2025年考研数学最后备考期知识点梳理.docx

考研数学最终备考期知识点梳理

　　极限部分：
　　极限计算措施诸多，总结起来有十多种，这里我们只列出重要：四则运算，等价无穷小替代，洛必达法则，重要极限，泰勒公式，中值定理，夹逼定理，单调有界收敛定理。每种措施详细形式教材上均有详细讲述，考生可以自已回忆一下，不太清晰地方再翻到对应章节看一看。
　　会计算极限之后，我们来说说直接通过极限定义基本概念：
　　通过极限，我们定义了函数持续性：函数在处持续定义是，根据极限定义，我们懂得该定义又等价于。因此讨论函数持续性就是计算极限。然后是间断点分类，详细原则如下：
　　从中我们也可以看出，讨论函数间断点分类，也仅需要计算左右极限。
　　再往后就是导数定义了，函数在处可导定义是极限存在，也可以写成极限存在。这里极限式与前面相比要复杂一点，但本质上是同样。最终尚有可微定义，函数在处可微定义是存在只与有关而与 无关常数使得时，有，其中。直接运用其定义，我们可以证明函数在一点可导和可微是等价，它们都强于函数在该点持续。
　　以上就是极限这个体系下重要知识点。
　　导数部分：
　　导数可以通过其定义计算，例如对分段函数在分段点上导数。但更多时候，我们是直接通过多种求导法则来计算。重要求导法则有下面这些：四则运算，复合函数求导法则，反函数求导法则，变上限积分求导。其中变上限积分求导公式本质上应当是积分学内容，但出题时候一般是和导数这一块知识点一起出，因此我们就把它归到求导法则里面了。能纯熟运用这些基本求导法则之后，我们还需要掌握几种特殊形式函数导数计算：隐函数求导，参数方程求导。我们对导数规定是不能有不会算导数。这一部分题目往往不难，但计算量比较大，需要考生有较高纯熟度。
　　然后是导数应用。导数重要有如下几种方面应用：切线，单调性，极值，拐点。每一部分均有一系列有关定理，考生自行回忆一下。这中间导数与单调性关系是关键考点，考试在考察这一块时重要有三种考法：①求单调区间或证明单调性；②证明不等式；③讨论方程根个数。同步，导数与单调性关系还是理解极值与拐点部分有关定理基础。此外，数学三考生还需要注意导数经济学应用；数学一和数学二考生还要掌握曲率计算公式。
　　积分部分：
　　一元函数积分学首先可以提成不定积分和定积分，其中不定积分是计算定积分.基础。对于不定积分，我们重要掌握它计算措施：第一类换元法，第二类换元法，分部积分法。这三种措施要融会贯穿，掌握多种常见形式函数积分措施。纯熟掌握不定积分计算技巧之后再来看一看定积分。定积分定义考生需要稍微注意一下，考试对定积分定义规定其实就是两个方面：会用定积分定义计算某些简单极限；理解微元法(分割、近似、求和、取极限)。至于可积性严格定义，考生没有必要掌握。然后是定积分这一块有关定理和性质，这中间我们就提醒考生注意两个定理：积分中值定理和微积分基本定理。这两个定理条件要记清晰，证明过程也要掌握，考试都直接或间接地考过。至于定积分计算，我们重要措施是运用牛顿—莱布尼兹公式借助不定积分进行计算，当然还可以运用某些定积分特殊性质(如对称区间上积分)。一般来说，只要不定积分计算没问题，定积分计算也就不成问题。定积分之后尚有个广义积分，它实际上就是把积分过程和求极限过程结合起来了。考试对这一部分规定不太高，只要掌握常见广义积分收敛性鉴别，再会进行某些简单计算就可以了。
　　会计算积分了，再来看一看定积分应用。定积分应用分为几何应用和物理应用。其中几何应用包括平面图形面积计算，简单几何体(重要是旋转体)体积计算，曲线弧长计算，旋转曲面面积计算。物理应用重要是某些常见物理量计算，包括功，压力，质心，引力，转动惯量等。其中数学一和数学二考生需要所有掌握；数学三考生只需掌握平面图形面积计算，简单几何体(重要是旋转体)体积计算。这一部分题目综合性往往比较强，对考生综合能力规定较高。
　　这就是高等数学整个学科从三种基本运算角度梳理出来重要知识点。除此之外，考生需要掌握知识点尚有多元函数微积分，它实际上是将一元函数中极限，持续，可导，可微，积分等概念推广到了多元函数状况，考生可以按照上面同样思绪来总结。此外尚有两章：级数、微分方程。它们可以看做是对前面知识点综合应用。例如微分方程，它实际上就是积分学推广，解微分方程就是求积分。而级数则是对极限，导数和积分多种知识综合应用。
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