中国矿业大学环境与测绘学院测绘工程测量平差第七.pptx
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1、1第七章第七章 误差分布与平差参数的统计假设检验误差分布与平差参数的统计假设检验 前面几章所讲述的几种经典的平差数学模型,在前面几章所讲述的几种经典的平差数学模型,在最小二乘原则下进行平差计算时,得到的平差值和最小二乘原则下进行平差计算时,得到的平差值和参数估值均是最优无偏估计量,但必须有下列情况参数估值均是最优无偏估计量,但必须有下列情况成立:其一是假定观测值中只含有偶然误差(又称成立:其一是假定观测值中只含有偶然误差(又称为随机误差),或者说偶然误差是观测误差的主要为随机误差),或者说偶然误差是观测误差的主要成分,其它类型的误差很小,与偶然误差相比,可成分,其它类型的误差很小,与偶然误差相
2、比,可以忽略不计,因此,可视观测值为服从正态分布的以忽略不计,因此,可视观测值为服从正态分布的随机变量,也就是说,其数学期望等于真值,随机变量,也就是说,其数学期望等于真值,即即 (或说观测误差是服从正态分布的随机变量,其数(或说观测误差是服从正态分布的随机变量,其数学期望为零,即学期望为零,即 ););2其二是在平差前确定观测值的权时,假定母体的其二是在平差前确定观测值的权时,假定母体的方差方差 为已知,用式为已知,用式 或用基于上式的或用基于上式的导出式计算(例如,在水准测量中,用式导出式计算(例如,在水准测量中,用式 或或 )。如果上述两个条件不能成立,则最小二乘平)。如果上述两个条件不
3、能成立,则最小二乘平差得到的平差值和参数估值不是最优无偏估计量。差得到的平差值和参数估值不是最优无偏估计量。因此,必须对上述假定或者说对误差分布与平差因此,必须对上述假定或者说对误差分布与平差参数的正确性进行检验。参数的正确性进行检验。由于采用的检验方法在数学上是数理统计学由于采用的检验方法在数学上是数理统计学的内容,故本章阐述误差分布与平差参数的统的内容,故本章阐述误差分布与平差参数的统计假设检验方法。计假设检验方法。37-1 概述概述一、统计假设检验的概念一、统计假设检验的概念统计假设统计假设 在母体的未知分布上所作的某种假设称为在母体的未知分布上所作的某种假设称为统计假设(习惯上将原假设
4、记为统计假设(习惯上将原假设记为 ;备选假设记为;备选假设记为 )。)。统计假设分为参数假设和非参数假设。所谓参数假统计假设分为参数假设和非参数假设。所谓参数假设就是对母体分布中的参数所作的假设;非参数假设就是对母体分布中的参数所作的假设;非参数假设就是对母体分布函数所作的假设。设就是对母体分布函数所作的假设。4参数假设参数假设 例如,某糖厂用自动包装机将糖装例如,某糖厂用自动包装机将糖装箱,每箱规定的重量为箱,每箱规定的重量为100斤。每天开工时,需斤。每天开工时,需要先检验一下包装机工作是否正常。根据以往的要先检验一下包装机工作是否正常。根据以往的经验知,用自动包装机装箱,其各箱重量的标准
5、经验知,用自动包装机装箱,其各箱重量的标准差差 斤,且包装的重量变化服从正态变化。斤,且包装的重量变化服从正态变化。某日开工后,抽测了某日开工后,抽测了9箱,其重量如下(单位:箱,其重量如下(单位:斤):斤):99.3,98.7,100.5,101.2,98.3,99.7,99.5,102.1,100.5试问此包装机工作是否正常。试问此包装机工作是否正常。5 在这个例子中,我们关心的问题是:包装机工在这个例子中,我们关心的问题是:包装机工作是否正常,即包装机装出的糖箱的平均重量是否作是否正常,即包装机装出的糖箱的平均重量是否符合标准符合标准100斤。因此,此例可作如下处理:先假斤。因此,此例可
6、作如下处理:先假设母体的平均值设母体的平均值u=100斤(原假设记为斤(原假设记为 :u=100斤),然后利用上述抽取的斤),然后利用上述抽取的9个数据,来推个数据,来推断我们所作的这一假设的正确性,从而判定接受还断我们所作的这一假设的正确性,从而判定接受还是拒绝这种假设。是拒绝这种假设。如果知道母体的均值如果知道母体的均值u=100斤,那么就知道母斤,那么就知道母体的真分布是体的真分布是 。正由于母体的真分布完。正由于母体的真分布完全被几个未知参数所决定,因此将这种仅涉及到全被几个未知参数所决定,因此将这种仅涉及到母体分布中所包含的几个未知参数的统计假设称母体分布中所包含的几个未知参数的统计
7、假设称为参数假设。为参数假设。6 非参数假设非参数假设 某种建筑材料,其抗断强度的分布,某种建筑材料,其抗断强度的分布,以往的监测表明,符合正态分布,现在,生产厂以往的监测表明,符合正态分布,现在,生产厂家改变了原来的配料方案,生产出新的产品,希家改变了原来的配料方案,生产出新的产品,希望确定新产品的抗断强度的分布是否仍为正态分望确定新产品的抗断强度的分布是否仍为正态分布?布?与前例类似,先建立假设:假设改变了配料方与前例类似,先建立假设:假设改变了配料方案后生产出的该建筑材料的抗断强度仍服从正态案后生产出的该建筑材料的抗断强度仍服从正态分布(原假设记为分布(原假设记为 :)。然后通)。然后通
8、过抽取子样来推断上述的这种假设的正确性,从过抽取子样来推断上述的这种假设的正确性,从而判定接受还是拒绝这种假设。这种对母体分布而判定接受还是拒绝这种假设。这种对母体分布函数的统计假设称为非参数假设。函数的统计假设称为非参数假设。7 统计假设检验统计假设检验 假设提出之后,就要判断它是否假设提出之后,就要判断它是否成立,以决定接受假设还是拒绝接受假设,这个成立,以决定接受假设还是拒绝接受假设,这个过程就是假设检验的过程。在统计学上,称判断过程就是假设检验的过程。在统计学上,称判断给定统计假设给定统计假设 的方法为统计假设检验,或简称的方法为统计假设检验,或简称统计检验。相应于统计假设的划分,统计
9、假设检统计检验。相应于统计假设的划分,统计假设检验也分为参数假设检验和非参数假设检验。验也分为参数假设检验和非参数假设检验。在检验时,要有一定量的抽样数据在检验时,要有一定量的抽样数据(或说成子样或说成子样),以概率论知识为基础,运用数理统计的方法进,以概率论知识为基础,运用数理统计的方法进行。因此,统计假设检验所解决的问题,就是根行。因此,统计假设检验所解决的问题,就是根据子样的信息,通过检验来判断母体分布是否具据子样的信息,通过检验来判断母体分布是否具有指定的特征。有指定的特征。8二、进行统计假设检验的思想二、进行统计假设检验的思想在本节第一例中,我们可设包装机所包装的糖箱在本节第一例中,
10、我们可设包装机所包装的糖箱的重量为的重量为x,则,则 ,且已知且已知 。我。我们可用假设们可用假设表示包装机工作正常。表示包装机工作正常。我们知道,即使包装机工作正常,波动性总是存我们知道,即使包装机工作正常,波动性总是存在的,所以,包装机所包装的每包糖的净重不会在的,所以,包装机所包装的每包糖的净重不会都等于都等于 ,总是有一些差异,从而观测值的平均,总是有一些差异,从而观测值的平均值值 也不见得恰好等于也不见得恰好等于 。9但若平均值但若平均值 与与 有显著的差异,即有显著的差异,即 相当相当大时,则我们就认为机器工作不正常;大时,则我们就认为机器工作不正常;若平均值若平均值 与与 没有显
11、著的差异,即没有显著的差异,即 相当小时,则相当小时,则我们就认为包装机工作正常。我们就认为包装机工作正常。上述问题用数理统计的语言来说就是:如果上述问题用数理统计的语言来说就是:如果 (其(其k中为某一适当的常数),则我中为某一适当的常数),则我们接受假设们接受假设 ,即认为包装机工作正常;如,即认为包装机工作正常;如果果 ,则我们拒绝假设,则我们拒绝假设 ,即认为包,即认为包装机工作不正常,上述的叙述可用概率的形式装机工作不正常,上述的叙述可用概率的形式描述如下,即描述如下,即10 时,接受假设时,接受假设 。(其。(其中中 取一个较小的值,如取一个较小的值,如0.01,0.05等)。等)
12、。时,拒绝假设时,拒绝假设 ;也就是说,假设检验的判断依据是小概率推断原也就是说,假设检验的判断依据是小概率推断原理。所谓小概率推断原理就是:概率很小的事件理。所谓小概率推断原理就是:概率很小的事件在一次试验中实际上是不可能出现的。如果小概在一次试验中实际上是不可能出现的。如果小概率事件在一次试验中出现了,我们就有理由拒绝率事件在一次试验中出现了,我们就有理由拒绝它。它。因此说,统计假设检验的思想是:给定一个临因此说,统计假设检验的思想是:给定一个临界概率界概率 ,如果在假设,如果在假设 成立的条件下,出现观成立的条件下,出现观测到的事件的概率小于等于测到的事件的概率小于等于 ,就作出拒绝假设
13、,就作出拒绝假设 的的决定,否则,作出接受假设决定,否则,作出接受假设 的决定。的决定。11 习惯上,将临界概率习惯上,将临界概率 称为显著水平,或称为显著水平,或简称水平。简称水平。三、接受域和拒绝域三、接受域和拒绝域接受域接受域 接受假设接受假设 的区域称为检验的接受域。的区域称为检验的接受域。例如上面的例子,当根据子样算术平均值满足例如上面的例子,当根据子样算术平均值满足的时候的时候 (或(或 ),我们我们接受假设接受假设 ,也就是说计算的结果,也就是说计算的结果 落在了落在了 (或(或 )区间之内,通常把区间)区间之内,通常把区间 (或(或 )称之为接受域。如图)称之为接受域。如图7-
14、112拒绝域拒绝域 拒绝接受假设拒绝接受假设 的区域称为检验的拒绝的区域称为检验的拒绝域。例如上面的例子,如果计算的结果域。例如上面的例子,如果计算的结果 落在落在了了 区间之外,这就表示概率很小区间之外,这就表示概率很小(=a)的事件的事件居然发生了。根据小概率事件在一次实验中实际上居然发生了。根据小概率事件在一次实验中实际上不可能出现的原理,就有足够的理由否定原来所作不可能出现的原理,就有足够的理由否定原来所作的假设的假设 ,通常把区间,通常把区间 (或(或 )以外的)以外的区域称之为拒绝域。如图区域称之为拒绝域。如图7-113四、两类错误四、两类错误 由上述假设检验的思想可知,假设检验是
15、以小概由上述假设检验的思想可知,假设检验是以小概率事件在一次实验中实际上是不可能发生的这一前率事件在一次实验中实际上是不可能发生的这一前提为依据的。但是,小概率事件虽然其出现的概率提为依据的。但是,小概率事件虽然其出现的概率很小,但这并不是说这种事件就完全不可能发生。很小,但这并不是说这种事件就完全不可能发生。事实上,如果我们重复抽取容量为事实上,如果我们重复抽取容量为n的许多组子样,的许多组子样,由于抽样的随机性,子样均值不可能完全相同,因由于抽样的随机性,子样均值不可能完全相同,因而由此算得的统计量的数值也具有随机性。若检验而由此算得的统计量的数值也具有随机性。若检验的显著水平定为的显著水
16、平定为 ,那么,即使原假设,那么,即使原假设 是是正确的正确的(真的真的),其中仍约有,其中仍约有5%的数值将会落入拒绝的数值将会落入拒绝域中。域中。14由此可见,进行任何假设检验总是有作出不正确由此可见,进行任何假设检验总是有作出不正确判断的可能性,换言之,不可能绝对不犯错误。判断的可能性,换言之,不可能绝对不犯错误。只不过犯错误的可能性很小而已。只不过犯错误的可能性很小而已。第一类错误第一类错误 当当 为真为真(正确正确)而遭到拒绝的错误而遭到拒绝的错误称为犯称为犯第一类错误第一类错误,也称为弃真的错误,如图,也称为弃真的错误,如图7-2。犯第一类错误的概率就是。犯第一类错误的概率就是a。
17、第二类错误第二类错误 同样地,当同样地,当 为不真为不真(不正确不正确)时,时,我们也有可能接受我们也有可能接受 ,这种错误称为,这种错误称为犯第二类犯第二类错误错误,或称为纳伪的错误,如图,或称为纳伪的错误,如图7-2。犯第二类。犯第二类错误的概率为错误的概率为 。15 显然,当子样容量显然,当子样容量n确定后,犯这两类错误的确定后,犯这两类错误的概率不可能同时减小。当概率不可能同时减小。当a增大,则增大,则 减小;当减小;当a减小,则减小,则 增大。增大。16五、统计量和抽样分布五、统计量和抽样分布 在统计假设检验中,被检验的对象往往不在统计假设检验中,被检验的对象往往不是单个的子样,而经
18、常是对子样的某种函数是单个的子样,而经常是对子样的某种函数进行检验,例如在本节的第一个例子的检验进行检验,例如在本节的第一个例子的检验问题中,是要对子样平均值问题中,是要对子样平均值 进行检进行检验,我们知道验,我们知道 也是随机变量,也服从某种也是随机变量,也服从某种概率分布。概率分布。17 设设 是母体的一个样本是母体的一个样本.为一个连续函数为一个连续函数.如果如果 中不包含任何未知中不包含任何未知参数,则称参数,则称 为一个统计量。为一个统计量。统计量的概率分布又称为抽样分布。统计量的概率分布又称为抽样分布。例如,例如,就是一个统计量。当母体就是一个统计量。当母体则则即即 的抽样分布是
19、的抽样分布是 。18六、进行统计假设检验的步骤六、进行统计假设检验的步骤 概括起来说,进行假设检验的步骤是:概括起来说,进行假设检验的步骤是:1根据实际需要提出原假设根据实际需要提出原假设 和备选假设和备选假设 ;2选取适当的显著水平选取适当的显著水平a;3确定检验用的统计量,其分布应是已知的;确定检验用的统计量,其分布应是已知的;4根据选取的显著水平根据选取的显著水平a,求出拒绝域的界限,求出拒绝域的界限值,如被检验的数值落入拒绝域,则拒绝值,如被检验的数值落入拒绝域,则拒绝 (接受接受 )。否则,接受。否则,接受 (拒绝拒绝 )。197-2 常用的参数假设检验方法常用的参数假设检验方法一、
20、一、u检验法检验法 由于正态分布是母体中最常见的分布,所抽由于正态分布是母体中最常见的分布,所抽取的子样也服从正态分布,由此类子样构成的取的子样也服从正态分布,由此类子样构成的统计量是进行假设检验时最常用的统计量,以统计量是进行假设检验时最常用的统计量,以下的几种参数假设检验方法均是此类统计量。下的几种参数假设检验方法均是此类统计量。1u检验法的概念检验法的概念20 设母体服从正态分布设母体服从正态分布 ,母体方差,母体方差 为为已知。从母体中随机抽取容量为已知。从母体中随机抽取容量为n的子样,可求的子样,可求得子样均值得子样均值 ,利用子样均值,利用子样均值 对母体均值对母体均值u进进行假设
21、检验,则可用统计量行假设检验,则可用统计量 ,其分布为,其分布为标准正态分布。即标准正态分布。即(7-2-1)将这种服从标准正态分布的统计量称为将这种服从标准正态分布的统计量称为u变量,变量,利用统计量所进行的检验方法称为利用统计量所进行的检验方法称为u检验法。检验法。21 2u检验法的类型检验法的类型 根据检验问题的不同,利用根据检验问题的不同,利用u检验法对母体均检验法对母体均值值u进行检验时,可选用双尾检验法、单尾检验进行检验时,可选用双尾检验法、单尾检验法(左尾检验法或右尾检验法)。法(左尾检验法或右尾检验法)。(1)双尾检验法。)双尾检验法。假设:假设:即即 22或或 或写成或写成
22、式中式中 ,为标准正态分布的为标准正态分布的双侧双侧100a百分位点百分位点。当当 或或 时,接受时,接受 ,拒绝,拒绝 ;反之,拒绝反之,拒绝 ,接受,接受 ;23(2)左尾检验法)左尾检验法假设:假设:即即 或写成或写成 式中式中 ,为标准正态分布的为标准正态分布的上上100u百分位点百分位点。当当 或或 时,时,拒绝拒绝 ,接,接受受 ;反之,接受;反之,接受 ,拒绝拒绝 ;24(3)右尾检验法)右尾检验法 假设:假设:即即 或写成或写成 式中式中 当当 或或 时,时,拒绝拒绝 ,接受,接受 ;反之,接受;反之,接受 ,拒绝拒绝 ;25例例7-1 已知基线长已知基线长 ,认为无误差。,认
23、为无误差。为了鉴定光电测距仪,用该仪器对该基线施测了为了鉴定光电测距仪,用该仪器对该基线施测了34个测回,得平均值个测回,得平均值 ,已知,已知 ,问该仪器测量的长度是否有显著的系统误差(取问该仪器测量的长度是否有显著的系统误差(取 )。)。解:(解:(1)(2)当)当 成立时,计算统计量值成立时,计算统计量值 26(3)查得)查得 因为因为 ,故拒绝,故拒绝 ,即认,即认为在为在 的显著水平下,该仪器测量的长度的显著水平下,该仪器测量的长度存在系统误差。存在系统误差。u检验法不仅可以检验单个正态母体参数,还检验法不仅可以检验单个正态母体参数,还可以在两个正态母体方差可以在两个正态母体方差 已
24、知的条件下,已知的条件下,对两个母体均值是否存在显著性差异进行检验。对两个母体均值是否存在显著性差异进行检验。设两个正态随机变量设两个正态随机变量 和和 ,从两母体中独立抽取的两组子样为从两母体中独立抽取的两组子样为 和和 。子样均值分别为。子样均值分别为 和和 ,则两个均值之差构成,则两个均值之差构成的统计量也是正态随即变量,即的统计量也是正态随即变量,即27(7-2-2)标准化得标准化得(7-2-3)如果两母体方差相等,设为如果两母体方差相等,设为 则上式为则上式为(7-2-4)28 。问二人观测结果的差异是否显。问二人观测结果的差异是否显著(取著(取 )?)?,乙观测了乙观测了10个测回
25、,得平均值个测回,得平均值 例例7-2 根据两个测量技术员用某种经纬仪观测根据两个测量技术员用某种经纬仪观测水平角的长期观测资料统计,观测服从正态分布,水平角的长期观测资料统计,观测服从正态分布,一个测回中误差均为一个测回中误差均为 。现两人对同一角。现两人对同一角度进行观测,甲观测了度进行观测,甲观测了14个测回,得平均值个测回,得平均值解:解:(1);(2)当成立时,统计量值计算)当成立时,统计量值计算29(3)查得)查得 因为因为 ,故接受,故接受 ,即认为,即认为在在 的显著水平下,二人观测的结果无的显著水平下,二人观测的结果无显著差异。显著差异。30 在实际测量工作中,真正的在实际测
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