三角函数诱导公式及图像.doc

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海帆教育_数学_老师个性化教案
教师
吕苗吉
学生
鑫焮
上课日期
12 月 6 日
学科
数学
年级
高一
教材版本
华师大
类型
知识讲解□： 考题讲解□:
本人课时记录
第（13-14）课时
共（30）课时
学案主题
三角函数
班主任
董米娜
讲课时段
15:00-17:00
教学目
教学容
三角函数
1. 知识与技能
2. 过程与措施
3.情感态度与价值观
(1）理解三种变换有关概念；
（2）能进行三种变换综合应用；
教学重点、难点
重点：处理三种变换综合应用时图象信息．
难点：处理三种变换综合应用时图象信息．
教学过程
学生活动

3三角形诱导公式一
知识梳理
诱导公式一～四
(1)公式一：sin(α＋2kπ)＝______，cos(α＋2kπ)＝______，tan(α＋2kπ)＝________，其中k∈Z.
(2)公式二：sin(π＋α)＝________，cos(π＋α)＝__________，tan(π＋α)＝________.
(3)公式三：sin(－α)＝________，cos(－α)＝__________，tan(－α)＝________.
(4)公式四：sin(π－α)＝________，cos(π－α)＝________，tan(π－α)＝__________.
自主探究
知识点一　给角求值问题

例1　求如下各三角函数值．
(1)sin(－1 200°)；(2)cos ；(3)tan 945°.

回忆归纳　此类问题是给角求值，重要是运用诱导公式把任意角三角函数值转化为锐角三角函数值求解．假如是负角，一般先将负角三角函数化为正角三角函数，要记住某些特殊角三角函数值．

变式训练1　求sin 1 200°·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan(－495°)值．

知识点二　给值求值问题

例2　已知＝2，求值．

回忆归纳　(1)诱导公式使用将三角函数式中角都化为单角．(2)弦切互化是此题一种重要技巧，值得关注．
变式训练2　已知cos＝，
求cos－sin2值．

知识点三　化简三角函数式

例3　化简：.

回忆归纳　解答此类题目关键是对运用诱导公式，假如具有参数k(k为整数)一般需按k奇、偶性分类讨论．
变式训练3　化简：(其中k∈Z)．

课后作业
一、选择题
1．sin 585°值为(　　)
A．－B.C．－D.
2．若n为整数，则代数式化简成果是(　　)
A．tan nαB．－tan nα
C．tan αD．－tan α
3．记cos(－80°)＝k，那么tan 100°等于(　　)
A.B．－
C.D．－
4．tan(5π＋α)＝m，则值为(　　)
A．mB．－mC．－1 D．1
5．若sin(π－α)＝log8，且α∈，则cos(π＋α)值为(　　)
A.B．－C．±D．以上都不对

二、填空题
6．sin＋2sin ＋3sin ＝______.
7．代数式化简成果是________．
8．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋2，其中a、b、α、β为非零常数．若f(2 009)＝1，则f(2 010)＝________.

三、解答题
9．若cos(α－π)＝－，
求值．

10．已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tan β＝0.

3三角函数诱导公式二
cos＝________.
以－α替代公式五中α，可得公式六．
(2)公式六：sin＝________；
cos＝________.
2．诱导公式五～六记忆
－α，＋α三角函数值，等于α________三角函数值，前面加上一种把α当作锐角时原函数值________，记忆口诀为“函数名变化，符号看象限”．
自主探究
在α终边上取一点P(x，y)，在－α终边上也取一点P′(x′，y′)，且|OP|＝|OP′|＝r.试探究点P(x，y)与点P′(x′，y′)两点坐标之间关系，并运用这一关系推导诱导公式五．

知识点一　给值求值问题

例1　已知cos＝，求sin值．

回忆归纳　解三角函数问题，应寻找问题中角与已知条件中角之间在联络，灵活选择角变换进行求解．
变式训练1　(1)若sin＝，则cos＝________；
(2)若cos θ＝，θ∈(0，π)，则cos＝__________.

知识点二　三角函数化简或证明

例2　求证：＝－tan α.

回忆归纳　证明三角恒等式，一般是化繁为简，可以化简一边，也可以两边都化简．同步注意诱导公式灵活运用．
变式训练2　求＋值．

知识点三　诱导公式综合运用

例3　已知sin(5π－θ)＋sin＝，
求sin3－cos3值．

回忆归纳　此题实质是以诱导公式为工具，考察sin θ、cos θ与sin θcos θ之间关系，关键是纯熟应用诱导公式五、六对已知和所求式子精确进行化简．
变式训练3　已知sin·cos＝，且<α<，求sin α与cos α值．

课时作业
一、选择题
1．已知f(sin x)＝cos 3x，则f(cos 10°)值为(　　)
A．－B.C．－D.
2．若sin(3π＋α)＝－，则cos 等于(　　)
A．－B.C.D．－
3．已知sin＝，则cos值等于(　　)
A．－B.C.D.
4．若sin(π＋α)＋cos＝－m，则cos＋2sin(2π－α)值为(　　)
A．－B.C．－D.
5．已知cos＝，且|φ|＜，则tan φ等于(　　)
A．－B.C．－D.

二、填空题
6．若sin＝，则cos＝________.
7．sin2 1°＋sin2 2°＋…＋sin2 88°＋sin2 89°＝________.
8．已知tan(3π＋α)＝2，则

＝________.
三、解答题
9．已知sin θ＝，求＋值．

1.4.1正弦、余弦函数图象
（1）函数y=sinx图象 （2）余弦函数y=cosx图象
探究1：你能根据诱导公式，以正弦函数图象为基础，通过合适图形变换得到余弦函数图象？
根据诱导公式,可以把正弦函数y=sinx图象向左平移单位即得余弦函数y=cosx图象.（课件第三页“平移曲线”）

正弦函数y=sinx图象和余弦函数y=cosx图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．
思考：在作正弦函数图象时，应抓住哪些要点？

2．用五点法作正弦函数和余弦函数简图（描点法）：
正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]图象中，五个要点是：(0,0) (,1) (p,0) (,-1) (2p,0)
余弦函数y=cosx xÎ[0,2p]五个点关键是哪几种？(0,1) (,0) (p,-1) (,0) (2p,1)
只要这五个点描出后，图象形状就基本确定了．因此在精确度不太高时，常采用五点法作正弦函数和余弦函数简图，规定纯熟掌握．

3、讲解例：
例1作如下函数简图
(1) y=1+sinx，x∈[0，2π]，　（2）y=-COSx

●探究2．怎样运用y=sinx，ｘ∈〔0，２π〕图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到
（1）y＝1＋sinx ,ｘ∈〔0，２π〕图象；
（2）y=sin(x- π/3)图象？
小结：函数值加减，图像上下移动；自变量加减，图像左右移动。

● 探究３．
怎样运用y=cos x，ｘ∈〔0，２π〕图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到y＝-cosx ，
ｘ∈〔0，２π〕图象？
小结：这两个图像有关X轴对称。

●探究４．
怎样运用y=cos x，ｘ∈〔0，２π〕图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到y＝2-cosx ，ｘ∈〔0，２π〕图象？
小结：先作 y=cos x图象有关x轴对称图形，得到 y＝-cosx图象，
再将y＝-cosx图象向上平移2个单位，得到 y＝2-cosx 图象。

●探究５．
不用作图，你能判断函数y=sin( x - 3π/2 )和y=cosx图象有何关系吗？请在同一坐标系中画出它们简图，以验证你猜想。
小结：sin( x - 3π/2 )= sin[( x - 3π/2 ) +2 π] =sin(x+π/2)=cosx
这两个函数相等，图象重叠。

例1　分别运用函数图象和三角函数线两种措施，求满足如下条件x集合：

正弦、余弦函数性质(一)
2．观测正（余）弦函数图象总结规律：
自变量

[来源:]

函数值

–
–

66yy 6666666yy9999999989

正弦函数性质如下：
（观测图象）1°正弦函数图象是有规律不停反复出现；
2°规律是：每隔2p反复出现一次（或者说每隔2kp,kÎZ反复出现）
3°这个规律由诱导公式sin(2kp+x)=sinx可以阐明
结论：象这样一种函数叫做周期函数。
判断：是不是所有周期函数均有最小正周期？（没有最小正周期）

3、例题讲解
例1 求如下三角函数周期：①②（3），．

练习1。求如下三角函数周期：
1° y=sin(x+) 2° y=cos2x 3° y=3sin(+)

阐明：（1）一般结论：函数与函数，（其中为常数，且，）周期；

（2）若，如：①；②；③，．
则这三个函数周期又是什么？
一般结论：函数与函数，周期

思考：求如下函数周期： 1°y=sin(2x+)+2cos(3x-) 2° y=|sinx|

正弦、余弦函数性质(二)
1. 奇偶性
函数y=cosx是偶函数。

函数y=sinx是奇函数。

2.单调性
从y＝sinx，x∈［－］图象上可看出：
当x∈［－，］时，曲线逐渐上升，sinx值由－1增大到1.
当x∈［，］时，曲线逐渐下降，sinx值由1减小到－1.
结合上述周期性可知：
正弦函数在每一种闭区间［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一种闭区间［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.
余弦函数在每一种闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增长到1；
在每一种闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.

3.有关对称轴
观测正、余弦函数图形，可知
y=sinx对称轴为x= k∈Z y=cosx对称轴为x= k∈Z
练习1。（1）写出函数对称轴；（2）一条对称轴是（ ）
(A) x轴， (B) y轴， (C) 直线， (D) 直线

4.例题讲解
例1 判断如下函数奇偶性
(1) (2)

例2 函数f(x)＝sinx图象对称轴是；对称中心是 .

例4 指出如下各式不小于0还是不不小于0；①②

例5 求函数单调递增区间；

思考：你能求单调递增区间吗？

1.4.3正切函数性质与图象

二、讲解新课：
1．正切函数定义域是什么？
2．正切函数是不是周期函数？

阐明：（1）正切函数最小正周期不能比小，正切函数最小正周期是；
（2）根据正切函数周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数
，且图象，称“正切曲线”。

y

0
x

（3）正切曲线是由被互相平行直线所隔开无穷多支曲线构成。
4．正切函数性质引导学生观测，共同获得：
（1）定义域：；
（2）值域：R 观测：当从不不小于，时，
当从不小于，时，。
（3）周期性：；
（4）奇偶性：由知，正切函数是奇函数；
（5）单调性：在开区间，函数单调递增。
5.讲解例：
例1比较与大小

例2：求如下函数周期：
（1）（2）
阐明：函数周期．

例3：求函数定义域、值域，指出它周期性、奇偶性、单调性，

练习1：求函数定义域、周期性、奇偶性、单调性。

课后作业
纸质作业
学生成长记录
本节课教学计划完毕状况：照常完毕□ 提前完毕□ 延后完毕□ ____________________________
学生承受程度： 5 4 3 2 1 ______________________________
学生课堂体现：很积极□比较积极□ 一般积极□ 不积极□ ___________________________
学生上次作业完毕状况： 优□ 良□ 中□ 差□ 存在问题 _____________________________
学管师（ 班主任）_______________________________________________________________
备 注

签字时间

教学组长审批

教学主任审批

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