2024-2025学年广东省广州市荔湾区七年级上学期期末数学试卷（含答案）.docx

2024-2025学年广东省广州市荔湾区七年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（3分）﹣2的倒数是（　　）
A．﹣2 B．12 C．2 D．-12
2．（3分）下列各组有理数的大小关系中，正确的是（　　）
A．1＜﹣2 B．3＞4 C．﹣5＞﹣6 D．0＜﹣1
3．（3分）中国国家大剧院位于人民大会堂西侧，西长安街以南，由主体建筑及南北两侧的水下长廊、人工湖、绿地等组成，其中人工湖面积约35500平方米．将35500用科学记数法表示应为（　　）
A．3.55×105 B．3.55×104 C．0.355×105 D．35.5×104
4．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．7x+x＝7x2 B．5y﹣3y＝2
C．2x+3y＝5xy D．3x2y﹣2x2y＝x2y
5．（3分）如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，如果∠AOB＝40°，∠COE＝60°，则∠BOD的度数为（　　）

A．50° B．60° C．70° D．80°
6．（3分）中国讲究五谷丰登，六畜兴旺，如图是一个正方体展开图，图中的六个正方形内分别标有六畜：“猪”、“牛”、“羊”、“马”、“鸡”、“狗”，将其围成一个正方体后，则与“牛”相对的是（　　）

A．鸡 B．马 C．羊 D．狗
7．（3分）如图，C，D是线段AB上两点，若BC＝5，BD＝7，且点D是AC的中点，则AC的长为（　　）

A．2 B．4 C．8 D．12
8．（3分）商店某件商品的成本价为a元，按成本价提高20%后标价，又以九折销售，这件商品的售价（　　）
A．比成本价高了0.12a元
B．比成本价低了0.08a元
C．比成本价高了0.08a元
D．与成本价相同
9．（3分）如图，数轴上A，B两点表示的数分别是a，b，则|a+b|﹣|a﹣b|＝（　　）

A．2a B．2b C．﹣2a D．﹣2b
10．（3分）计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1，将一个十进制数转化为二进制数，只需将该数写为若干个2n的数字之和，依次写出1或0的系数即可，如十进制数字19可以写为二进制数字10011，因为19＝16+2+1＝1×24+0×23+0×22+1×21+1×20，32可以写为二进制数字100000，因为32＝32＝1×25+0×24+0×23+0×22+0×21+0×20，则十进制数字70是二进制下的（　　）
A．4位数 B．5位数 C．6位数 D．7位数
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．（3分）计算：|﹣6|＝　 　 ．
12．（3分）已知2x与4互为相反数，则x＝ 　 　 ．
13．（3分）一个角的补角为120°，则这个角的余角为 　 　 °．
14．（3分）若多项式x|m﹣2|+7x2是关于x的三次二项式，则m的值为 　 　 ．
15．（3分）已知线段AB＝5cm，点C是直线AB上一点，且BC＝2cm，那么AC＝ 　 　 cm．
16．（3分）我国宋朝时期的数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角垛”，顶层记为第1层，有1颗弹珠；第2层有3颗弹珠；第3层有6颗弹珠，往下依次是第4层，第5层，…；如图中画出了最上面的4层，若用an表示第n层的弹珠数，其中n＝1，2，3，…，则1a1+1a2+1a3+⋯+1a2024= 　 　 ．

三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（4分）解方程：5x﹣2＝3（x+2）．
18．（4分）解方程：x+22+3x-54=1．
19．（6分）计算：
（1）7+(-12)-3-(-2.5)；
（2）-12024-25×(-20)+(-2)2．
20．（6分）先化简，再求值：2（3a2b﹣ab2）﹣（3ab2﹣2a2b）+5ab2，其中a=12，b＝﹣1．
21．（8分）如图，AB＝18，C，D是线段AB上两点，已知AC：CD：DB＝1：2：3，M，N分别为AC，DB的中点，求线段MN的长．

22．（10分）某学校七年级组织数学趣味知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，答对得分，答错倒扣分．如表记录了5名同学的得分情况．
参赛者
答对题数
答错题数
得分
A
20
0
100
B
19
1
93
C
18
2
86
D
14
6
58
E
10
10
30
（1）答对一题得 　 　 分，答错一题扣 　 　 分．
（2）参赛者F得分72分，他答对了几道题？
（3）参赛者G说他得了80分，你认为可能吗？为什么？
23．（10分）购买冰箱时，需要综合考虑冰箱的价格和耗电情况，通过对市场的了解，相同容量的冰箱单位时间内1级耗电量最低，但购买价格相对较贵．小明准备从当年生产的相同容量的A款与B款冰箱中选购一台，其中两款冰箱的部分基本信息如表所示：
款式
能效等级
平均每年耗电量/（kW•h）
售价/元
A款
1级
200
2236
B款
3级
280
1900
若冰箱投入使用后一直开着，并按0.6元/（kW•h）电费计算，请帮小明回答下列问题：
（1）若选A款冰箱，每年花费的电费是 　 　 元．
（2）若冰箱使用t年，则A，B两款冰箱的综合费用分别是多少？（用含t的代数式表示）
（3）在（2）的条件下，请你分析小明购买哪款冰箱比较合适？
24．（12分）如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠COB，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的奇妙线．
（1）如图1，若∠AOB＝60°，∠COB＝2∠AOC，求∠AOC．
（2）如图2，若∠AOB＝120°，射线OM从射线OB位置开始，绕点O以每秒10°的速度逆时针旋转，当射线OM与射线OA重合时停止旋转．设旋转的时间为t秒，当射线OM是∠AOB的奇妙线时，求t的值．
（3）如图3，若∠AOB＝90°，射线OE，OF分别从OB，OA位置同时出发，射线OE绕点O以每秒12°的速度逆时针旋转，射线OF绕点O以每秒6°的速度顺时针旋转，当射线OE旋转360°与射线OB重合时两条射线都停止旋转．设旋转的时间为t秒，当射线OE是∠AOF的奇妙线时，求t的值．

25．（12分）在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A，B两点间的距离可以记作|a﹣b|或|b﹣a|．我们把数轴上两点之间的距离，用两点的大写字母表示，如：点A与点B之间的距离表示为AB．如图，在数轴上，点A，O，B，C表示的数分别为﹣10，0，12，28．
（1）点P在数轴上表示的数为x，若点P为线段AB上的一个动点，求|x+10|+|x﹣12|的值．
（2）如图，在数轴的原点O处放置了一台粒子加速器，当粒子穿过加速器（加速器宽度可忽略不计）时，其运动速度将迅速变成原来的3倍．在C处放置了一块挡板，当粒子碰撞到挡板后，立即反弹，速度不变．甲粒子从A点出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右运动．同时，乙粒子从B点出发，以每秒4个单位的速度沿数轴向右运动，设运动时间为t．
①当甲、乙两粒子第一次相遇时，相遇点表示的数为 　 　 ．
②当甲、乙两粒子距离为4时，求t的值．

2024-2025学年广东省广州市荔湾区七年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D．
C．
B．
D．
C
D
B
C
A
D

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（3分）﹣2的倒数是（　　）
A．﹣2 B．12 C．2 D．-12
【分析】利用倒数的定义求解即可．
【解答】解：﹣2的倒数是-12．
故选：D．
【点评】本题考查了倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．
2．（3分）下列各组有理数的大小关系中，正确的是（　　）
A．1＜﹣2 B．3＞4 C．﹣5＞﹣6 D．0＜﹣1
【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．
【解答】解：A、1＞﹣2，则该选项错误，不符合题意；
B、3＜4，则该选项错误，不符合题意；
C、∵|﹣5|＝5，|﹣6|＝6，5＜6，∴﹣5＞﹣6，则该选项正确，符合题意；
D、0＞﹣1，则该选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键．
3．（3分）中国国家大剧院位于人民大会堂西侧，西长安街以南，由主体建筑及南北两侧的水下长廊、人工湖、绿地等组成，其中人工湖面积约35500平方米．将35500用科学记数法表示应为（　　）
A．3.55×105 B．3.55×104 C．0.355×105 D．35.5×104
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：35500＝3.55×104．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．7x+x＝7x2 B．5y﹣3y＝2
C．2x+3y＝5xy D．3x2y﹣2x2y＝x2y
【分析】根据整式的加减运算法则即可求出答案．
【解答】解：A、7x+x＝8x≠7x2，故A错误；
B、5y﹣3y＝2y≠2，故B错误；
C、2x+3y≠5xy，故C错误；
D、3x2y﹣2x2y＝x2y，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算，本题属于基础题型．
5．（3分）如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，如果∠AOB＝40°，∠COE＝60°，则∠BOD的度数为（　　）

A．50° B．60° C．70° D．80°
【分析】利用角平分线的性质和角与角的和差关系计算即可．
【解答】解：∵OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，
∴∠COD=12∠COE，∠BOC=12∠AOC，
又∵∠AOB＝40°，∠COE＝60°，
∴∠BOC＝40°，∠COD＝30°，
∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝40°+30°＝70°．
故选：C．
【点评】本题考查角与角之间的运算和角平分线的知识点，注意结合图形，发现角与角之间的关系，进而求解．
6．（3分）中国讲究五谷丰登，六畜兴旺，如图是一个正方体展开图，图中的六个正方形内分别标有六畜：“猪”、“牛”、“羊”、“马”、“鸡”、“狗”，将其围成一个正方体后，则与“牛”相对的是（　　）

A．鸡 B．马 C．羊 D．狗
【分析】根据正方体表面展开图的特征进行解答即可．
【解答】解：根据正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知“牛”与“狗”是对面，
故选：D．
【点评】本题考查展开图折叠成几何体，掌握正方体表面展开图的特征是正确解答的关键．
7．（3分）如图，C，D是线段AB上两点，若BC＝5，BD＝7，且点D是AC的中点，则AC的长为（　　）

A．2 B．4 C．8 D．12
【分析】根据图形中线段的和差关系以及线段中点的定义进行计算即可．
【解答】解：∵BC＝5，BD＝7，
∴CD＝BD﹣BC＝2，
∵点D是AC的中点，
∴AC＝2CD＝4．
故选：B．
【点评】本题考查两点间的距离，掌握线段中点的定义以及图形中线段的和差关系是正确解答的关键．
8．（3分）商店某件商品的成本价为a元，按成本价提高20%后标价，又以九折销售，这件商品的售价（　　）
A．比成本价高了0.12a元
B．比成本价低了0.08a元
C．比成本价高了0.08a元
D．与成本价相同
【分析】先计算出售价，然后与成本作差，即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：由题意可得，
这件商品的售价为：a（1+20%）×0.9
＝a×1.2×0.9
＝1.08a（元），
1.08a﹣a＝0.08a（元），
即这件商品的售价比成本价高了0.08a元，
故选：C．
【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
9．（3分）如图，数轴上A，B两点表示的数分别是a，b，则|a+b|﹣|a﹣b|＝（　　）

A．2a B．2b C．﹣2a D．﹣2b
【分析】由题意可知，a＜0，b＞0，|a|＜|b|，则a+b＞0，a﹣b＜0，然后由绝对值的定义即可得出结论．
【解答】解：由题意可知，a＜0，b＞0，|a|＜|b|，
∴a+b＞0，a﹣b＜0，
∴|a+b|﹣|a﹣b|＝a+b﹣（b﹣a）＝a+b﹣b+a＝2a，
故选：A．
【点评】本题考查了数轴以及绝对值，熟记绝对值的定义是解题的关键．
10．（3分）计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1，将一个十进制数转化为二进制数，只需将该数写为若干个2n的数字之和，依次写出1或0的系数即可，如十进制数字19可以写为二进制数字10011，因为19＝16+2+1＝1×24+0×23+0×22+1×21+1×20，32可以写为二进制数字100000，因为32＝32＝1×25+0×24+0×23+0×22+0×21+0×20，则十进制数字70是二进制下的（　　）
A．4位数 B．5位数 C．6位数 D．7位数
【分析】将70写成64+4+2，继而求得答案．
【解答】解：70＝64+4+2
＝26+22+21
＝1×26+0×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20，
即十进制数字70写为二进制数字1000110，
即十进制数字70是二进制下的7位数，
故选：D．
【点评】本题考查有理数的运算，将70写成64+4+2是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．（3分）计算：|﹣6|＝　6　 ．
【分析】根据绝对值的化简，由﹣6＜0，可得|﹣6|＝﹣（﹣6）＝6，即得答案．
【解答】解：﹣6＜0，
则|﹣6|＝﹣（﹣6）＝6，
故答案为6．
【点评】本题考查绝对值的化简求值，即|a|=a(a≥0)-a(a＜0)．
12．（3分）已知2x与4互为相反数，则x＝ 　﹣2　 ．
【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此解答即可．
【解答】解：∵2x与4互为相反数，
∴2x＝﹣4，
∴x＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
13．（3分）一个角的补角为120°，则这个角的余角为 　30　 °．
【分析】根据互余两角之和为90°，互补两角之和为180°，求解即可．
【解答】解：∵该角的补角为120°，
∴该角的度数＝180°﹣120°＝60°，
∴该角余角的度数＝90°﹣60°＝30°．
故答案为：30．
【点评】本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键是掌握互余两角之和为90°，互补两角之和为180°．
14．（3分）若多项式x|m﹣2|+7x2是关于x的三次二项式，则m的值为 　5或﹣1　 ．
【分析】先根据多项式x|m﹣2|+7x2是关于x的三次二项式，列出关于m的方程，解方程求出m即可．
【解答】解：∵多项式x|m﹣2|+7x2是关于x的三次二项式，
∴|m﹣2|＝3，
m﹣2＝±3，
解得：m＝5或﹣1，
故答案为：5或﹣1．
【点评】本题主要考查了多项式，解题关键是熟练掌握多项式的有关概念．
15．（3分）已知线段AB＝5cm，点C是直线AB上一点，且BC＝2cm，那么AC＝ 　3或7　 cm．
【分析】根据点C的位置分两种情况进行解答，即点C在点B的左侧或右侧，由线段的和差关系进行计算即可．
【解答】解：当点C在点B的左侧时，AC＝AB﹣BC＝5﹣2＝3（cm），
当点C在点B的右侧时，AC＝AB+BC＝5+2＝7（cm），
故答案为：3或7．
【点评】本题考查两点间的距离，掌握线段的和差关系是正确解答的关键．
16．（3分）我国宋朝时期的数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角垛”，顶层记为第1层，有1颗弹珠；第2层有3颗弹珠；第3层有6颗弹珠，往下依次是第4层，第5层，…；如图中画出了最上面的4层，若用an表示第n层的弹珠数，其中n＝1，2，3，…，则1a1+1a2+1a3+⋯+1a2024= 　40482025　 ．

【分析】根据题意，用含n的代数式表示出第n层弹珠的个数，再据此进行计算即可．
【解答】解：由题知，
a1＝1；a2＝3；a3＝6，a4＝10，…，
所以an＝1+2+3+…+n=n(n+1)2，
所以1a1+1a2+1a3+⋯+1a2024
=21×2+22×3+23×4+⋯+22024×2025
＝2×（1-12+12-13+13-14+⋯[phone]）
＝2×（1-12025）
＝2×20242025
=40482025．
故答案为：40482025．
【点评】本题主要考查了图形变化的规律、数学常识及列代数式，能根据题意发现an=n(n+1)2是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（4分）解方程：5x﹣2＝3（x+2）．
【分析】去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可．
【解答】解：去括号，可得：5x﹣2＝3x+6，
移项，可得：5x﹣3x＝6+2，
合并同类项，可得：2x＝8，
系数化为1，可得：x＝4．
【点评】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
18．（4分）解方程：x+22+3x-54=1．
【分析】根据解一元一次方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可．
【解答】解：x+22+3x-54=1，
去分母，得2（x+2）+3x﹣5＝4，
去括号，得2x+4+3x﹣5＝4，
移项、合并同类项，得5x＝5，
将系数化为1，得x＝1．
【点评】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．
19．（6分）计算：
（1）7+(-12)-3-(-2.5)；
（2）-12024-25×(-20)+(-2)2．
【分析】（1）先把减法转化为加法，再根据加法法则计算即可；
（2）先算乘方，再算乘法，然后算加减法即可．
【解答】解：（1）7+(-12)-3-(-2.5)
＝7+（-12）+（﹣3）+212
＝6；
（2）-12024-25×(-20)+(-2)2
＝﹣1-25×（﹣20）+4
＝﹣1+8+4
＝11．
【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20．（6分）先化简，再求值：2（3a2b﹣ab2）﹣（3ab2﹣2a2b）+5ab2，其中a=12，b＝﹣1．
【分析】将原式去括号，合并同类项后代入数值计算即可．
【解答】解：原式＝6a2b﹣2ab2﹣3ab2+2a2b+5ab2
＝8a2b；
当a=12，b＝﹣1时，
原式＝8×（12）2×（﹣1）＝﹣2．
【点评】本题考查整式的加减﹣化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
21．（8分）如图，AB＝18，C，D是线段AB上两点，已知AC：CD：DB＝1：2：3，M，N分别为AC，DB的中点，求线段MN的长．

【分析】根据线段的和差关系以及线段中点的定义进行计算即可．
【解答】解：∵AB＝18，C，D是线段AB上两点，AC：CD：DB＝1：2：3，
∴AC=11+2+3AB＝3，CD=21+2+3AB＝6，BD=31+2+3AB＝9，
∵M，N分别为AC，DB的中点，
∴AM＝MC=12AC=32，DN＝BN=12BD=92，
∴MN＝MC+CD+DN=32+6+92=12．
【点评】本题考查两点间的距离，掌握线段中点的定义以及和差关系是正确解答的关键．
22．（10分）某学校七年级组织数学趣味知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，答对得分，答错倒扣分．如表记录了5名同学的得分情况．
参赛者
答对题数
答错题数
得分
A
20
0
100
B
19
1
93
C
18
2
86
D
14
6
58
E
10
10
30
（1）答对一题得 　5　 分，答错一题扣 　2　 分．
（2）参赛者F得分72分，他答对了几道题？
（3）参赛者G说他得了80分，你认为可能吗？为什么？
【分析】（1）根据参赛者A答对题目数及得分，可求出答对一题的得分，利用答错一题扣得分式＝5×参赛者B答对题目数﹣参赛者B的得分，即可求出结论；
（2）设参赛者F答对了x道题，则答错（20﹣x）道题，利用得分＝5×答对题目数﹣2×答错题目数，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）假设参赛者G能得80分，设参赛者G答对y道题，则答错（20﹣y）道题，利用得分＝5×答对题目数﹣2×答错题目数，可列出关于y的一元一次方程，解之可得出y的值，再结合答对题目数需为整数，可得出假设不成立，即参赛者G不可能得80分．
【解答】解：（1）根据题意得：答对一题得100÷20＝5（分），
答错一题扣5×19﹣93＝2（分）．
故答案为：5，2；
（2）设参赛者F答对了x道题，则答错（20﹣x）道题，
根据题意得：5x﹣2（20﹣x）＝72，
解得：x＝16．
答：参赛者F答对了16道题；
（3）参赛者G不可能得80分，理由如下：
假设参赛者G能得80分，设参赛者G答对y道题，则答错（20﹣y）道题，
根据题意得：5y﹣2（20﹣y）＝80，
解得：y=1207，
又∵答对题目数需为整数，1207不是整数，
∴假设不成立，
∴参赛者G不可能得80分．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
23．（10分）购买冰箱时，需要综合考虑冰箱的价格和耗电情况，通过对市场的了解，相同容量的冰箱单位时间内1级耗电量最低，但购买价格相对较贵．小明准备从当年生产的相同容量的A款与B款冰箱中选购一台，其中两款冰箱的部分基本信息如表所示：
款式
能效等级
平均每年耗电量/（kW•h）
售价/元
A款
1级
200
2236
B款
3级
280
1900
若冰箱投入使用后一直开着，并按0.6元/（kW•h）电费计算，请帮小明回答下列问题：
（1）若选A款冰箱，每年花费的电费是 　120　 元．
（2）若冰箱使用t年，则A，B两款冰箱的综合费用分别是多少？（用含t的代数式表示）
（3）在（2）的条件下，请你分析小明购买哪款冰箱比较合适？
【分析】（1）每年耗电量乘以电费单价即可；
（2）冰箱售价+t年的电费，据此列式即可；
（3）将（2）中所列代数式比较大小即可．
【解答】解：（1）若选A款冰箱，每年花费的电费是200×0.6＝120（元），
故答案为：120；
（2）A款冰箱的综合费用是2236+200×0.6t＝（2236+120t）元，
B款冰箱的综合费用是1900+280×0.6t＝（1900+168t）元；
（3）当2236+120t＝1900+168t，即t＝7时，选A、B两款冰箱的综合费用相等；
当2236+120t＞1900+168t，即t＜7时，选B款冰箱的综合费用少，比较合适；
当2236+120t＜1900+168t，即t＞7时，选A款冰箱的综合费用少，比较合适．
【点评】本题主要考查列代数式、一元一次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意列出不等式、方程或不等式．
24．（12分）如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠COB，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的奇妙线．
（1）如图1，若∠AOB＝60°，∠COB＝2∠AOC，求∠AOC．
（2）如图2，若∠AOB＝120°，射线OM从射线OB位置开始，绕点O以每秒10°的速度逆时针旋转，当射线OM与射线OA重合时停止旋转．设旋转的时间为t秒，当射线OM是∠AOB的奇妙线时，求t的值．
（3）如图3，若∠AOB＝90°，射线OE，OF分别从OB，OA位置同时出发，射线OE绕点O以每秒12°的速度逆时针旋转，射线OF绕点O以每秒6°的速度顺时针旋转，当射线OE旋转360°与射线OB重合时两条射线都停止旋转．设旋转的时间为t秒，当射线OE是∠AOF的奇妙线时，求t的值．

【分析】（1）直接根据角的数量关系求解即可；
（2）由题可得，当射线OM是∠AOB的奇妙线时，射线OM是∠AOB的角平分线或三等分线，据此分类讨论，建立方程求解即可；
（3）根据OE和OF运动轨迹可知分两大类情况讨论，即射线OE越过OA之前和之和，每种情况又跟第二问一样由三种情况，再根据t的范围进行取舍即可得解．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝60°，∠COB＝2∠AOC，
∴∠AOC=13∠AOB＝20°；
（2）由题可得，当射线OM是∠AOB的奇妙线时，射线OM是∠AOB的角平分线或三等分线，且∠BOM＝10°t，
①当OM为∠AOB的角平分线时，∠BOM=12∠AOB，
∴10°t=12×120°，
解得t＝6；
②当射线OM是∠AOB的三等分线时，∠BOM=13∠AOB或∠BOM=23∠AOB，
∴10°t=13×120°或10°t=23×120°，
解得t＝4或8；
综上，t的值为4或6或8；
（3）由题可知，当射线OE为∠AOF的奇妙线时，射线OE在∠AOF内部，且为∠AOF的角平分线或三等分线，
如图，当射线OE还没有越过OA时，0＜t＜9012=7.5，

此∠AOE＝（90﹣12t）°，∠AOF＝6°t，
①当射线OE为∠AOF的角平分线时，∠AOE=12∠AOF，
∴90﹣12t=12×6t，
解得t＝6；
②当射线OE为∠AOF的三等分线时，∠AOE=13∠AOF或∠AOE=23∠AOF，
∴90﹣12t=13×6t或90﹣12t=23×6t，
解得t=457或458；
如图，当射线OE越过OA，要想OE在∠AOF内部，此时射线OF越过OB，

此时∠AOE＝360°﹣12°t+90°＝（450﹣12t）°，∠AOF＝6°t
令450﹣12t＝6t，
解得t＝25，
∴此时25＜t≤30，
①当射线OE为∠AOF的角平分线时，∠AOE=12∠AOF，
∴450﹣12t=12×6t，
解得t＝30；
②当射线OE为∠AOF的三等分线时，∠AOE=13∠AOF或∠AOE=23∠AOF，
∴450﹣12t=13×6t或450﹣12t=23×6t，
解得t=2257（大于30，舍去）或2258；
综上，t的值为6或457或458或30或2258．
【点评】本题主要考查了角的计算、新定义、利用一元一次方程解决图形动点问题等内容，熟练掌握相关知识和分类讨论是解题的关键．
25．（12分）在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A，B两点间的距离可以记作|a﹣b|或|b﹣a|．我们把数轴上两点之间的距离，用两点的大写字母表示，如：点A与点B之间的距离表示为AB．如图，在数轴上，点A，O，B，C表示的数分别为﹣10，0，12，28．
（1）点P在数轴上表示的数为x，若点P为线段AB上的一个动点，求|x+10|+|x﹣12|的值．
（2）如图，在数轴的原点O处放置了一台粒子加速器，当粒子穿过加速器（加速器宽度可忽略不计）时，其运动速度将迅速变成原来的3倍．在C处放置了一块挡板，当粒子碰撞到挡板后，立即反弹，速度不变．甲粒子从A点出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右运动．同时，乙粒子从B点出发，以每秒4个单位的速度沿数轴向右运动，设运动时间为t．
①当甲、乙两粒子第一次相遇时，相遇点表示的数为 　14.4　 ．
②当甲、乙两粒子距离为4时，求t的值．

【分析】（1）根据绝对值的定义可知|x+10|＝AP，|x﹣12|＝BP，所以|x+10|+|x﹣12|＝AP+BP＝AB＝12﹣（﹣10）＝22；
（2）①由题易知第一次相遇应为甲穿过了O，乙从C反弹后相遇，进而得出S甲+S乙＝AM+BC+CM＝AC+BC，再分别用t表示出S甲和S乙，再建立方程求解即可；
②由题意可知分当甲粒子未到达点C处时，甲乙粒子相遇前后会有距离为4的情况，当甲粒子到达点C开始反弹时，则此时甲粒子开始追乙粒子，追上前后会有距离为4的情况，再建立方程求解即可．
【解答】解：（1）由题可知|x+10|＝AP，|x﹣12|＝BP，
∵P在线段AB上，
∴|x+10|+|x﹣12|＝AP+BP＝AB＝12﹣（﹣10）＝22，
即|x+10|+|x﹣12|的值为22；
（2）①第一次相遇应为甲穿过了O，乙从C反弹后相遇，假设相遇点为M，

此时，S甲+S乙＝AM+BC+CM＝AC+BC，
∵S乙＝4t，S甲＝10+2×3（t-102）＝6t﹣20，
∴6t﹣20+4t＝38+16，
解得t＝7.4，
此时相遇点为：2×3（t﹣5）＝14.4；
②当甲粒子未到达点C处时，
1°当第一次相遇前，甲、乙两粒子距离为4时，
S甲+S乙+4＝AC+BC，
∴6t﹣20+4t+4＝38+16，
解得t＝7；
2°当第一次相遇后，甲、乙两粒子距离为4时，
S甲+S乙﹣4＝AC+BC，
∴6t﹣20+4t﹣4＝38+16，
解得t＝7.8；
当甲粒子从C处反弹开始追乙粒子，
∵甲粒子运动到点C时，6t﹣20＝38，
解得t=293，
甲从C到点O的时间为286=143，
此时乙粒子穿过了点O，速度变成3×4＝12个单位/秒，
所以甲乙粒子距离为4时，甲粒子再次反弹过程中穿过了O，
此时S甲＝10+28+28+2×3×3（t-293-143）＝18t﹣192，
S乙＝16+28+4×3（t﹣11）＝12t﹣88，
3°未追上前，甲、乙两粒子距离为4时，
S甲﹣AC+4＝S乙﹣BC，
∴18t﹣192﹣38+4＝12t﹣88﹣16，
解得t=613；
4°追上后，甲、乙两粒子距离为4时，
S甲﹣AC﹣4＝S乙﹣BC，
∴18t﹣192﹣38﹣4＝12t﹣88﹣16，
解得t=653；
综上，t的值为7或7.8或613或653．
【点评】本题主要考查了利用一元一次方程解决数轴动点问题等内容，根据临界值分类讨论是解题的关键．
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