高二数学课件第二章第十一节导数概念导数运算.ppt

第十一节 导数概念、导数的运算,1.,物体的瞬时速度及函数,f(x),在,x=x,0,处的导数,(1),瞬时速度,若物体的运动方程为,s=f(t),，则物体在任意时刻,t,的瞬时速度,v(t),就是平均速度,v(t,d)=_,在,d,趋于,0,时的极限,.,(2),函数,f(x),在,x=x,0,处的导数,定义：设函数,f(x),在包含,x,0,的某个区间上有定义，如果比值,在,d,趋于,0,时,(d0),趋于,_,，则称,此,_,为函数,f(x),在,x=x,0,处的导数或,_,，记作,_.,符号表示为,_f(x,0,)(d0).,确定的极限值,极限值,微商,f(x,0,),【,即时应用,】,(1),思考：,f(x,0,),与,(f(x,0,),相等吗？,提示：,在对导数的概念进行理解时，特别要注意,f(x,0,),与,(f(x,0,),是不一样的，,f(x,0,),代表函数,f(x),在,x=x,0,处的导数值，不一定为,0,；而,(f(x,0,),是函数值,f(x,0,),的导数，而函数值,f(x,0,),是一个常量，其导数一定为,0,，即,(f(x,0,)=0.,(2),有一机器人的运动方程为,s=t,2,+(t,是时间，,s,是位移,),，则,该机器人在时刻,t=1,时的瞬时速度为,_.,【,解析,】,s=t,2,+,v=s(t)=2t-.,该机器人在时刻,t=1,时的瞬时速度为：,s(1)=21-=1.,答案：,1,2.,函数,f(x),的导函数,(1),若,x,取定义域内的任意一点，则,d,趋于,0,时，比值,_,的极限值叫作,f(x),的导函数，记作,_.,(2),符号表示为,_f(x)(d0).,f(x),【,即时应用,】,(1),思考：,f(x),与,f(x,0,),有何区别与联系,?,提示,:,f(x),是,x,的一个函数,f(x,0,),是常数,是,f(x),在点,x,0,处的一个函数值,.,(2)f(x),是,f(x)=x,3,+2x+1,的导函数，则,f(-1),的值是,_.,【,解析,】,f(x)=x,3,+2x+1,f(x)=x,2,+2,f(-1)=(-1),2,+2=3.,答案：,3,3.,导数的实际意义,(1),物理意义,若物体的运动方程为,s=f(t),则,f(t),为物体在任意时刻,t,的,_,_.,(2),几何意义,函数,f(x),在点,x,0,处的导数,f(x,0,),的几何意义是在曲线,y=f(x),上点,_,处的,_.,相应地，切线方程为,_.,瞬,时速度,v(t),(x,0,f(x,0,),切线的斜率,y-f(x,0,)=f(x,0,)(x-x,0,),【,即时应用,】,(1),思考：曲线,y=f(x),在点,P,0,(x,0,y,0,),处的切线与过点,P,0,(x,0,y,0,),的切线,两说法有区别吗,?,提示,:,有,.,前者,P,0,一定为切点,而后者,P,0,不一定为切点,.,(2),曲线,y=x,2,在点,(1,1),处的切线斜率是,_.,【,解析,】,y=2x,，曲线,y=x,2,在点,(1,1),处的切线斜率是,2.,答案：,2,(3),函数,f(x)=lnx,的图象在点,(e,f(e),处的切线方程是,_.,【,解析,】,f(e)=,，,所求的切线方程为,y-f(e)=f(e)(x-e),，,即,y-lne=(x-e),，化简得,x-ey=0.,答案：,x-ey=0,(4),曲线,y=sinx+cosx,在,x=,处的切线方程是,_.,【,解析,】,根据,y=sinx+cosx,求导可得,y=cosx-sinx,，所以当,x=,时，,y=-1,又因为切线过点,(,-1),，所以可得曲线在,x=,处的切线方程为,y+1=-(x-),即,y=-x+-1.,答案：,y=-x+-1,4.,一些基本的初等函数的导数公式表,(,公式对函数定义域内的自变量,x,有效,),原函数,导函数,f(x)=C,f(x)=_,f(x)=x,(0),f(x)=_,f(x)=e,x,f(x)=_,f(x)=a,x,(a,0,a1),f(x)=_,0,e,x,a,x,(lna)(a,0,a1),原函数,导函数,f(x)=lnx(x,0),f(x)=_,f(x)=log,a,x(a,0,a1,x,0),f(x)=_,_,f(x)=sinx,f(x)=_,f(x)=cosx,f(x)=_,(a,0,a1,x,0),cosx,-sinx,【,即时应用,】,(1)y=x,-5,，则,y=_.,(2)y=4,x,，则,y=_.,(3)y=log,3,x,，则,y=_.,(4)y=sin,，则,y=_.,答案：,(1)-5x,-6,(2)4,x,ln4 (3)(4)0,5.,导数运算法则,(1)(,f(x)=,f(x);,(2)(f(x)g(x)=_;,(3)(f(x)g(x)=_;,(4)=_(f(x)0);,(5)=_(f(x)0).,(6),若,y=f(u),u=g(x),则,y,x,=f,u,u,x,.,f(x)g(x),f(x)g(x)+f(x)g(x),【,即时应用,】,(1)y=x,3,+sinx,，则,y=_.,(2)y=(2x,2,+3)(3x-2),，则,y=_.,(3)f(x)=,，则,f(x)=_.,(4)f(x)=e,-x,+ln(2x+1),则,f(x)=_.,【,解析,】,(1)y=(x,3,)+(sinx)=3x,2,+cosx.,(2)y=(2x,2,+3)(3x-2)+(2x,2,+3)(3x-2),=4x(3x-2)+(2x,2,+3)3=18x,2,-8x+9.,或：,y=6x,3,-4x,2,+9x-6,y=18x,2,-8x+9.,(3)f(x)=,(4)f(x)=,答案：,(1)3x,2,+cosx (2)18x,2,-8x+9 (3),(4),热点考向,1,根据导数的定义求函数的导数,【,方法点睛,】,根据导数的定义求函数,y=f(x),在点,x,0,处导数的步骤,(1),求差：即,f(x,0,+d)-f(x,0,).,(2),求比：即,(3),令,d,趋于,0,得导数,.,【,例,1】,用导数定义求函数,f(x)=,在,x=1,处的导数,.,【,解题指南,】,本题是利用定义求函数的导数，所以可先求出,f(x,0,+d)-f(x,0,),再求 当,d,趋于,0,时，趋于何值，,即为所求结果,.,【,规范解答,】,f(1+d)-f(1)=,=,当,d,趋于,0,时，此式趋于,-,，,f(1)=-.,【,反思,感悟,】,根据导数定义求简单函数的导数不作重点要求，考试时不宜使用定义求导，而是应用导数公式和运算法则求解,.,【,变式训练,】,一质点运动的方程为,s=8-3t,2,.,(1),求质点在,1,1+d,这段时间内的平均速度,;,(2),求质点在,t=1,时的瞬时速度,(,用定义及导数公式两种方法,).,【,解析,】,(1)s=8-3t,2,s(1+d)-s(1)=8-3(1+d),2,-(8-31,2,)=-6d-3d,2,=-6-3d (*),(2),定义法,:,质点在,t=1,时的瞬时速度,由,(1),知，当,d,趋于,0,时，,(*),式趋于,-6,，即质点在,t=1,时的瞬时,速度为,-6.,导数公式法,:,质点在,t,时刻的瞬时速度,v=s(t)=(8-3t,2,)=-6t.,当,t=1,时,v=-61=-6.,热点考向,2,导数的运算,【,方法点睛,】,函数求导的原则,对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误,.,【,提醒,】,化简函数时，乘积的形式常化成和、差的形式，根式化为分数指数幂的形式，较复杂的公式化为简单公式的和或差,.,熟记导数公式和求导法则是运算关键,.,【,例,2】,(1),若,f(x)=x,2,-2x-4lnx,，则,f(x),0,的解集为,(),(A)(0,+)(B)(-1,0)(2,+),(C)(2,+)(D)(-1,0),(2),求下列函数的导数：,y=(2x,2,-1)(3x+1),；,y=,y=,y=3,x,e,x,-2,x,+e.,【,解题指南,】,(1),首先求出,f(x),的导数，再解不等式；,(2),借助于导数公式及运算法则求导,.,【,规范解答,】,(1),选,C.f(x)=2x-2-,0,即 ,0,x,0,(x-2)(x+1),0,x,2.,(2),方法一：由题可以先展开解析式然后再求导：,y=(2x,2,-1)(3x+1)=6x,3,+2x,2,-3x-1,，,y=(6x,3,+2x,2,-3x-1),=(6x,3,)+(2x,2,)-(3x)=18x,2,+4x-3.,方法二：由题可以利用乘积的求导法则进行求导：,y=(2x,2,-1)(3x+1)+(2x,2,-1)(3x+1),=4x(3x+1)+3(2x,2,-1)=12x,2,+4x+6x,2,-3,=18x,2,+4x-3.,根据题意把函数的解析式整理变形可得：,y=,y=,根据题意利用除法的求导法则进行求导可得：,根据求导法则进行求导可得：,y=(3,x,e,x,)-(2,x,)+e=(3,x,)e,x,+3,x,(e,x,)-(2,x,),=3,x,ln3e,x,+3,x,e,x,-2,x,ln2=(3e),x,ln3e-2,x,ln2.,【,反思,感悟,】,准确熟练地掌握基本初等函数的导数和导数的运算法则，根据所给函数解析式的特点，灵活选择解题方法决定了解题是否正确、顺利,.,一般说来，分式函数求导，要先观察函数的结构特征，可化为整式函数或较为简单的分式函数；对数函数的求导，可先化为和、差的形式；三角函数的求导，先利用三角函数公式转化为和或差的形式,.,【,变式训练,】,(2012,厦门模拟,),函数,y=mx,2m-n,的导数为,y=4x,3,则,(),(A)m=1,n=2 (B)m=-1,n=2,(C)m=,1,n=,2 (D)m=1,n=,2,【,解析,】,选,D.,由题可得,y=(2m-n)mx,2m-n-1,=4x,3,，,对应相等可得,，解得,m=1,n=,2.,热点考向,3,导数的几何意义,【,方法点睛,】,1.,导数的几何意义,函数在切点处的导数是该点处切线的斜率,.,2.,导数几何意义的应用,已知切点坐标可以求斜率，已知斜率也可以求切点坐标,.,当,所给的点,A(x,0,y,0,),是切点时，切线斜率,k=f(x,0,).,当所给的,点,M(a,b),不是切点时，可以设出切点,P(x,0,y,0,),，,则,f(x,0,)=,3.,求切线方程的方法步骤,曲线,y=f(x),在点,P(x,0,f(x,0,),处的切线方程，可按如下方式求得：,第一，求出函数,y=f(x),在,x=x,0,处的导数，即曲线,y=f(x),在点,P(x,0,f(x,0,),处切线的斜率；,第二，在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程,y-f(x,0,)=f(x,0,)(x-x,0,),；如果曲线,y=f(x),在点,P(x,0,f(x,0,),处的切线平行于,y,轴,(,此时导数不存在,),时，由切线的定义可知，切线的方程为,x=x,0,.,【,提醒,】,利用导数的几何意义求曲线的有关切线的问题时，一定要抓住切点的多面性：在曲线上，在切线上，该点处的导数是切线斜率,.,【,例,3】,(1),曲线,y=,在点,M(,0),处的切线的斜率,为,(),(A)-(B),(C)-(D),(2),曲线,y=x,3,+11,在点,P(1,，,12),处的切线与,y,轴交点的纵坐标是,(),(A)-9 (B)-3,(C)9 (D)15,(3)(2012,莆田模拟,),设,f(x)=xlnx+1,，若,f(x,0,)=2,，则,f(x),在点,(x,0,y,0,),处的切线方程为,_.,【,解题指南,】,利用导数的几何意义，,(1),先计算,y,，再求出,x=,时,y,的值，即可得到切线斜率；,(2),先求出切线方程，再,得到与,y,轴交点的纵坐标；,(3),先求导，解方程得出,x,0,f(x,0,),，,用点斜式求得切线方程,.,【,规范解答,】,(1),选,B.,y=,=,所以,x=,时，,y=,(2),选,C.y=3x,2,，切线斜率为,3,切线方程为,y=3x+9,，与,y,轴交点的纵坐标是,9.,(3)f(x)=xlnx+1,，,f(x)=lnx+1,又,f(x,0,)=2,lnx,0,+1=2,解得,x,0,=e,f(x,0,)=e+1,故切线方程为,y-(e+1)=2(x-e),，,即,2x-y-e+1=0.,答案：,2x-y-e+1=0,【,互动探究,】,若把本例,(2),中“在点,P(1,12),处”改为“过点,(1,12)”,，则此时切线与,y,轴交点的纵坐标又是什么,?,【,解析,】,当,P,为切点时，由例题,(2),知，切线与,y,轴交点的纵坐,标为,9.,当,P,不是切点时，设切点坐标为,(x,0,y,0,),，,则 ，即 ，解得,x,0,=-,，,切点为,(-,),，切线斜率,k=3(-),2,=,切线方程为,y=x+,，与,y,轴交点的纵坐标为,.,【,反思,感悟,】,1.,要体会切线定义中的运动变化思想，由割线切线，由两个不同的公共点无限接近重合,(,切点,).,2.,审题时注意所给点是否是切点,.,【,变式备选,】,1.(2012,漳州模拟,),设函数,f(x),是,R,上以,5,为周期的可导偶函数，,则曲线,y=f(x),在,x=5,处的切线的斜率为,(),(A)-(B)0,(C)(D)5,【,解析,】,选,B.f(x),是,R,上以,5,为周期的可导偶函数，,y=f(x),在,x=5,处的切线的斜率与在,x=0,处的切线的斜率相同，,又,y=f(x),为偶函数，,y=f(x),在,x=0,两侧的单调性相反,(,常数函数除外,).,该函数在,x=0,处切线的斜率为,0.,2.(2012,宁波模拟,),已知函数,f(x),在,R,上满足,f(x)=2f(2-x)-,x,2,+8x-8,，则曲线,y=f(x),在点,(1,f(1),处的切线方程是,(),(A)y=2x-1 (B)y=x,(C)y=3x-2 (D)y=-2x+3,【,解析,】,选,A.,由,f(x)=2f(2-x)-x,2,+8x-8 ,得,f(2-x)=2f(x)-(2-x),2,+8(2-x)-8,，,即,2f(x)-f(2-x)=x,2,+4x-4,，,由得,3f(x)=3x,2,，,f(x)=x,2,f(x)=2x,，切线方程为,y-1=2(x-1),，,即,y=2x-1,故选,A.,3.(2012,莆田模拟,),若曲线,y=,在点,(a,),处的切线与两个,坐标轴围成的三角形的面积为,18,，则,a=(),(A)64 (B)32,(C)16 (D)8,【,解析,】,选,A.,曲线,y=,过点,(a,),且,y=.,曲线,y=,在点,(a,),处的切线斜率,k=,且,a0,切线方程为：,y-=(x-a).,该直线与两坐标轴的交点坐标分别为,(3a,0),(0,),三角形的面积为：,S=3a =.,依题意得：,=18,a=64.,1.(2013,南平模拟,),已知函数,f(x),的导函数为,f(x),，且满足,f(x),2xf(1),x,2,，则,f(1),(),(A),1,(B),2,(C)1,(D)2,【,解析,】,选,B.f(x),2f(1),2x,，令,x,1,，得,f(1),2f(1),2,，,f(1),2.,2.(2013,福州模拟,),如图，函数,y=f(x),的图象在点,P(5,f(5),处的切线方程是,y=-x+8,，则,f(5)+f(5)=(),(A)(B)1,(C)2 (D)0,【,解析,】,选,C.,点,P(5,f(5),在切线,y=-x+8,上,f(5)=-5+8=3,由导数的几何意义知,f(5)=-1,f(5)+f(5)=3+(-1)=2.,3.(2012,广东高考,),曲线,y=x,3,-x+3,在点,(1,，,3),处的切线方程为,_.,【,解析,】,y=3x,2,-1,y|,x=1,=3-1=2,切线方程为,y-3=2(x-1),即,2x-y+1=0.,答案,:,2x-y+1=0,4.(2012,漳州模拟,),若曲线,f(x)=ax,2,+lnx,存在垂直于,y,轴的切线，,则实数,a,的取值范围是,_.,【,解析,】,由题意知该函数的定义域为,x,0,，,f(x)=2ax+.,因为,存在垂直于,y,轴的切线，故此时斜率为,0,，问题转化为,x,0,范围内,导函数,f(x)=2ax+,存在零点,.,等价于方程,2ax+=0,在,(0,+),内有解，显然可得,a=-(-,0).,答案：,(-,0),5.(2012,三明模拟,),已知函数,f(x)=+ln(x+1),其中实数,a-1.,(1),若,a=3,求,y=f(x),在点,(0,，,f(0),处的切线方程；,(2),若,f(x),在,x=1,处取得极值，试讨论,f(x),的单调性,.,【,解析,】,(1)a=3,f(x)=+ln(x+1),f(x)=,k,切,=f(0)=,f(0)=-.,切线方程为,y+=(x-0),即,：,y=x-.,(2)f(x)=,f(1)=0,a=-3.,f(x)=+ln(x+1),f(x)=,又,f(x),的定义域为,即,x|x-1,且,x3.,当,x(-1,1,和,x,7,+),时，,f(x)0,当,x,1,3),和,(3,，,7,时，,f(x)0,f(x),的单调增区间是,(-1,，,1,和,7,+).,单调减区间是,1,3),和,(3,7,.,