,.,问题导学,题型探究,达标检测,学习目标,知识点数学归纳法,问题导学,新知探究 点点落实,答案,对于一个与正整数有关的等式,n,(,n,1)(,n,2),(,n,50),0.,思考,1,验证,n,1,，,n,2,，,，,n,50,时等式成立吗？,答,成立,.,思考,2,能否通过以上归纳出,n,51,时等式也成立？为什么？,答,不能，上面的等式只对,n,取,1,至,50,的正整数成立,.,(1),数学归纳法的定义,一般地，证明一个与,n,有关的命题，可按下列步骤进行：,假设当,n,k,(,k,n,0,，,k,N,*,),时命题成立，证明当,_,时命题也成立,正整数,n,k,1,答案,答案,返回,只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从,n,0,开始的所有正整数,n,都成立,.,这种证明方法叫做数学归纳法,.,(2),数学归纳法的框图表示,n,=,n,0,从,n,0,开始所,n,=,k,n,=,k,+1,有的正整数,题型探究,重点难点 个个击破,类型一用数学归纳法证明等式,例,1,(1),用数学归纳法证明,(,n,1)(,n,2),(,n,n,),2,n,1,3,(2,n,1)(,n,N,*,),，,“,从,k,到,k,1,”,左端增乘的代数式为,_.,2(2,k,1),答案,当,n,k,1,时，等式成立,.,由,可知，对一切,n,N,*,等式成立,.,反思与感悟,数学归纳法证题的三个关键点：,(1),验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是,1.,(2),递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，所以从,“,k,”,到,“,k,1,”,的过程中，要正确分析式子项数的变化,.,关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由,n,k,到,n,k,1,时，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项,.,(3),利用假设是核心：在第二步证明,n,k,1,成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设,“,n,k,时命题成立,”,作为条件来导出,“,n,k,1,”,，在书写,f,(,k,1),时，一定要把包含,f,(,k,),的式子写出来，尤其是,f,(,k,),中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法,.,反思与感悟,解析答案,左边右边,.,所以当,n,1,时等式成立,.,假设当,n,k,(,k,N,*,),时等式成立，即：,解析答案,则当,n,k,1,时，左边,当,n,k,1,时等式成立,.,由,知，对一切,n,N,*,等式成立,.,类型二利用数学归纳法证明不等式,解析答案,反思与感悟,(2),假设当,n,k,时，不等式成立，,解析答案,反思与感悟,解析答案,反思与感悟,所以当,n,k,1,时不等式成立,.,由,(1)(2),知，不等式对一切,n,N,*,都成立,.,反思与感悟,反思与感悟,用数学归纳法证明不等式的四个关键：,(1),验证第一个,n,的值时，要注意,n,0,不一定为,1,，若,n,k,(,k,为正整数,),，则,n,0,k,1.,(2),证明不等式的第二步中，从,n,k,到,n,k,1,的推导过程中，一定要用到归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设,.,(3),用数学归纳法证明与,n,有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对,n,取前几个值的情况分别验证比较，,反思与感悟,以免出现判断失误，最后猜出从某个,n,值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明,.,(4),用数学归纳法证明不等式的关键是由,n,k,时成立得,n,k,1,时成立，主要方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等,.,解析答案,(2),假设当,n,k,(,k,N,*,，,k,1),时，不等式成立，,解析答案,当,n,k,1,时，不等式成立,.,由,(1)(2),知对于任意正整数,n,，不等式成立,.,类型三归纳,猜想,证明,解析答案,(1),求,a,2,，,a,3,；,解析答案,反思与感悟,(2),猜想数列,a,n,的通项公式，并证明,.,解析答案,证明：,当,n,1,时，由,(1),可知等式成立；,反思与感悟,S,k,1,(,k,1)(2,k,1),a,k,1,，,这就证明了当,n,k,1,时命题成立,.,由,可知命题对任何,n,N,*,都成立,.,反思与感悟,反思与感悟,1.,“,归纳,猜想,证明,”,的解题步骤,2.,归纳法的作用,归纳法是一种推理方法，数学归纳法是一种证明方法,.,归纳法帮助我们提出猜想，而数学归纳法的作用是证明猜想,.,“,观察,猜想,证明,”,是解答与自然数有关命题的有效途径,.,(1),求,a,1,，,a,2,，,a,3,，并猜想,a,n,的通项公式；,解析答案,解,当,n,1,时，,(2),证明通项公式的正确性,.,解析答案,返回,证明,由,(1),知，当,n,1,2,3,时，通项公式成立,.,假设当,n,k,(,k,3,，,k,N,*,),时，通项公式成立，,解析答案,返回,即当,n,k,1,时，通项公式也成立,.,达标检测,1,2,3,4,1.,用数学归纳法证明,3,n,n,3,(,n,3,，,n,N,),第一步应验证,(,),A.,n,1 B.,n,2,C.,n,3 D.,n,4,C,解析,由题意知，,n,的最小值为,3,，所以第一步验证,n,3,是否成立,.,解析答案,1,2,3,4,2.,用数学归纳法证明,“,1,a,a,2,a,2,n,1,(,a,1),”.,在验证,n,1,时，左端计算所得项为,(,),A.1,a,B.1,a,a,2,C.1,a,a,2,a,3,D.1,a,a,2,a,3,a,4,C,解析答案,解析,将,n,1,代入,a,2,n,1,得,a,3,，故选,C.,1,2,3,4,3.,用数学归纳法证明,1,2,2,2,2,n,1,2,n,1(,n,N,*,),的过程如下：,(1),当,n,1,时，左边,1,，右边,2,1,1,1,，等式成立,.,(2),假设当,n,k,(,k,N,*,),时等式成立，即,1,2,2,2,2,k,1,2,k,1,，则当,n,k,1,时，,1,2,2,2,2,k,1,2,k,2,k,1,1.,所以当,n,k,1,时等式也成立,.,由此可知对于任何,n,N,*,，等式都成立,.,上述证明的错误是,_.,解析答案,1,2,3,4,解析,本题在由,n,k,成立，,证,n,k,1,成立时，,应用了等比数列的求和公式，,而未用上假设条件，,这与数学归纳法的要求不符,.,答案,未用归纳假设,1,2,3,4,4.,请观察以下三个式子：,归纳出一般的结论，并用数学归纳法证明之,.,解析答案,1,2,3,4,证明：,当,n,1,时，左边,3,，右边,3,，所以左边右边,.,假设当,n,k,(,k,1,，,k,N,*,),时，命题成立，,则当,n,k,1,时，,1,3,2,4,k,(,k,2),(,k,1)(,k,3),解析答案,1,2,3,4,所以当,n,k,1,时命题成立，,由,知，命题成立,.,在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：,(1),验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为,1,；,(2),递推是关键：正确分析由,n,k,到,n,k,1,时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；,(3),利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明,规律与方法,返回,