高二椭圆知识点小结.doc
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1、椭圆知识点1. 知识要点小结:知识点一:椭圆的定义平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数 ,这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意:若,则动点的轨迹为线段;若,则动点的轨迹无图形.知识点二:椭圆的标准方程1当焦点在轴上时,椭圆的标准方程:,其中2当焦点在轴上时,椭圆的标准方程:,其中;注意:1只有当椭圆的中心为坐标原点,对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到椭圆的标准方程;2在椭圆的两种标准方程中,都有和;3椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时,椭圆的焦点坐标为,;当焦点在轴上时,椭圆的焦点坐标为,4.一般方程是表示椭圆的条件方程可化为,即,所以
2、只有A、B、C同号,且AB时,方程表示椭圆。当时,椭圆的焦点在轴上;当时,椭圆的焦点在轴上。知识点三:椭圆的简单几何性质椭圆:的简单几何性质(1)对称性:对于椭圆标准方程:说明:把换成、或把换成、或把、同时换成、原方程都不变,所以椭圆是以轴、轴为对称轴的轴对称图形,并且是以原点为对称中心的中心对称图形,这个对称中心称为椭圆的中心。(2)范围:椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满足,。(3)顶点:椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点,坐标分别为 , 线段,分别叫做椭圆的长轴和短轴,,。和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。(4)
3、离心率:椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用表示,记作。因为,所以的取值范围是。越接近1,则就越接近,从而越小,因此椭圆越扁;反之,越接近于0,就越接近0,从而越接近于,这时椭圆就越接近于圆。 当且仅当时,这时两个焦点重合,图形变为圆,方程为。注意:椭圆的图像中线段的几何特征(如下图):(1);(2);(3);知识点四:椭圆 与 的区别和联系标准方程 图形性质焦点,焦距 范围,对称性关于轴、轴和原点对称顶点,轴长长轴长=,短轴长= 离心率准线方程焦半径,注意:椭圆,的相同点:形状、大小都相同;参数间的关系都有和,;不同点:两种椭圆的位置不同;它们的焦点坐标也不相同。2.典型例题一、已知
4、椭圆焦点的位置,求椭圆的标准方程。例1:已知椭圆的焦点是F1(0,1)、F2(0,1),P是椭圆上一点,并且PF1PF22F1F2,求椭圆的标准方程。解:由PF1PF22F1F2224,得2a4.又c1,所以b23.所以椭圆的标准方程是1. 2已知椭圆的两个焦点为F1(1,0),F2(1,0),且2a10,求椭圆的标准方程解:由椭圆定义知c1,b.椭圆的标准方程为1.二、未知椭圆焦点的位置,求椭圆的标准方程。例:1. 椭圆的一个顶点为,其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的标准方程分析:题目没有指出焦点的位置,要考虑两种位置解:(1)当为长轴端点时,椭圆的标准方程为:;(2)当为短轴端点时,椭圆的标
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