高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第7讲正弦定理与余弦定理知能训练轻松闯关理北师大版.pdf

小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学第 7 讲 正弦定理与余弦定理1(2016上海一模)若ABC的三个内角满足sin A sin B sin C51113，则ABC()A一定是锐角三角形B一定是直角三角形C一定是钝角三角形D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形解析：选C.在ABC中，sin Asin Bsin C51113，所以abc51113，故令a 5k，b 11k，c13k(k0)，由余弦定理可得cos Ca2b2c22ab25k2 121k2169k22511k2231100，又因为C(0，)，所以C2，所以ABC为钝角三角形，故选C.2由下列条件解ABC，其中有两解的是()Ab20，A45，C80Ba30，c28，B60Ca14，c16，A45Da12，c15，A120解析：选 C.对于 A，由A45，C80，得B55，由正弦定理asin Absin Bcsin C得，absin Asin B102sin 55，c20sin 80 sin 55，此时ABC仅有一解，A不符合条件；对于B，由a30，c28，B 60，由余弦定理b2a2c22accos B，得b2844，可得b2211，此时ABC仅有一解，B不符合条件；对于 D，由a 12，c15，知ac，则A22，又ca，故C45，由正弦函数的图像和性质知，此时ABC有两解，故选C.3(2016上饶模拟)在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知3cos Acos Cac，且a2c22b，则b()A4 B 3 C2 D 1 小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学解析：选A.由题意可得3ccos Aacos C，由余弦定理可得3cb2c2a22bcaa2b2c22ab，整理得b22(a2c2)，又因为a2c2 2b，代入得b4.4在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2a2bc，A6，则角C()A.6B.4C.34D.4或34解析：选B.在ABC中，由余弦定理得cos Ab2c2a22bc，即32b2c2a22bc，所以b2c2a23bc，又b2a2bc，所以c2bc3bc，所以c(31)bb，a23b，所以 cos Cb2a2c22ab22，所以C4.5(2016河南省六校联考)在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 sin A223，a2，SABC2，则b的值为()A.3 B.2 C22 D 23 解析：选 A.由 sin A223及A为锐角可得cos A13，由三角形的面积公式可得SABC12bcsin A2，即23bc2，所以bc3，由余弦定理a2b2c22bccos A，可得b2c26，由可得bc3.6在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b1，a2c，则当C取最大值时，ABC的面积为()A.33B.36C.233D.3 解析：选B.当C取最大值时，cos C最小，由cos Ca2b2c22ab3c214c143c1c32，当且仅当c33时取等号，且此时sin C12，所以当C取最大值时，ABC的面积为12absin C122c11236.7在ABC中，若a2，bc7，cos B14，则b_解析：在ABC中，由b2a2c22accos B及bc7 知，b24(7b)222(7b)14，整理得15b600，所以b4.答案：4 8在ABC中，bccos A3asin C，则角C的大小为 _小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学解析：因为bccos A3asin C，由余弦定理得bcb2c2a22bc3asin C.即b2a2c223absin C.所以 2abcos C 23absin C，即 tan C33.又 0C，所以C6.答案：69(2015高考北京卷)在ABC中，a 4，b5，c 6，则sin 2Asin C_解析：由正弦定理得sin Asin Cac，由余弦定理得cos Ab2c2a22bc，因为a4，b5，c 6，所以sin 2Asin C2sin Acos Asin C2sin Asin Ccos A2465262422561.答案：1 10在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，sin A，sin B，sin C成等差数列，且a2c，则 cos A_解析：因为sin A，sin B，sin C成等差数列，所以2sin B sin A sin C.因为asin Absin Bcsin C，所以ac2b，又a2c，可得b32c，所以 cos Ab2c2a22bc94c2c2 4c2232c214.答案：1411(2015高考全国卷)已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，sin2B2sin Asin C.(1)若ab，求 cos B；(2)设B90，且a2，求ABC的面积解：(1)由题设及正弦定理可得b22ac.又ab，可得b 2c，a 2c.由余弦定理可得cos Ba2c2b22ac14.(2)由(1)知b22ac.因为B 90，由勾股定理得a2c2b2，故a2c22ac，进而可得ca2.所以ABC的面积为12221.12(2 016洛阳统考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos 2C22cos C20.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学(1)求角C的大小；(2)若b2a，ABC的面积为22sin Asin B，求 sin A及c的值解：(1)因为 cos 2C22cos C 20，所以 2cos2C22cos C10，即(2cos C 1)20，所以 cos C22.又C(0，)，所以C34.(2)因为c2a2b22abcos C3a22a2 5a2，所以c5a，即 sin C5sin A，所以 sin A15sin C1010.因为SABC12absin C，且S ABC22sin Asin B，所以12absin C22sin Asin B，所以absin Asin Bsin C2，由正弦定理得：csin C2sin C2，解得c 1.1(2016河北省衡水中学调研)设锐角ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a1，B2A，则b的取值范围为()A(2，3)B(1，3)C(2，2)D(0，2)解析：选A.因为B2A，所以 sin B sin 2A，所以 sin B2sin Acos A，所以b2acos A，又因为a1，所以b2cos A.因为ABC为锐角三角形，所以 0A2，0B2，0C2，即 0A2，02A2，0A2A2，所以6A4，所以22cos A32，所以22cos A3，所以b(2，3)2(2014高考课标全国卷)已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，a 2，且(2 b)(sin A sin B)(cb)sin C，则ABC面积的最大值为_小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学解析：因为asin Absin Bcsin C2R，a2，又(2 b)(sin A sin B)(cb)sin C可化为(ab)(ab)(cb)c，所以a2b2c2bc，所以b2c2a2bc.所以b2c2a22bcbc2bc12cos A，所以A60.因为ABC中，4a2b2c22bccos 60 b2c2bc2bcbcbc(“”当且仅当bc时取得)，所以SABC12bcsin A124323.答案：3 3在ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c.(1)若c2，C3，且ABC的面积为3，求a，b的值；(2)若 sin Csin(BA)sin 2A，试判断ABC的形状解：(1)因为c 2，C3，所以由余弦定理c2a2b22abcos C，得a2b2ab4.又因为ABC的面积为3，所以12absin C3，ab4.联立方程组a2b2ab4，ab4.解得a2，b2.(2)由 sin Csin(BA)sin 2A，得 sin(AB)sin(BA)2sin Acos A，即 2sin Bcos A2sin Acos A，所以 cos A(sin Asin B)0，所以 cos A 0 或 sin Asin B0，当 cos A0 时，因为 0A，所以A2，ABC为直角三角形；当 sin Asin B0 时，得 sin Bsin A，由正弦定理得ab，即ABC为等腰三角形所以ABC为等腰三角形或直角三角形4ABC中，A、B、C的对边分别为a，b，c，面积为S.满足S34(a2b2c2)(1)求C的值；(2)若ab4，求周长的范围与面积S的最大值解：(1)因为S34(a2b2c2)，所以12absin C342abcos C，即 tan C3，又 0C0，b0 知 0a4.所以 4c216，所以 2c4.所以周长abc6，8)又由ab4，知 42ab，当且仅当ab时取等号所以ab4，所以S12absin C124323，即当ab2 时，Smax3.