数学模型建模引言.ppt
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1、预备知识预备知识高等数学高等数学线性代数线性代数概率论与数理统计概率论与数理统计运筹学运筹学大学计算机基础大学计算机基础教材和参考资料教材和参考资料高等教育出版社高等教育出版社数学模型数学模型姜启源姜启源 编编浙江大学出版社浙江大学出版社数学模型数学模型杨启帆杨启帆 编编湖南教育出版社湖南教育出版社大学生数学建模竞赛辅导大学生数学建模竞赛辅导教材教材叶其孝叶其孝 编编工科数学杂志社工科数学杂志社数学建模教育与国际数学数学建模教育与国际数学建模竞赛建模竞赛叶其孝叶其孝 编编江苏教育出版社江苏教育出版社数学建模竞赛教程数学建模竞赛教程李尚李尚志主编志主编运筹学运筹学任何一本本科教材任何一本本科教材
2、计算机革命时代计算机革命时代(Computer Revolution Computer Revolution EraEra)oror 信息时代信息时代(Information TimesInformation Times)我们处在:我们处在:时代特点时代特点计算机的迅速发展计算机的迅速发展高速、智能、高速、智能、小型、价廉;小型、价廉;数学的应用向一切领域渗透数学的应用向一切领域渗透各行各行各业日益依赖数学或说当今社会正在日各业日益依赖数学或说当今社会正在日益数学化;益数学化;数学的日益重要性远远没有取得共识。数学的日益重要性远远没有取得共识。甚至出现了甚至出现了“数学无用论数学无用论”的观点
3、的观点 为什么会出现为什么会出现“数学无用论数学无用论”?数学的语言比较抽象,不容易掌握;数学的语言比较抽象,不容易掌握;数数学学教教育育上上的的不不适适当当:形形式式化化、抽抽象象,只只见见定定义义、定定理理、推推倒倒、证证明明、计计算算,很很少少讲讲与与我我们们周周围围的的世世界界以以致致日日常常生生活活的密切联系。的密切联系。数学建模的重要性数学建模的重要性 数数学学建建模模不不是是新新东东西西(比比如如欧欧式式几几何何、微积分都是很好的数学模型!)微积分都是很好的数学模型!)用用数数学学去去解解决决实实际际问问题题就就一一定定要要用用数数学学的的语语言言、方方法法去去近近似似刻刻划划该
4、该实实际际问问题题。这这种种刻刻划划的的数数学学表表述述就就是是一一个个数数学学模模型型。其其过程就是过程就是数学建模数学建模的过程。的过程。数学建模的重要性数学建模的重要性问问题题出出在在:当当一一个个数数学学模模型型表表达达出出来来后后,就就要要用用一一定定的的技技术术手手段段(如如推推导导、计计算算)求求解解该该数数学学问问题题,并并用用实实际际情情形形来来验验证证;若若需需要要就就要要修修改改数数学学模模型型并并重重复复上上述述过过程程,如如果果有有一一步步完完不不成成,意意义义就就不不大大了了。在在以以前前,大大量量的的计计算算令令人人生生畏畏(在在建建模模过过程程中中往往往往遇遇到
5、到),现现如如今今高高性性能能的的计计算算机机的的出出现现,使使数数学学建建模模又又掀起了一个高潮。掀起了一个高潮。数学建模的重要性数学建模的重要性从从科科学学、工工程程、经经济济和和管管理理等等角角度度看看:数数学学建建模模就就是是用用数数学学的的语语言言和和方方法法,通通过过抽抽象象、简简化化,建建立立能能近近似似刻刻画画并并“解解决决”实际问题的实际问题的一种强有力的数学工具。一种强有力的数学工具。数学建模最重要的特点是接受实践的数学建模最重要的特点是接受实践的检验,多次修改模型,渐趋完善(的过检验,多次修改模型,渐趋完善(的过程)。程)。数学建模步骤数学建模步骤了解问题的实际背景,明确
6、建模的目的,了解问题的实际背景,明确建模的目的,掌握必要的数据资料(掌握必要的数据资料(建模准备建模准备););抓住主要矛盾,对问题作必要的抓住主要矛盾,对问题作必要的 简化,简化,提出几条恰当的假设(提出几条恰当的假设(提出假设提出假设););利用适当的数学工具刻划各变量之间的关利用适当的数学工具刻划各变量之间的关系,建立相应的数学结构(系,建立相应的数学结构(建立模型建立模型);数学建模步骤数学建模步骤模型的求解和检验模型的求解和检验。建立数学模型是为。建立数学模型是为了解释自然现象和改造自然,因此建模了解释自然现象和改造自然,因此建模本身不是最终目的,还应当考虑对模型本身不是最终目的,还
7、应当考虑对模型求解(包括解方程、图解、逻辑推理、求解(包括解方程、图解、逻辑推理、定理证明、稳定性讨论等等),将所得定理证明、稳定性讨论等等),将所得结果与实际情况作比较,以验证模型的结果与实际情况作比较,以验证模型的正确性,如果检验结果与事实不符或部正确性,如果检验结果与事实不符或部分不符,就应当将上述步骤重复,即修分不符,就应当将上述步骤重复,即修改假设,重新建模。改假设,重新建模。数学建模步骤框图数学建模步骤框图实际问题抽象、简化、假设确定变量参数建立数学模型并数学、数值地求解用实际问题的实测数据来检验该数学模型支付使用,从而可产生经济、社会效益符合实际不符合实际例例1 1:万有引力定律
8、的发现:万有引力定律的发现 万有引力定律的发现是伟大科学家牛顿的万有引力定律的发现是伟大科学家牛顿的重要贡献之一重要贡献之一,牛顿在研究力学的过程中牛顿在研究力学的过程中发明了微积分发明了微积分,又成功地在又成功地在开普勒三定律开普勒三定律的基础上的基础上运用微积分运用微积分推出了万有引力定律推出了万有引力定律这一创造性的成就可以看作是历史上最这一创造性的成就可以看作是历史上最著名的数学建模案例之一著名的数学建模案例之一万有引力定律的发现万有引力定律的发现 背景:十五世纪中叶,哥白尼提出了震惊背景:十五世纪中叶,哥白尼提出了震惊世界的世界的日心说日心说,这是科学上的一大革命。,这是科学上的一大
9、革命。当然由于历史和科学水平的限制,他的学当然由于历史和科学水平的限制,他的学说免不了也说免不了也包含了一些缺陷包含了一些缺陷(地球围绕太(地球围绕太阳作圆周运动)。阳作圆周运动)。此后,丹麦天文学家第谷此后,丹麦天文学家第谷布拉赫进行了布拉赫进行了二十年的观测并记录下十分丰富而又准确二十年的观测并记录下十分丰富而又准确的资料。的资料。万有引力定律的发现万有引力定律的发现第谷第谷布拉赫的学生开普勒(布拉赫的学生开普勒(KeplerKepler)对)对这些资料进行了九年时间的分析计算后发这些资料进行了九年时间的分析计算后发现,老师的观察结果与哥白尼学说在运行现,老师的观察结果与哥白尼学说在运行周
10、期上周期上有有8 8度的误差度的误差,这使他对哥白尼的圆,这使他对哥白尼的圆形轨道假设产生了怀疑,他以观察结果为形轨道假设产生了怀疑,他以观察结果为依据,提出了天文学上至今仍然十分著名依据,提出了天文学上至今仍然十分著名的三条假设的三条假设KeplerKepler三定律。三定律。万有引力定律的发现万有引力定律的发现(1 1)行星轨道是一个椭圆,太阳位于此椭圆)行星轨道是一个椭圆,太阳位于此椭圆的一个焦点上;的一个焦点上;(2 2)行星在单位时间内扫过的面积)行星在单位时间内扫过的面积A A不变;不变;(3 3)行星运行周期的平方正比于椭圆长轴的)行星运行周期的平方正比于椭圆长轴的三次方,比例系
11、数不随行星而改变。三次方,比例系数不随行星而改变。万有引力定律的发现万有引力定律的发现假设:假设:(1 1)行星轨道方程:椭圆极坐标方程)行星轨道方程:椭圆极坐标方程 其中其中a a长半轴,长半轴,b b短半轴,短半轴,e e离心率;离心率;万有引力定律的发现万有引力定律的发现(2 2)(3 3)k k为比例系数,为比例系数,T T为周期为周期 (4 4)牛顿第二定律:)牛顿第二定律:万有引力定律的发现万有引力定律的发现万有引力定律的发现万有引力定律的发现万有引力定律的发现万有引力定律的发现万有引力定律的发现万有引力定律的发现结论结论:作用于任一行星上的力,方向在太:作用于任一行星上的力,方向
12、在太阳与行星的连线上,指向太阳(怎么看出阳与行星的连线上,指向太阳(怎么看出来的?),其大小与两者之间的距离平方来的?),其大小与两者之间的距离平方成反比,比例系数通过实验给出。成反比,比例系数通过实验给出。例例2 2:传染病模型:传染病模型 背背景景:传传染染病病是是威威胁胁人人类类健健康康和和生生命命的的一一类类疾疾病病,如如何何有有效效地地预预防防和和控控制制传传染染病病对对人人类类的的侵侵害害,是是一一项项相相当当重重要要的的课课题题,其其中中有有效效预预测测某某个个时时刻刻得得病病人人数数也也是是相相当当重要的指标。重要的指标。传染病模型传染病模型符号假设:符号假设:t t 时刻病人
13、数为时刻病人数为i i(t t)模模型型一一:设设单单位位时时间间内内一一个个病病人人能能传传染染的的人数(传染率)为人数(传染率)为k k0 0 求解并分析求解并分析传染病模型传染病模型哪里出错了?哪里出错了?传染病模型传染病模型模型二:模型二:设人群分为两类:设人群分为两类:已感染者(已感染者(InfectiveInfective)i i(t t)易感染者(易感染者(Susceptible)Susceptible)s s(t t)所考察地区的总人数为所考察地区的总人数为n n,i i(t t)+)+s s(t t)n n,易见传染率应该和易见传染率应该和s s(t t)成单增关系,为方便,
14、成单增关系,为方便,设为正比例关系,比例系数用设为正比例关系,比例系数用表示(称为表示(称为传染系数或日接触率),则方程变为传染系数或日接触率),则方程变为 传染病模型传染病模型传染病模型传染病模型模型三:模型三:假设假设(1 1)人人群群分分为为三三类类:已已感感染染者者i i(t t),),易易感感染染者者s s(t t),),免免疫疫移移出出者者(含含死死亡亡)r r(t t),),则则 i i(t t)+)+s s(t t)+)+r r(t t)n n(2 2)传传染染率率和和s s(t t)成成正正比比,比比例例系系数数用用表表示示;(3 3)单单位位时时间间内内病病愈愈免免疫疫的的
15、人人数数与与当当时时的的病病人人数成正比,比例系数用数成正比,比例系数用 l l 表示表示.传染病模型传染病模型传染病模型传染病模型THANK YOUSUCCESS2024/4/21 周日30可编辑模型分类模型分类 依据变量的特征:确定型和随机依据变量的特征:确定型和随机依据变量的取值:连续型和离散型依据变量的取值:连续型和离散型依据数学式子:线性和非线性依据数学式子:线性和非线性依据物理状态:静态和动态依据物理状态:静态和动态依依据据对对问问题题的的认认识识程程度度:白白箱箱、灰灰箱箱和和黑黑箱箱模型模型依依据据数数学学方方法法:初初等等,方方程程,优优化化,控控制制论论等等等等依依据据实实
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