数学高二(上)沪教版(平面向量的分解定理与向量的应用)教师版.doc
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1、年 级: 高二 辅导科目: 数学 课时数:3课 题平面向量的分解定理与向量的应用 教学目的1. 了解平面向量基本定理的证明2. 学会用平面内两不共线向量表示平面内任一向量。教学内容【知识梳理】平面向量分解定理:如果是平面内的两个不平行向量,那么对于这一平面内的任意向量,有且只有一对实数,使,我们把不平行的向量叫做这一平面内所有向量的一组基。证明唯一性:证明:(1)当时,(2)当时,假设,则有=.由于不平行,故,即.注意:(1)基底不共线;(2)将任一向量在给出基底的条件下进行分解;(3)基底给定时,分解形式唯一,是被,唯一确定的数量。特别:.若,则是三点P、A、B共线的充要条件.注意:起点相同
2、,系数和是1。【典型例题分析】例1、平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M,且 ,分别用表示和.解: 在平行四边形ABCD中,变式练习:已知是不平行的两个向量,是实数,且,用表示.解: CABDab例2、证明:菱形对角线互相垂直。 证:设= , = ABCD为菱形 | = | O(A)BCD= ( + )( - ) = 2 - 2 = |2 - |2 = 0 证法二:设B(b ,0),D(d1,d2),则= (b ,0), = (d1,d2)于是=+= (b ,0) + (d1,d2)= (b +d1 ,d2) =-= (d1 -b ,d2)= (b +d1)(d1 -b ) + d2d2
3、= (d12 + d22)- b 2 = |2 - b 2 = |2 - b 2 = b 2 - b 2 = 0 说明二种方法进行比较,开拓学生的解题思维,提高能力.例3、对任意非零向量a、b,求证:|a|b|ab|a|+|b|.证明:分三种情况考虑.(1)当a、b共线且方向相同时,|a|b|a+b|=|a|+|b|,|a|b|=|ab|a|+|b|.(2)当a、b共线且方向相反时,ab=a+(b),a+b=a(b),利用(1)的结论有|a|b|a+b|a|+|b|,|a|b|ab|=|a|+|b|.(3)当a,b不共线时,设=a,=b,作=+=a+b,=ab,利用三角形两边之和大于第三边,两
4、边之差小于第三边,得|a|b|ab|a|+|b|.综上得证.此结论的运用:设,其中,求的最小值。例4、已知平行四边形中,、是对角线、上的两点,且,试用向量方法证明四边形也是平行四边形分析: 由平面向量的基本定理可知向量及用一组基底来唯一表示,要证明四边形是平行四边形,只要证明用相同的基底表示出来的向量及是相同的即可.(分析很重要,突出向量基本定理及基底的作用,使学生对问题的认识在原有的基础上更深入一步)证 设,则,而.所以,四边形为平行四边形.ABCDEFH例5、如图,AD、BE、CF是ABC的三条高,求证:AD、BE、CF相交于一点。证:设BE、CF交于一点H,= a, = b, = h,则
5、= h - a , = h - b , = b - a , 又点D在AH的延长线上,AD、BE、CF相交于一点 变式练习:已知O为ABC所在平面内一点,且满足|2 + |2 = |2 + |2 = |2 + |2,求证:证:设= a, = b, = c,则= c - b, = a - c, = b - a由题设:2 +2 =2 +2 =2 +2,化简:a2 + (c - b)2 = b2 + (a - c)2 = c2 + (b - a)2 得: cb = ac = ba从而= (b - a)c = bc - ac = 0 同理:, 例6、已知向量,是否能以向量为平面内所有向量的一组基底向量?
6、若能,是将用这一基底向量表示出来,若不能,请说明理由。解析:不共线,顾一定能以为平面内的所有向量的基底向量,例7、(1)有一两岸平行的河流,水速为1,小船的速度为,为使所走路程最短,小船应朝_方向行驶.解析:如下图,为使小船所走路程最短,v水+v船应与岸垂直.又v水=1,v船=,ADC=90,CAD=45.答案:与水速成135角的(2) .如图,用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上.ACW=150, BCW=120,求A和B处所受力的大小.(忽略绳子重量)解:设A、B处所受力分别为f1、f2,10 N的重力用f表示,则f1+f2=f.以重力作用点C为f1、f2的始点,作平行四边形C
7、FWE,使CW为对角线,则=f1,=f2,=f,则ECW=180150=30,FCW=180120=60,FCE=90.四边形CEWF为矩形.|=|cos30=10=5,=|cos60=10=5.A处受力为5 N,B处受力为5 N.例8、已知平面向量 证明:; 若存在不同时为零的实数和,使,且,试求函数关系式; 根据(2)的结论,确定函数的单调区间。解、(1)所以(2)(3)递增区间、(,递减区间(1,0)、(0,1)变式练习:已知M(1+cos2x,1),N(1,sin2x+a)(x,aR,a是常数),且y= (O是坐标原点)求y关于x的函数关系式y=f(x);若x0,f(x)的最大值为4,
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