延时微分方程有限元法.pdf

中文摘要本文研究了一类延时微分方程，即对艮行单延时和多延时的缓 性和非线性问逋的有限元方法及其超收敛性，进行了系统的研究，有限元方法的类型，本文研究了连续有限元和间断行限元.本文主要结果包括以V 4方面;1.利用单元正交通近校正技巧,研究了利疗一个延时项的线性 延时微分方程的连续有限元方法及我起收敛性，并推导了我有限元 垂构导致的强超收敛性.随后淮导了多延时线性延时微分方程的连 续有限元方法，利用单元正交遍近校正技巧结合数学归纳法证明了 它的超收敛性，最后给出了三个例子进行了数代实睑，数值睑证了 上述的理论结果.2.对非线性延时微分方程，才先讨论了单延时情形的连续行 限元法及其超收敛性，然后推广到多延时情形的连续有限元法及苒 越收敛性,最后给出了两个例子进行了数值实检，数值险证了上述 的理论结果.3.对于n才单延时项的延时微分方程问基的间断向限元方法,rr 先讨论线性情形的有限元及其超收敛性，然后将它们推广到非线性 情形.做后分别给出了例子进行了线性和非线性向题的数佬实睑，数佬险吐了上述的理论结果，4.最后本文简单地附论了二阶延时微分方程连续行限元.间断 有限元的计算格式，关键词:延时微分方程；寸线性；单延时和多延时；连续斤限元；间断行限元；超收敛性.1AbstractFor a class of delay-differential equations,the linear and nonlinear delayequation with one-delay term and multi-delay terms,this paper systemic studies the finite element methods and their superconvergence.For the type of the finite element methods,we study the continuous finite element and the discontinuous finite element.The following is an outline of the main results of the paper:1.By application of adjustment orthogonal approximate technique in an element,sup er convergence of continuous finite elements for linear delaydifferential equations with one variabe delay term is studied and ultraconvergence of its finite element derivative recovery is deduced.Then we derive superconvergence of continuous finite element for the linear delay-differential equations with multi-delay terms by the mathematics induction.The above theoretical results are tested by three numerical examples.2.For the nonlinear delay-differential equations,firstly discuss superconvergence of continuous finite element methods for the case with one-delay term.Next expand the results to the case with multi-delay terms.Finally the theoretical results are tested by two numerical examples.3.For the delay-differential equations with one-delay term,first we study superconvergence of discontinuous finite element methods for the linear case.Next we expand the results to the nonlinear case.Finally the theoretical results are tested by two examples of the linear and nonlinear delay-differential equations.4.Finally for the two order delay-differential equations,we simply discuss the continuous finite element approximative scheme and the discontinuous finite element approximative scheme.Key Words:the delay-differential equations;linear and nonlinear;the one-delay term and multi-delay;the continuous finite element;the discontinuous finite element;sup er convergence.iii湘;覃大学学位论文原创性声明本人郑丞声明；所呈交的论文是本人在导师的指导F独立进行 研究所取得的肝究成果.除了文中挣别加以标注引用的内容外，本论 文不包含任何箕他个人或集体已经发表或撰写的成果作品.对本文 的研究做;I理要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明.本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担.作持签名；邓康口期;2007 年 6 月 18 II学位论文版权使用授权书本学位论文作并完全了解学校有为保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向国家有为部门或机构送交论文的豆印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅.本人授权涮摩大学可以将本学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印.箱印 或扫描等豆制于段保存和汇编本学位论文.涉密论文按学校规定处理.作着签名;邓康II 期；2007 年 6 月 18 H导师签名:口期:年 月口第一部分研究基础与理论工具第一章绪论1.1 有限元方法及发展有限元是工程领域中应用最广泛的一种数佬计算方法，它不但 可以解夬匚程式中的结构分析I可萌，而且已成功地解决了传热学.流体力学、电瞰学和声学等领域的问题，经过六十多年的发展，行 限元方法的理论已经相当完善.籽有限元理论、计。机图形学和优 化技术相结合可靠和效率高而逐渐形成新的技术产品,使用这些轨 件已经成功地都演了机修、水口土建、柝梁、机电、冶金、股选.造船、至航、核能、地靛、物探.气象、水文、物理、力学、电磁学 以及国除匚程领域众多地大型科学和匚程计算难题.有限元软件已 经成为推动科技进步和社会发展地生产力，并且取得了巨大地经济 和社会效益.有限元方法在工程中应用的巨大成功，引起了数学界的关注，20世纪60年代至70年代数学匚作并对什限元的谀度,解的收敛性 和稳定性等方面进行的卓有成效的研究，从而巩固了rr限元法的效 学基础，我国数学家冯康，住20世纪60年代研究变分问题的后分 格式时，也独立地提出分片插值的思想，为有限元法的创立作出了 资献47,48,49.f住1970年前后人们就发现行限元解或导数在某些 点上有特别好的精度，称为超收敛.以后提出多种方法和理论，讲 到丰富的结果，1995年芬兰召开限元国乐会议，Babuska 称超收 敛是有限元的十大进展之一，目前国际上超收敛公认有三大学派，门有中国学单元正交分析法17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,42,116,117,118.1.2 延时微分方程研究背景上世纪初，自然科学与社会科学的许多学科中提出了大址延时 微分动力系统问题，如核物理学、电路信号系统、生态系统、化工 循环系统、遗传问题.流行病学.动物与植物的循环系统，社会科 学方面主要是各种经济现象延时的描述，如商业销售向瓯，财富分34第一我绪论布理论，资本主义经济周期性危机，运输调度向邃，工业生产管理 等等.延时微分方程是一种应用广泛的数学模型.对于延时微分方 程问题的求解研究，上世纪七，八十年代以来国际上已作了较多的 工作，理论上主要是研究苴密的稳定性，数值方法的研究则多采用 Runge-Kutta 方法及其他多步方法15,16,38,41,42,45,62,77,83,92.在较早的年月里，人们往往认为泛函微分方程，特别是延时微分 方程的数他处理，与常微分方程的数值处理没1区别，没有必要加 以区别将别的研死于实并寸如此，用通常的线性多步法或Runge-Kutta 方法去求解延时微分方程，苴数凭稳定性问题的分析，要比用 它们去求船常微分方程初催问题复杂得多，有些问题悬而未决，便 是行力证明83.我们知道,在动力系统中延时通常是不可避免的,常做分方程只是动力系统的一种近似描述，因此对于求解南做分方 程的许多方法都可以推广到延时微分方程的求解,但由于延时的存 在使得在推导的过程中又出现f新的挑战125.本文将有限元用于求解延时微分方程的研究，这是个具有一定 创新意义的工作，对于一类延时微分方程，我们主要将研究连续行 限元方法，而对于某些非光滑系数的延时微分方程，连续有限元则 可能会出现无法处理的困施时，我们籽初步探讨间断有限元求解延 时微分方程，使得疗限元方法能求解诸如一些较弱条件的更广泛的 延时微分方程情形.同时我们将在理论上论证有限元方法求解延时 微分方程听其疗的收敛性和超收敛性，论证方法将采用国际上三大 有限元超收敛学派之一中国学派提出的新的单元分析方法及我校正 技术.对有限元法求都延时微分方程的研究，可以拓广对泛函微分 方程数值方法的研究视野.1.3 本文的主要工作本文用中国学派独创的单元正交分析法及其修正技术.系统地 研究了一类延时微分方程的有限元方法及其超收敛性，对其性质和 相关结构做出比较完整的理论分析,并且将进一步探讨行限元法的 应用技术，为某些应用延时动力系统的数值模拟和计算提供一种高 精度的高效什算方法.1.3本文的仁要作5全文的结构安排如下；第一章已经介绍了国际上研究此类问题 已TT的结果，进展和局限性主要阐述延时微分方程数佬方法的研究 背景与现状.第二聿研究延时微分方程有限元方法所需的工艮与引理，引进 Legendre多项式.M型多项式和R型多项式的定义及相关性质,第三堂利用单元正交通近校正技巧，研究了具有一个延时项的 线性延时微分方程的连续在限元方法及其超收敛性，并推导了其行 限元重构存数的帆超收敛性，随后推导了多延时线性延时微分方程 的连续有限元方法，利用单元正交遍近校正技巧结合数学归纳法证 明了它的超收敛性.最后给出了三个例了进行了数值实睑，数值险 证了已治的理论结果第四章对于非线性延时微分方程，首先分别时论了单延时情形 的连续有限元法及共超收敛性，然后推广到多延时情形的连续有限 元法及其超收敛性研究.最后给出了两个例子，进行了数值实睑，效 他睑证了已给的理论结果.第五、六聿对于具有单延时项的延时微分方程问座的间断有限 元方法，首先讨论线性情形的有限无及我iS收敛性，然后分别将它 们推广到非线性情形.最后给出了两个例子进行了数值实睑.最后一章简单地时论了二阶延时微分方程连续有限元、间断行 限元的十算格式.第二章理论工具本文对延时微分方程问所的有限元法超收敛的是珞于单元分析 法,而这一方法的基本匚久就是Legendre正交变顼式族.M-拟正交 多项式族和R-型正交多项武族27,28,30.2.1两类基本正交展开住每考单元石=(-1,1)上定义内积与范数分别为(u)v)=/2W此 W=(跖)1/2.弓I进Legendre正交多项代10=1,h=力，2=；(3/-1),，3=：(5-3i),h=：(35 力4 30 产+3),8Z5=.63 力5 70 力3+15川816=)(231 卢 _ 315力4+105产-5),16其通式为第=四(产 n=0,l,2,.(2.1)2nn它们是石上的正交多项式族，及范数为Iloilo,e=2n+1)n=0,1,2,.(2.2)几工1次Legendre多项式/九在E内有n个相异的实零点力；：1 力%,%，4=：(5力 4 6产+1),OM5=:5-10 力 3+3 以86=(21 力6-35力4+15产-1),16其通式为4 1Mn+1=J1盘=印。2俨n=o,l,2,.(2.5)n次多项式垢在E上在n个相异的实专点力收=1,2,.,n,当 几工2时，它们满足1 力2 力3 *2时总有说(1)=0.多项式族.构成拟正交系，H内积平0,当分一1一0,士 2时;=0,其他“(2.6)2.1两类某本正交展并9不难徵出以下非零积分(肌，叫)=(2.+1)(2八_1)(2._3),2(Mn,必+2)=Q八+3)(2八+l)(2n-).将微分方程(2.4)为(八+l)n1n(t)=(1 两边对t积分并注意%+i(l)=0,得到+1)704+1=-(1 产源.(2.7)因此八+1阶Lobatto点是由两个端点力=1及几-1次多顷式备 的零点组成.此外,积分(2.4),并注宜到等式t/r16dt=tMn+i(t)-/Mn+1tdtJ-i J-i=tMn+i(t)-1(Mn+i(t)-Mn(t)=0,2n+1可得到以下递推关系(n+2)Mn+2(t)(2n+(ri l)Mn=0.对任意适当光滑的函数/,由多次分部积分可知fdn(t2-l)ndt=(-iydjfdn-jt2-1 尸丸 0 7 n.(2.8)J-i J-i因此，若1是八-1次多项式，当j=几时，上式变为&即九 次Legendre多项式与任何P正交.而对任何函数f E俨(石),由(2.8)可推 出以F重要的估计式IUUI=Cnj ljdfdt,O J n,(2.9)箕中常数仅与nJ行关,而与/无关.10第二武理论工具任何平方可积函数于e（均可以展开为Legendre多项式级数OC/=a/j(0a=(7+9)(/4，(20)j=0并（f Parseval 等式Zi p户）山？2吟其实,等式（2.10）对任何/丘（功,1 1,1 p do 则有 几次多项式n%=%必（力），（2.n）J=o如仇=;（/1/（1）,bj=（J-2）（仇/Jj-J J=12 3,使得余项Rn=f fn有京下性质;1.凡(1)=0；2.&Rn9 LPl&RnLPn-2；3.对0 a 九,及任何1 Q,p oo,有估计式 daRnE CdCdfE,a+l/?n+l.证明将导致切花石上展开为 Legendre 多项式级数OC&力)=岫-1.3=1(2.12)箕中 Fourier 系数%仃估比武2.1两类某本正交展开11积分(2.12),乂町以得到OO/=(力(2.13)其中历是特定常数.在一堆情形，空间wy可嵌入到连姨函数空 间同 2时必(1)=0,这只要取b。满足/=历+如/(1)=历一包.由瓦=*/4)=；(/(-1),可知 b=+1).在这种选取之下，余项凡(1)=0.接下来,我们i寸论余项兄的正交性,首先对才-1次多项式W i1n（皿4）=（/=（a/4）-仿+i（公 4）=o.即dtRn 1 B.i,其次对-1,由分部积分由Rn,dli）=Rn八。3Rn）li）=0.叮得 Rn Pn.2.为证明第3个结论,称余项d-Rn#看是/的一个线性泛函d-Rn=n，凡=1(f)=daf j=l由J在一维情形,伊+a，l(E)可嵌入到连续可空间。(石),函数及系数与皆可用范数疗汁、故四人Y。|力|仇夕,石方 面，当/足。-1次多项式时(/3-1 1而且以+i=印-为=oe1)=印(1)igi)=2(i 尸半 o.函数 Mi fc(-1,1 中行 k+1 个实根 Si:-1 Sr s2 .：Cj 6/(，),汕然犯=.它就是间断行限元中所需的m次质化函数，及余 项行(X)R=u Uj Cj(j)j(s)c7n+i(/+i(s)+O(hm+).2.2 R-型正交展开13可得如下引理:引理2.2设 G Wp,m l,lp：Cj(pj(S),J=O及其余项ooR=u uj=。血(s).它有以下重要性麻；=02)1 E 上R(s)_L Pmi.即在m+1阶右 Radau 点 Sj 上有越逼近I R)c|af 必.R型收开的余顷在1个端点上也R=0.它的正交性比河型好，R上Pi 因此，足型投影特化住间断限元越收敛研究中起着垂 要作用.为了比较前述:种多项式族，我们列出它们的14阶的号式已使 于比较.m1234表一卜 Gauss 点0 0.57735 0,0.77460 0.33998,0.86114三种正交多项式的专点Lobatto 点0士10,1 1,0.44721j Radau 点11 厂 1/31,0.28990,-0.689901,0.57532 厂 0.18107 厂0.8228214第二电理论工具2.3单元分析方法的新思想为说明陈传淼教授提出的有限元超收敛研究的单元分析方法新 思想，即在甚于单元分析法基础上的正交性修正技术.我们给出一 个简单的两点边值问题28-(auj=/,in/=(0,1),0)=u=0.(2.15)作说明，该方程对应变分形式如下a(u,v)=(/,/)=m其中双线性形式为：A(u)v)=/auvx.Jo将区间0,1作剖分：0=60 力1 /2 /N=1,=(0-*1)/2为半步长,记有限 间为Sq=u e C,uI%e P-(0)=.这样我们行(2.15)的行限元解蔺足F列形式4(皿)=v e S上因此误差-切满足Au Uh,v)=0,v e Sq.上式还可以进一步化为A(iih uv)=Au U)v)把展开成如下 Fourier 级数8 2rl=优昭，历=(一1)+)/2,仇=/u(s)lii(s)ds.2z 1/1i=0 JT2.3行亡了析方法的新思里15任先不规定到的具体形式,而在余项中添加若干祥定得做次项，使 新的质值余项n ocR=u ui=b：MjU）+bjMjp）（2.16）j=2 j=n-l满足更多的正交条件,这里庠妁也是中定常数.广是所需插（ft 是n/=历+bi力+）（bj-阴M.欣然在附端点t=i h W）=o,即w优单元之间的连续仍能淌足，在标性单元丁=（-瓦九）上作变换力=他并若虑单元积分1=aRfvrdx=hr/aRtvtdt.Jh J 1取检脸函数。=EM/%，上述单元积分行 n n oci=（c的+CM（2.17）j=l j=0 j=n+l这里玛=*/=6（胪/）.为确定号可以要求下列线性方程 组成立 n 8g过一 GM j=0 j=n-l解此方程,我们可以得到写的估计为%=d2八+2”2j 0,r 0,(3.1)u(t)=。，t OJ6|0 为延时常数，因此向瓯行存在唯一翻.在下面的讨论中，我们总认为精确解“充分光滑,符号C以均 表示常数，3.1.2 连续有限元法|半步长h=嬴卡,切1E整St,则节以=2皿=0J2,和 I 一 Jn=tn-1 力 J 中点=一1/2=2(力口+力九-1),n=，,对一*固定信 数N 上记区间J=0,小.心连续J1分片m次连续行限元空间=0 t t IbL 由(3.1)得M+a=b。(力r)=/(力 0 t t.(3.3)将方程(3.3)(九 吩或(3.1)(k nN)的第式两边同乘皿)卬)1920第三聿线性延时微分方程并在单元（上积分得力)+au(t)r)(t)dt=/以t)r由 dt)JnV e L(Jn),1 n fc,I U(力)+au(t)+bu(t 7加(力)d力=0,JnV e L(Jn),k N.定义m次连续有限元解Ue定在单元Jn上满足UG)+qU=/(t)?7(t)dt,Jn J Jn1 n k)Vr(t)e Pm.i(UU)+clU+bU(t r)r(t)dt=/Jnk n N,4(力)e Pm-i.产是误差=-U潇足正交关系I ez(i)+ae(t)r(t)dt=0,Jn1 n k,V/力)e Pm_i,I QU)+aet)+be(t t)必=0,Jn(3.4)(3k n N,V e Pm-i.显然误差e=0,i 2.3.2超收敛分析213.2超收敛分析本节证明上一节的定理3.1.作变换t=tn.1/2+hs可将单元Jn 变为参考单元 E=-1,.记=(力八i/2+hs)=u(s),u(t r)=“%-1/2+hs-r)=%(s),利用M型多项式M(s)得u作正交展开.其 误差R=即通过修正为ml ooR=5+1(八)儿G+1(S)+%+iS)Mj+i(S),%+i=。(加+1).7=1 j=m系数中的n表示与单元(行左 号是补充的或低次项系数.为待定常数.当s=1时H(l)=0,它可以保证/代到在单元之间 的连续性.取检检函数=蠢1%(力并代入到单元积分中得Bn(R1r)=f(R+aR(t)r)(t)dt=/(凡+/iQH(s)(s)dsJ Jn J-1ml ml oc=2 仇2 4+1(“)。”+2%+1(”)。句,1 n*1(八)七+如命)玛4=0 j=l j=mml oo+E 卜)，+E%+iS-k)CknN.7=1 j=m其中常数小Cj为Cij=/%+ZzqM+1 儿(s)ds)(3.6)C3=/M)Mj+i(s)l/s)ds.(3.7)利用Z(s)，M(s)的正交性及Q,b的充分施清性.可以得到以卜估计Gj=。(川=。仇 J1).(3.8)22第三章线性延时微分方甩要确定号+15）,我们可以我求ml;十1（八）。以=(X)2 bj+i(n)Cij)=1,2,m 1,(3.9)，=1mlj=E1 n fc,oo ml，=1；+i(n)Gj=工+i(口)G厂 b：+i(n-k)Cj=m j=lOC-%+i(八-j=ml=1m LkvngN.(3.10)方程组（3.9）或（3.10）的系数矩阵都是对角占优的.方程组（3的右 边已知顷为OC-E%+15）玛=。（加+1.hJ%=m=O j=mF是方程组（3.9）中存定常数耳5）=0（后恒+1-5 S.（3.11）又寸口=12/成立.当时,若（3.H）式对八k成立，那么方程疑（3.10）的 右边项仍可以存oo m1 bj+i（n）Gj-号+1（八-k）C j=m j=lOC-E%+iS _ k）玛=6（加+1 犷乂=m=。（卢叱 j）.j=m同理可以得到当k n N时中方程组（3.10）中律定常数仍满足（3.11）.因此，根据数学心纳法，对任意t=12，”单元4上椅色得3.2超收敛分析23定低次项系数耳部调足(3.11).这样单元Jn上的积分就变为ml oo)=优%i(八)+bj+i(n)CjSn W 岛(3.12)ml ooBn(R)T)=Bo b；+i(n)Coj+%+i(八)。cy5=1 j=mml oo+2 b；+i(n k)。占+2 bj+i(n ,fc n 峭.13)7=1 j=m由产困S Cr)所以对所有上=12均有=。(*)|间,/Mo人.现在估十理)=(u 即)的界限.当力二丁时根据(3.5)及(3.12)(f出口=l/口+而必|=。(肥九 J Jn对前几个单元相加,就得到1-+而切必|=。俗2勺|同L+,jHo,o加卜Jo取=/,就有2必 -aWWL+Ch2m/俨必)1/2Jo Jo Jopin pin，/胪(t)dt+c 仍立+Jo Jo令=；,消去行边第一项，得必 C tn伊必+。心1图+1 J(3.14)Jo Jo当力 T时根据(3.6)及(3.13)也行田八(4)1=|f 口+而+力一7)刈J Jn=。(必勺|训一中Mh.24第三道线性延时微分方程对前面几个单元相加得到pinI/口+Q幽+-圜=6d2”|训馆+”|制0,叱.Jo取=,又有tn tn ptn/O,2(t)dt a9加一/bO(t r)Of(t)dtJo Jo Jopin+C-,j(/仍阳 1/2Jo e 0f2(t)dt+Ci(s)f 02(t)dtJo Joptn+a/雁丁尸近+ctH1wJo利用0(t)=o,to,上式中ftn 产n卜 ptn/02(t r)dt=/02(t)dt /仍d力Jo Jo Jo因此取S=；消左行边的第，项后乂得到不等式(3.14).由广伏0)=0,故有 力 力e(t)=一(力)”2 2（f Mj=0,故在节点上行超收敛估计（-U）（tn）=O（h2m）,ml,时 Mn+i 的点 so,又有（-U）（s0）=6（叱+2）,即住622时住单元内部m+1 件、Lobatto工上。超收敛性.定理3.1 得证.3.2超收敛分析253.2.1迷康元耋佝导数的强超收敛性超收敛性指至少斤岛阶的精度，而强超收敛性（Ultraconvergence）指其右高两阶的收敛性.本节讨论线性延时微分方程（3.1）的行限无 寺数的代构,我们知道连续疗限元U的导致U色单元之间不连的 但单元湍节点上的精度较小,1992年，Zienkiewicz和Zhu对线性问题 提出了行限元单无块建构问痴126,随后Zhang Z.M.分别在1996年、1999年给出了一触和二维I”重构技术122,123,1996年Zhang和 Victory还给出了一堆什限元单元决重构问暖的数学论证124.2000 年，陈传来提出了一种新思想研究仃限元超收敛问您27,并在文28 中对论了两点造化问邈的单元块Lagrange插H型重构存数及H愦超 收敛性，熊之光和邓康利用连续性优化方法研究非线性一阶常微分 方程初他问题的插值系数，限元存数H7,通过质构后仁单元块内 部获得丰富的强超收敛点.下面我们利用连续优化方法研究延时被 分方程的限元号数歪构方法，也f勺文H7类似的结论.记单元0Jn=4-1 UJn=定义。的重构导数为R（U，），行正交分nRUr=2%力（力）,t e jn）（3.16）j=0其中6=W）为单元块Jn上的j阶Legendre多项式，它行j个 根四,加：称为单元决上的J阶Gauss点.我们要求（3.16）满足如下连续性优化问题故由极（ft原理得到,即满足F列方程组I兀必=JnI/八d力 fc=0,1,.Jnm.m，=026第三章线性延时微分方程已知当时/(*(力)必=0,否则dt=2次所以%=八一七+；)/U，6d 力 J=0,l,2,.,m.从而我们有m 1r 1AU，=/rio+)u，(力耳立力.j=0 J 葭我们就可以得到4上的重构立广衣满足m 1 r r .R：Rw=h-1+)烟)ij()d(3.17)j=O J 募F向我们时论变构手数RUr的强翊收敛性.定理3.2适函数是慢性延时微分方程”的充分无清解.U是 连续有限元解,且RU，是U由(3J7)定义的重枸导致，则在乙上存 在6-1个超强收敛点qkG 乙,k=1,2,772-1.使得(M-RU)=。(次+2),fc=l,2,.,m-l.证明M-RU=(M-RM)+R(M-U，).(3.18)片先讨论第一顷，-的估计，ILM 4以下的正交展开 m+l=99+0(砂+2).(3.19)系数%满足用=九T(，+：)urljtdt,j=0,1,2.,m+1.2 J j利用重构笄子所满足的(3.17)式，及单元块Jn上legendre多用武/j)=0的正交性，则m ip/1 iRK=九 TC7+?)以皿 j=o Jjm 1 m+l p=帚用阕+。(叱+2)j=O k=。J Jm=%力)+。(九.+2).(3.20)7=03.2/收敛27(3.19)减去(3.20)就可以得到一Ruf=An+12+1 +6d恒+2).(3.21)其次对论(3.18)式第二顷R(uf-U)令P=M 由前一节的故后一式得到它在单元块上的表达式为%()，%1(力)+bm+i(Jn)质(t)_+%+2(4)/您 1(力)+6(八馆+2),力 e Jn)0-T%(4+177rH(%)+%+1(+1)哈+i(力)、+口+2(小1)/3+。(y+2),力 e Jn+i.-少=*京)1=3二”),，=。/2?别是单元 Jn)Jn+i上的Legendre 2项式，其中 t Jn)t Jn+1 分别是单元心，4+1的 中点.所以近构后我们又得到m r-iRp=。+9)p力吠而)m ir=小。+9)/(%()%.1+%+1()痹+瓦+2(4)/田)充)武j=O J Jn+(%(+1)心0+“+1(4+1)哈+1+仇+2(+1)/饵;/公1+。(叱+2).利用小力=oJ2分别仁加Jn+1上的正交性哈_1，!lvJm-2上式所有含lj 0,T 0,(3.25)u(t)=i 0,=i,-ito,(3.29)利用逐步法我们q以求出它的解析解、以下我们只列出区间-1,5 上的表达式，而对六点力=5之后的表达式将迅速变得非常复杂，可 以用基于Maple的MATLAB的符汁计算得钊，u(t)=0,(3.31)1=1=W t 0(3.32)的连续有限元方法及其超收敛性.其中刀为延时常址，满足0 71 T2 Tm +OO.系数Q是充分光滑的函甄满足Re(a)0建工加Tm/J=0,T,将J作N等分，片令h=氐4为半步 氐 再记单元Jn=tn-M 中点t=七记连续11分片P次 连续有限元空间S=oeCmePLl,2.，N,P。表示次数不超过的多项式集合，为讨论方便,令丁。=0,Tm=+cxd,历(力)=a(t)bm+i(%)=0,则(3.31)的可以改写为m+l“=仇(力一叫,t 0.(3.33)1=0对于某个移数p,0pm t 0,(3.36)-n l=p+lU(t)=Up)=tt 0.并满足e(t)=0,t0.这样我们得到本节的主要结果；定理3.3设%U分别是多廷时微分方程(3.31)(3.32)的弱项泡和夕次 选便有F艮无解,则在所有单元的0+1阶Lobatto A上满足超收敛 性1。)%1/2+旌/=。(疗+2).3.3.2插值品近的拗选作变换t=tn.1/2+hs,则将Jn变为参考单元E=-1,1,又设 ri=2hki-0=fc0 fci fc2 A;m,0 /e%i/2+hs)-仇(s)e(图&+h(s+)(s)d力=0,(3.39)Jt 1=0V爪s)e Pp-i(5).1|1 s 9=U 并进一步心Bjn(4呜=BjRb)仇(力)一(力一刀)必/I 0、rll/Rn(s)Tds-h/瓦Rnf TdsIt i=o Itp/i-hf bi(s)Rn_ki+ir(s)ds.i=o J-对于补充的依次项系数rf*H,我们f如下引理;引理3.1对所有的单元Jn,n=12，N,b”是由(3邛)所定义的 的0次多项式逼近uj中的朴充傀次项亲近,当a=12，N 充分比潸时，则有%)=6(9+2),)=2,3,(3.43)3.3 斤征时情彩37证明我们利用数学归纳法证明.1.当p=0时，即00丁1,则3-)=/Rn n ds h aRn n ds.J-i J-i将(3.42)代入上式后，取检脸函数=EM%/),则斤pl pl ooBjR,)=P工 Gjd；+1 +工 Gjdj+1M)i=0 j=l j=p其中L0(s)(G(s)haMj+i)ds.因为a是充分光滑函数，则&2=。(1),a=。(0力),2半力(3.44)为确定有S),廖求0-1G刊泊，二iOC-y?GM+iS)，j=pi=1,2,.,p 1.这是个关卜4的线性方程狙，当九充分小时，更系数矩阵是对 角占优的.方程右边的方级为20+一),2=12”1及2之2,可以 得到芍+1(八)=0肥+1)=0(犷+2).(3.45)2.假设对lpm时，/足0tn dn-旬=9(附+2),呜岛+1)=9(附+2),lp,。”=九/biM+i(s)/，(s)ds=。(介)，C”=h J biMj+i 1,ds=O(h).可序方程右边的让级为O.而左方系数 玛仍满足(3.44),所以(3.43)式时满足0in*的所仃单元也成立.综合1,2两步,根据教学归纳法,我们就证明了对所行湃足4 V7m+i=+oo的单元,待定系数d*(n)满足(3.43).引理证毕.3.3.3 定理3.3的证明根据上节中引上的证明,对任意0p2,因此13=0(游+3).最后得到BJn(R,。游+3|%|0疗+3(/12返)1/2+2(/2必)1/2.将上式中的八分别取为12皿然后所行式子相加得田(仇力=|B(E,7?)|。仍2(：/位)1，取=G Ppi利用Young不等式，取JopinJom+g1=1而ptn/02(t Ti)dt-Jo故又可以得到tn尸必Jo取=；,消去右边第ptn7oJotn|瓦/。M+ChP+2(n俨2必J”俨Sdt+Cg029dtJopin3/仍(力77)立+C/0+4.JortnTi rtnTi ptn二/伊必=/e2(t)dt /丸j-Tl J 0 Jo俨dt+C/俨必+C712P+4.Jo Jo一项，得ptn2必C 俨必+Ch2P+4Jo40第三牵线性延时微分方围因9(0)=0,所以rtn rt伙力)=/必/2(/吸幽1巴Jo Jo即pin ptn/吸)必+怛C 俨宓+。椒+4.Jo Jo利用惠散 Gronwall 不等式，最后行忸|+|限)|三。胪+2.(3.46)最后，利川 u-U=u-uI+uI-U=R-e=dp+1(n)Mp+1(5)+O(+2)当s=Sj为M7+i(s)的祗 即0+1阶Lobatto点时,ff1(一 U)%_l/2+g)|=。(9+2).定理3.3得证.3.3.4 线性元格式我们考虑如下常系数多延时微分方程f +屋0 biu(t-Tt)=0,t0,=。(力力 0.的线性元格式.我中历乂=0均为常数，单无人对应参考单 元积分为Z1 m 1iU二 T ds-hfbi/Unki r)ds1 i=o Jtm pi-hfbi Un_ki+i(s)ds=0.(3.48)i=o 11-4取线性基函鼓 9-l(s)=；(1 s)“i(s)=+s)CUu(s)=Un-l-l(s)+U“l(s),Un-ki()=Uyi-k2-l夕-1(S)+Un七夕1(5),Unki+l(s)=Un母夕1(S)+Un例+1夕1(S).3.3 一延时情形取(s)=l,则可以得到 m r i -Un Un_i h 仿(/；+l)Un-ki-i+4.-i)2Un-ki加 1 1-52 瓦-jjUnki+(1+/2 y)U九 一七+1=0.1=0 L-注意到b0=a,化筒即可得到线性无的递推比辑格式一 忧”-3乙1评+D-T 1,、Un=。(力九),72 so.对于二次元的情形也同样类似于单延时情形.3.3.5数值实验本节我ff J首先讨论如下一个具有两延时局的例子.例3.2讨论下列两廷时延时问题的连续有限元J M(力)+2+仙(力-1)+u(t 2)=0,t 0,1u(t)=1,-2 i 0,利用逐步法我们可以求出它的解析解，可以用在J二Maple的MATLAB 的符号十算得到如F.fo(t)=1,t e 2,0,/1W=5e-2t_2?te(0,l,于2(t)=9(15e2-2f 5e4-2f+10e4-2ti+e2)e2,t e(1,2,j3(t)=7(45e22t 15e4-2t-70e6-2t+30e4-2fiu(t)=/+60e6-2-We6-2tt2-7e2)e-2,t E 3,力+2(力)=村+f 九筋+i)一打，揖j)(加心1)+于戕-2)代te i+l,i+2,/=0,1,2,.(3.49)(3.50)(3.51)可以给出方程在区间0,8上解析解（楮确解）的图象,42第三道线性延时微分方程图3.2精确解的困象下面我们分别取时间步长为i/icM/20.1/40,分别比wr 次、二次和 三次连续有限元.给出r它们在12个节