河北衡水中学2019届全国高三数学第一次摸底联考.doc
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1、河北衡水中学2019届全国高三第一次摸底联考理科数学本试卷4页,23小题,满分150分。考试时间120分钟。注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置。2.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效。3.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上。4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.复数在复平面内对应的点位于A.第
2、一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知全集,则A.B.C.D.3.某地某所高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍,为了更好地对比该校考生的升学情况,统计了该校2015年和2018年的高考情况,得到如下柱状图: 2015年高考数据统计2018年高考数据统计则下列结论正确的是A.与2015年相比,2018年一本达线人数减少B.与2015年相比,2018年二本达线人数增加了0.5倍C.与2015年相比,2018年艺体达线人数相同D.与2015年相比,2018年不上线的人数有所增加4.已知等差数列的公差为2,前项和为,且,则的值为A.11B.12C.13D.145.
3、已知是定义在上的奇函数,若时,则时,A.B.C.D.6.已知椭圆和直线,若过的左焦点和下顶点的直线与平行,则椭圆的离心率为A.B.C.D.7.如图,在平行四边形中,对角线与交于点,且,则A.B.C.D.8.某几何体的三视图如图所示,则此几何体A.有四个两两全等的面B.有两对相互全等的面C.只有一对相互全等的面D.所有面均不全等9.赵爽是我国古代数学家、天文学家,大约在公元222年,赵爽为周碑算经一书作序时,介绍了“勾股圆方图”,亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的).类比“赵爽弦图”,可类似地构造如图所示的图形,它是由3个全等的三角形与
4、中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形,设,若在大等边三角形中随机取一点,则此点取自小等边亚角形的概率是A.B.C.D.10.已知函数(为自然对数的底数),若关于的方程有两个不相等的实根,则的取值范围是A.B.C.D.11.已知双曲线的左、右焦点分别为,过作圆的切线,交双曲线右支于点,若,则双曲线的渐近线方程为A.B.C.D.12.如图,在正方体中,点,分别为棱,的中点,点为上底面的中心,过,三点的平面把正方体分为两部分,其中含的部分为,不含的部分为,连结和的任一点,设与平面所成角为,则的最大值为A.B.C.D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知实数,满足约束条件
5、,则的最小值为_.14.已知数列,若数列的前项和,则的值为_.15.由数字0,1组成的一串数字代码,其中恰好有7个1,3个0,则这样的不同数字代码共有_个.16已知函数的图像关于直线对称,当时,的最大值为_.三、解答题:共70分。解答应写出文学说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题,每个考试都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:60分。17.(12分)如图,在中,是边上的一点,.(1)求的长;(2)若,求的值.18.(12分)在中,分别为,的中点,如图1.以为折痕将折起,使点到达点的位置,如图2.(1)证明:平面平面;(2)若平面平面,求直线与平面所成角的
6、正弦值。如图1如图219.(12分)某高校为了对2018年录取的大一理工科新生有针对性地进行教学,从大一理工科新生中随机抽取40名,对他们2018年高考的数学分数进行分析,研究发现这40名新生的数学分数在内,且其频率满足(其中,).(1)求的值;(2)请画出这20名新生高考数学分数的频率分布直方图,并估计这40名新生的高考数学分数的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(3)将此样本的频率估计为总体的概率,随机调查4名该校的大一理工科新生,记调查的4名大一理工科新生中“高考数学分数不低于130分”的人数为随机变量,求的数学期望.20.(12分)已知抛物线的焦点为,是上一点,且.(1
7、)求的方程;(2)设点是上异于点的一点,直线与直线交于点,过点作轴的垂线交于点,证明:直线过定点.21.(12分)已知函数.(1)当时,求证:;(2)讨论函数的零点的个数。(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。22.选修4-4:坐标系与参数方程(10分)在平面直角坐标系中,以为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为;直线的参数方程为(为参数),直线与曲线分别交于,两点.(1)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;(2)若点的极坐标为,求的值.23.选修4-5:不等式选讲(10分)已知函数.(1)求不等式的解集;(2)若
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