泛函分析第七章-习题解答1-25.doc
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1、第七章 习题解答1设(X,d)为一度量空间,令 问的闭包是否等于? 解 不一定。例如离散空间(X,d)。=,而=X。 因此当X多于两点时,的闭包不等于。2. 设 是区间上无限次可微函数的全体,定义 证明按成度量空间。证明 (1)若=0,则=0,即f=g(2) =d(f,g)+d(g,h)因此按成度量空间。3 设B是度量空间X中的闭集,证明必有一列开集包含B,而且。证明 令是开集:设,则存在,使。设则易验证,这就证明了是 开集 显然。若则对每一个n,有使,因此。因B是闭集,必有,所以。4. 设d(x,y)为空间X上的距离,证明是X上的距离。证明 (1)若则,必有x=y (2)因而在上是单增函数,
2、于是=。5. 证明点列按习题2中距离收敛与的充要条件为的各阶导数在a,b上一致收敛于f的各阶导数。证明 若按习题2中距离收敛与,即 0 因此对每个r,0 ,这样0 ,即在 a,b 上一致收敛于。 反之,若的(t)各阶导数在a,b上一致收敛于f(t),则任意,存在,使;存在,使当时,max ,取N=max ,当nN时,即0 。6. 设,证明度量空间中的集f|当tB时f(t)=0为中的闭集,而集A=f|当tB时,|f(t)|a(a0)为开集的充要条件是B为闭集。证明 记E=f|当tB时f(t)=0。设,按中度量收敛于f,即在a,b上一致收敛于f(t)。设,则,所以f E,这就证明了E为闭集 充分性
3、。当B是闭集时,设f A。因f在B上连续而B是有界闭集,必有,使。设 。我们证明必有。设,则若,必有,于是,所以,这样就证明了A是开集 必要性。设A是开集,要证明B是闭集,只要证明对任意若,必有。倘若,则定义。于是对任意,因此由于A是开集,必有,当Ca,b且时,。定义,n=1,2。则因此当时,。但是,此与的必要条件:对 任意,有矛盾 因此必有。7. 设E及F是度量空间中的两个集,如果,证明必有不相交开集O及G分别包含E及F。证明 设。令 则且,事实上,若,则有,所以存在E中的点x使,F中点y使,于是,此与矛盾。8. 设 Ba,b表示a,b上实有界函数全体,对Ba,b中任意两元素f,g Ba,b
4、,规定距离为。证明Ba,b不是可分空间。证明 对任意a,b,定义则Ba,b,且若, 。 倘若Ba,b是不可分的,则有可数稠密子集,对任意a,b,必有某,即。由于a,b上的点的全体是不可数集。这样必有某,使,于是此与矛盾,因此Ba,b不是可分空间。9. 设X是可分距离空间,为X的一个开覆盖,即是一族开集,使得对每个,有中的开集O,使得,证明必可从中选出可数个集组成X的一个开覆盖。证明 若,必有,使,因是开集,必有某自然数n,使。设是X的可数稠密子集,于是在中必有某,且。事实上,若,则所以。这样我们就证明了对任意,存在k,n使且存在 任取覆盖的O,记为是X的可数覆盖。10. X为距离空间,A为X中
5、子集,令证明是X上连续函数。证明 若对任意,存在,使。取。则当时,因此。由于x与对称性,还可得。于是。这就证明了是X上连续函数。11. 设 X为距离空间,是X中不相交的闭集,证明存在开集使得。证明 若,则由于,为闭集,必有,使,令,类似,其中,显然是开集,且。 倘若,则必有,使。设。不妨设,则因此,此与矛盾。这就证明 了。12 . 设 X,Y,Z为三个度量空间,f是X到Y中的连续映射,g是Y到Z中的连续映射,证明复合映射是X到Z中的连续映射。证明 设 G是Z中开集,因g是Y到Z中的连续映射,所以是Y中开集。又f是X到Y中的连续映射,故是X中 的开集。这样是X中 的开集,这就证明了g。f是X到Z
6、的连续映射。13. X是度量空间,证明f是连续映射的充要条件是对每个实数c,集合和集合都是闭集。证明 设 f是X上连续的实函数,又对每一实数c,G=(c,)是开集,于是 是开集。这样= 是闭集。同理是闭集。 反之,若对每个实数c,和都是闭集,则和都是开集。设G是直线上的开集,则或,其中是G的构成区间。不妨设于是是开集。因此f是连续的实函数。14. 证明柯西点列是有界点列。证明 设 是X中的柯西点列。对10,存在N,使当n,m时,令则对任意有。因此 是有界点列。15. 证明第一节中空间S,B(A),以及离散的度量空间都是完备的度量空间。证明 (1)S是完备的度量空间设 是S中的柯西点列,对每一个
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